三維可壓縮 Navier-Stokes 方程解的連續(xù)性

王朋杰, 張 潔

( 貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025 )

我們考慮如下方程

(1)

其中t≥0,x∈Ω,Ω為R3中一個(gè)帶有緊支撐集和有光滑邊界的區(qū)域。其邊界條件為

u|?Ω=0

式中u=(u1,u2,u3),ρ分別是流體運(yùn)動(dòng)的速度和密度，p(ρ)是壓強(qiáng)，μ和λ是黏性系數(shù)，并且滿足2μ+3λ≥0。 任何物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)都受到一定的自然規(guī)律(如物理定律)的制約。 常見的一些數(shù)學(xué)物理方程作為描寫物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，是從數(shù)量形式上刻畫了由相應(yīng)的物理定律所確立的某些物理量之間的關(guān)系[1]。質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒和能量守恒是自然界一切遵循的定律，根據(jù)守恒律,能夠列出符合問題的微分方程。利用能量法, 人們已經(jīng)知道經(jīng)典的三大方程解具有穩(wěn)定性。對于三維可壓縮 Navier-Stokes方程，用類比的方法同樣能得出其解的穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[2]Gronwall不等式的微分形式。設(shè)η(t)是[0,T]上的非負(fù)、絕對連續(xù)函數(shù)，且?guī)缀跆幪帩M足微分不等式

η′(t)≤φ(t)η(t)+ψ(t)

其中，φ(t)和ψ(t)在[0,T]上非負(fù)可積，則有

其中n是?Ω上的單位外法向。

引理3[2]Poincare不等式。設(shè)Ω是Rn中的有界連通開集且在邊界取值為0，1≤p≤∞，則成立不等式

‖u‖Lp(Ω)≤C‖Du‖Lp(Ω)

其中C與n,p,Ω有關(guān)。

2 主要結(jié)論

定理對于三維可壓縮Navier-Stokes方程組(1)在其初值條件(ρ,u)|t=0=(ρ0,u0)，邊值條件u|?Ω=0條件下，此問題的解在平方模的意義下對初始值具有連續(xù)依賴性，即初始數(shù)據(jù)變化很小時(shí)，對應(yīng)的解變化也很小。

證明假設(shè)(ρ0,1,u0,1)和(ρ0,2,u0,2)為問題 (1)的兩個(gè)光滑初始值，且0

(2)

其中i=1,2。當(dāng)i=1和i=2時(shí)，兩式分別作差得到

(ρ1-ρ2)t+div[ρ1(u1-u2)+u2(ρ1-ρ2)]=0

兩端同時(shí)乘以(ρ1-ρ2) , 并在Ω上積分可得

對上式右端變形得到

+divu2(ρ1-ρ2)+u2▽(ρ1-ρ2)]dx

對于I1有

(3)

同理對于I2有

(4)

對于I3有

(5)

對于I4有

(6)

綜上有

(7)

同理對于(2)中的第二個(gè)式子我們有

ρ1(u1-u2)t+u2,t(ρ1-ρ2)

+(ρ1-ρ2)u2▽u2+ρ1[(u1-u2)▽u2

+u1▽(u1-u2)]+▽(ρ1γ-ρ2γ)

-(μ+λ)▽div(u1-u2)

=μΔ(u1-u2)

(8)

在上式兩端同時(shí)乘以(u1-u2), 并在Ω積分可得

(9)

對(9)左端逐項(xiàng)估計(jì)， 注意到

ρ1(u1-u2)t(u1-u2)

對K1的估計(jì)有

(10)

對 (10)的第二項(xiàng)估計(jì)有

(11)

對K2有

|K2|≤‖u2,t‖L∞‖ρ1-ρ2‖L2‖u1-u2‖L2

(12)

同理對K3,K5,K6有

(13)

(14)

(15)

對于K4來說

(16)

(17)

同理對于 (9)右端

(18)

取ε適當(dāng)小

(19)

考慮到(7)和 (19), 兩式相加可得

(20)

注意到m≤ρ1≤M，進(jìn)一步有

(21)

對 (21)應(yīng)用Gronwall 不等式得

(22)

由 (22) 知道三維可壓縮 Navier-Stokes 方程初邊值問題的解對初值的依賴性， 即當(dāng)初始數(shù)據(jù)變化很小時(shí),對應(yīng)的解也只是有相應(yīng)的微小變化,說明這個(gè)問題的解是穩(wěn)定的。