例談依托函數(shù)圖象培養(yǎng)幾何直觀能力

天津市濱海新區(qū)漢沽教育中心(300480) 白紹強(qiáng)

幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象,產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路.直觀是想象的基礎(chǔ),依托直觀才能抽象出研究對象的本質(zhì)屬性,才使數(shù)學(xué)思考、邏輯推理成為有源之水、有本之木.

函數(shù)的圖象反映了兩個(gè)變量間的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律.從函數(shù)圖象的形象關(guān)系得出抽象的數(shù)量關(guān)系,此類問題學(xué)生的解決經(jīng)驗(yàn)還略顯不足.本文將從函數(shù)圖象出發(fā),數(shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維,通過觀察、思考并計(jì)算、推理得出有關(guān)結(jié)論,豐富學(xué)生的問題解決策略,提高學(xué)生的幾何直觀能力.

例1 (2020 年天津市中考試題) (12) 已知拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a0,c ＞1) 經(jīng)過點(diǎn)(2,0),其對稱軸是直線x=.有下列結(jié)論:①abc ＞0;②關(guān)于x的方程ax2+bx+c=a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;③a ＜-.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

1 根據(jù)已知條件,畫出函數(shù)圖形

培養(yǎng)幾何直觀能力,首先要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣,直觀確認(rèn)圖形的特性,看出看到圖形的基本要素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.此類問題從已知條件出發(fā),拋物線的形狀、開口大小和位置還不確定,就要畫出圖形,也就是函數(shù)的圖象,利用圖象可將相對抽象的思考“圖形化”、“直觀化”,為理解概念、尋求解題思路帶來便利,特別是初中階段學(xué)生的思維方式還是以形象思維為主,計(jì)算、證明、邏輯推理都是在形象思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,所以依據(jù)問題的已知信息,正確畫出函數(shù)的圖象(草圖)成為問題解決的關(guān)鍵.本題函數(shù)的圖象如圖1.

圖1

函數(shù)的圖象以幾何的形式直觀地表示了兩個(gè)變量間的單值對應(yīng)關(guān)系,是研究函數(shù)的重要工具.自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別是點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).教給學(xué)生以圖象為工具來研究函數(shù),形成數(shù)形結(jié)合的研究問題的思想.

2 利用圖象信息,強(qiáng)化直觀認(rèn)識

函數(shù)解析式與函數(shù)圖象兩者密切聯(lián)系,解析法從數(shù)量關(guān)系的角度明確自變量和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,我們可以從數(shù)與式的角度來研究函數(shù)的性質(zhì),而圖象法可直觀地反映函數(shù)的變化規(guī)律、變化趨勢.研究函數(shù)時(shí)二者要緊密結(jié)合,由數(shù)到形,由形到數(shù).此類問題要關(guān)注圖象的相關(guān)信息,熟悉研究圖象的方法,感悟圖象給我們研究問題帶來的好處.

2.1 圖象關(guān)鍵要素

例1 的拋物線開口向下,可知a ＜0;根據(jù)左同右異的規(guī)律,可得b ＞0,故abc ＜0;由對稱性可知拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,可知b=-a,c=-2a,abc=2a3,也可得abc ＜0.

2.2 圖象關(guān)鍵點(diǎn)

例1 的拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,0),可得4a+2b+c=0;拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),可得a -b+c=0;頂點(diǎn)坐標(biāo)為這些代數(shù)式或等量關(guān)系可由圖象直接看到得到,為其他問題的解決奠定了基礎(chǔ).例1 中②的解決有如下方法:

方法1:如圖2,從函數(shù)圖象看,方程ax2+bx+c=a根的情況就是直線y=a(a ＜0) 與拋物線y=ax2+bx+c的交點(diǎn)情況,兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)m和n就是方程的根.

圖2

方法2:從圖象角度看,方程ax2+bx+c-a=0 的根就是拋物線y=ax2+bx+c-a與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).從解析式的角度分析,因?yàn)?a ＞0,所以將拋物線y=ax2+bx+c向上平移-a個(gè)單位就得到了拋物線y=ax2+bx+c-a,此拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

方法3:從方程角度看,方程ax2+bx+c-a=0 轉(zhuǎn)化為方程ax2-ax-3a=0,其判別式Δ=(-a)2-4a·(-3a)=13a2＞0,故方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

方法4:拋物線的解析式為y=ax2 -ax-2a,解方程a(x2-x-2)=a,解得x=,所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

3 建立數(shù)形聯(lián)系,豐富思考問題方式

函數(shù)內(nèi)容具有“雙重性”,既有數(shù)的特征,也有形的特征,我們要從兩個(gè)方面來認(rèn)識它,才能變得形象生動(dòng),學(xué)生學(xué)起來易于接受,運(yùn)用它們?nèi)ニ伎冀鉀Q問題,形成幾何直觀能力.一些數(shù)學(xué)知識之間存在關(guān)聯(lián)和邏輯順序,函數(shù)、方程和不等式存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.從函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、不等式,是對方程、不等式知識的再分析再認(rèn)識,是以新的視角、新的高度居高臨下地進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析,是對方程、不等式知識進(jìn)行整合.函數(shù)對方程、不等式具有統(tǒng)領(lǐng)作用,要加強(qiáng)知識間的橫向和縱向的聯(lián)系,注意對函數(shù)、方程和不等式內(nèi)容的整體建構(gòu).

