基于直觀想象的“全等三角形的復(fù)習(xí)課”教學(xué)思考

陳黎雨

關(guān)鍵詞：直觀想象;對稱性;全等三角形

一、培養(yǎng)直觀想象能力的重要性

培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要標(biāo)志之一。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。[1]

只有學(xué)生具有了良好的直觀想象能力，并且將這種能力遷移到所有領(lǐng)域的問題解決過程中，其他五個核心素養(yǎng)的落地才更具有可行性。[2]

二、培養(yǎng)直觀想象能力的方法

直觀想象能力的培養(yǎng)離不開訓(xùn)練學(xué)生識圖構(gòu)圖的思維方式，看問題的角度決定了學(xué)生是否能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題。在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，“圖形與幾何”的設(shè)置包含了三個專題：“圖形的性質(zhì)”、“圖形的變化”、“圖形與坐標(biāo)”，平時教學(xué)中，學(xué)生對于基本圖形性質(zhì)中的“元素之間的關(guān)系”與“對稱性”的學(xué)習(xí)較為割裂，學(xué)生在復(fù)雜的圖形中難以區(qū)分基本圖形，根據(jù)圖形的變化想象構(gòu)造圖形并探索解決問題的方向，因此教師應(yīng)在日常教學(xué)中從“圖形的變化”的角度引導(dǎo)學(xué)生觀察基本圖形，進一步理解“圖形的性質(zhì)”，再從“圖形的性質(zhì)”解釋“圖形的變化”，相互融合，最后總結(jié)模型，從而促進學(xué)生能夠主動運用基本圖形的對稱性分析問題，能通過直觀想象猜想、構(gòu)造圖形并探索解決問題的方向.

在組織具體教學(xué)的過程中，可以選擇“全等三角形的復(fù)習(xí)課”等課程，以“角”是一個軸對稱圖形為切入點，將“圖形的變化”和“圖形的性質(zhì)”融合在教學(xué)過程始終。

（一）從“圖形的變化”的角度想象基本圖形

學(xué)生的直觀想象能力的提升并不是一蹴而就的，需要在幾何學(xué)的課程上培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式，識圖的方向是很重要的一步，要做到有向有序地識圖、分析圖，這與教師的在最開始的幾何學(xué)看圖的思維方式有很重要地關(guān)聯(lián)，主要是從“圖形的對稱性”的角度識圖，觀察圖形與圖形之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系，然后再觀察元素與元素之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系。

“幾何作圖”是一個好的載體，作圖過程中能分析“圖形元素之間的關(guān)系”，對培養(yǎng)直觀想象能力中的識圖構(gòu)圖起著重要的作用。

例如：全等三角形的復(fù)習(xí)課中，如圖1，若點C是銳角∠AOB內(nèi)一點，分別在射線OA和射線OB上確定點E，F(xiàn)，使得△OCE≌△OCF，用尺規(guī)確定點C，E，F(xiàn)的位置并說明理由。

直觀想象能力首先是對圖形有直觀的感受，通過畫示意圖先引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，借助位置關(guān)系、大小關(guān)系看圖形的變化，然后再合理想象圖形。畫完示意圖后引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個三角形△OCE和△OCF的位置關(guān)系，觀察出共邊的全等三角形可以折疊得到，再結(jié)合“角是軸對稱圖形”想象點C的位置，并不是一個固定的點，而是點的集合，在∠AOB的平分線上，如圖2。

2.基本“圖形的變化”對三角形進行分類討論

引導(dǎo)學(xué)生想象折疊前后的兩個三角形會構(gòu)成什么圖形，也就是△OCF沿OC折疊后的△OCE與△OCF會構(gòu)成什么圖形，而這與△OCF的大小和形狀有關(guān)。由于點F是在射線OB上的動點，△OCF的大小和形狀也是不確定的，因此需要進行分類討論，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進行討論，并畫出相應(yīng)的圖形。

標(biāo)準(zhǔn)1：按照邊的相等關(guān)系分類，結(jié)合圖形可以得到三邊都不相等的三角形、等腰三角形;

標(biāo)準(zhǔn)2：按照角的大小關(guān)系分類，結(jié)合圖形可以得到鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形如下表1.

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件△OCE≌△OCF思考這兩個三角形的元素關(guān)系，不難看出點E和F是一對對應(yīng)點，通過追問學(xué)生如何在圖形上體現(xiàn)對應(yīng)點引導(dǎo)他們將對應(yīng)點轉(zhuǎn)化為對應(yīng)線段或者對應(yīng)角思考，這樣學(xué)生的思維也就發(fā)散開了。

從對應(yīng)線段來看，可以通過思考OE和OF的關(guān)系，不難想到利用圓規(guī)分別在OA和OB上截取兩條相等的線段就可以確定點E和F的位置，如圖3， 再追問學(xué)生這樣畫法下的兩個三角形全等的依據(jù)，這樣也就復(fù)習(xí)了全等三角形的其中一種判定方法SAS. 還可以通過思考CE和CF的關(guān)系，學(xué)生會想到以及類比截取OA=OB的方法，以點C為圓心，適當(dāng)?shù)陌霃疆嫽?，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)，如圖4. 再引導(dǎo)觀察圖形，判斷這種畫法中點E的位置是否是唯一確定的，如果是，說明判定方法，如果不是，則說明點E的位置還可以在哪里，畫出圖形如圖5. 說明此種畫法中線段CE和CF的位置關(guān)系并不是對應(yīng)的，也可以說明SSA不能證明兩個三角形全等。

復(fù)習(xí)了全等三角形的判定后，可利用“角具有對稱性”，可用變式題目引導(dǎo)學(xué)生從圖形變化的角度來構(gòu)圖，例如：如圖6，已知OC是∠AOB的平分線，，與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生將△OCE沿OC翻折得到如圖7，或者將△OCF沿OC翻折得到如圖8，探究解題方向后從而有向有序地解決問題。

（三）從“圖形的變化”的角度總結(jié)模型

具有特殊位置關(guān)系的兩個全等三角形需要引導(dǎo)學(xué)生從圖形的變化的角度來識圖構(gòu)圖，更重要的是需要進行總結(jié)，逐步構(gòu)建基本圖形群以加深學(xué)生對基本圖形的理解，從而促進學(xué)生能夠主動運用基本圖形分析問題，探求解決問題的方向，最終提升學(xué)生的直觀想象能力。

綜上所述，學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)與學(xué)生的全面發(fā)展有著密不可分的關(guān)系。在倡導(dǎo)核素理念下，讓學(xué)生有向有序地分析幾何圖形需做到引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“圖形的變化”理解“圖形的性質(zhì)”，根據(jù)“圖形的性質(zhì)”解釋“圖形的變化”，將幾何學(xué)的三個專題互相融合，最后總結(jié)幾何模型，因為在幾何教學(xué)中，如果能經(jīng)常借助特殊模型，讓學(xué)生直觀感知特殊模型中點、線、面的位置關(guān)系，積累圖形的表象，增強直觀感，養(yǎng)成由直觀到想象的思維習(xí)慣，則對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力有明顯的促進作用[]。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）. 北京：人民教育出版社， 2018

[2] 許彬城. 基于直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)管窺核心素養(yǎng)培育[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2020， 02： 32-33

[3] 徐德同，樊向陽. 例談初中生直觀想象能力的培養(yǎng)[J]. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)）， 2019， 08： 10-13