例2 (2019 年天津中考題第(12) 題) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

且當(dāng)x=-時(shí),與其對應(yīng)的函數(shù)值y ＞0.有下列結(jié)論:

A.0 B.1 C.2 D.3

從數(shù)的特征出發(fā),表格中給出了自變量和函數(shù)的五組對應(yīng)值,自變量與函數(shù)的單值對應(yīng)關(guān)系一目了然,這也正是用列表法表示函數(shù)關(guān)系的優(yōu)點(diǎn)所在.根據(jù)已知條件,可畫出函數(shù)大致圖象(圖3).

圖3

圖3

3.1 從數(shù)和形兩個(gè)方面思考

已知函數(shù)值求相應(yīng)的自變量的值需解方程.例2把x=0 時(shí),y=-2和x=1 時(shí),y=-2 代入函數(shù)解析式,可得b=-a,所以拋物線的解析式為y=ax2-ax-2,-2是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的根,可得t=6a-2.把x=3 代入方程ax2-ax-2=6a-2 成立,3 是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的兩個(gè)根.

從形的特征來看,例2 中點(diǎn)(0,-2)和(1,-2)關(guān)于對稱軸對稱,可知對稱軸為x=,所以點(diǎn)(-2,t)和點(diǎn)(3,s)是拋物線上關(guān)于其對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn),有t=s,所以3 是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t的根.

3.2 相關(guān)知識整體建構(gòu)

數(shù)量關(guān)系包含相等關(guān)系和不等關(guān)系,在初中階段僅在七年級下冊學(xué)習(xí)了一元一次不等式與不等式組,與較多研究的相等關(guān)系(方程與方程組)即有聯(lián)系也有區(qū)別,根據(jù)不等式的性質(zhì),對不等式進(jìn)行由繁至簡的變形能力還顯不足,需要教師的補(bǔ)充和強(qiáng)化,為學(xué)生的后續(xù)知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.2.1 由字母間的關(guān)系得出未知字母的范圍

例1 中③的解決可如下進(jìn)行

3.2.2 利用函數(shù)的增減性判斷代數(shù)式的范圍

4 關(guān)聯(lián)問題推理,提升幾何直觀層次

培養(yǎng)幾何直觀能力,不僅是從看到的展開想象、思考,還能從關(guān)聯(lián)的、綜合的情境中,直觀地發(fā)現(xiàn)、猜想結(jié)論,進(jìn)而去計(jì)算、證明結(jié)論.幾何直觀是合情推理的重要基礎(chǔ).

依托函數(shù)的圖象,判斷關(guān)于a,b,c代數(shù)式的符號是常見問題.不等式的性質(zhì)是解不等式的基礎(chǔ),是不等式變形的依據(jù),從運(yùn)算的角度在不等式的兩邊同時(shí)進(jìn)行同樣的變化,來確定不等號的方向是否改變.教師要以不等式的變形為知識載體,滲透和點(diǎn)播其中蘊(yùn)涵的消元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,在思想指導(dǎo)下進(jìn)行不等式的變形.

例3 (2020 年廣東省中考試題第(10) 題) 如圖,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=1,下列結(jié)論:①abc ＞0;②b2-4ac ＞0;③8a+c ＜0;④5a+b+2c ＞0,正確的有( ).

A.4 個(gè) B.3 個(gè) C.2 個(gè) D.1個(gè)

例3中③的解決可如下進(jìn)行:由-=1得b=-2a,由圖象可知,當(dāng)x=-2 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值4a-2b+c ＜0,把b=-2a代入可得8a+c ＜0.此題把字母間的關(guān)系代入不等關(guān)系,起到了消元的作用.

例3 中④的解決可如下進(jìn)行:由圖象可知,當(dāng)x=-1時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值a-b+c ＞0,當(dāng)x=3 時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值9a+3b+c ＞0,兩不等式相加可得10a+2b+2c ＞0,不等式兩邊都除以2 得:5a+b+c ＞0,又c ＞0,兩不等式相加可得5a+b+2c ＞0.

數(shù)學(xué)家華羅庚曾告訴我們:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”.將抽象問題具體化、形象化,代數(shù)問題幾何化,教給學(xué)生學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來認(rèn)識數(shù)學(xué),逐漸養(yǎng)成數(shù)與形之間的劃歸與轉(zhuǎn)化的意識,借助數(shù)的精確來認(rèn)識圖形的細(xì)微之處、特殊之處,借助形的性質(zhì)及位置來推理數(shù)量關(guān)系,把數(shù)量關(guān)系和直觀圖形結(jié)合起來,整體性地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識內(nèi)部結(jié)構(gòu),使學(xué)生認(rèn)識到幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的作用.學(xué)會(huì)這種數(shù)學(xué)的思考方式和學(xué)習(xí)方式,促進(jìn)學(xué)生較好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì),無疑會(huì)對學(xué)生創(chuàng)新意識的發(fā)展、解決問題能力的提升和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培育,具有十分重要的意義.