浙江高考力學綜合題中的臨界條件分析及備考啟示

周紅衛(wèi)

(寧波諾丁漢大學附屬中學)

高考中的力學綜合問題具有運動過程多、考查知識點豐富、臨界條件多變、數(shù)學知識要求熟練、物理能力要求高等特點,是高考檢測學生物理學習水平和區(qū)分學生物理學習能力的必考題.總結浙江省高考發(fā)現(xiàn),力學綜合題中的臨界問題大致從以下幾個方面進行考查.

1 突出斜面傾角與摩擦因數(shù)關系的直軌道臨界條件的考查

例1(2017年浙江11月選考,有刪減)如圖1-甲所示是游樂園的過山車,其局部可簡化為如圖1-乙的示意圖,傾角θ＝37°的兩平行傾斜軌道BC、DE的下端與水平半圓形軌道CD順滑連接,傾斜軌道BC的B端高度h＝24m,傾斜軌道DE與圓弧EF相切于E點,圓弧EF的圓心O1、水平半圓軌道CD的圓心O2與A點在同一水平面上,DO1的距離L＝20m.質量m＝1000kg的過山車(包括乘客)從B點自靜止滑下,經過水平半圓軌道后,滑上另一傾斜軌道,到達圓弧頂端F時乘客對座椅的壓力為自身重力的0.25倍.已知過山車在BCDE段運動時所受的摩擦力與軌道對過山車的支持力成正比,比例系數(shù)μ＝,EF段摩擦力不計,整個運動過程空氣阻力不計.(g取10m·s－2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8)

圖1

(3)如果過D點時發(fā)現(xiàn)圓軌道EF段有故障,為保證乘客的安全,立即觸發(fā)制動裝置,使過山車不能到達EF段并保證不再下滑,則過山車受到的摩擦力至少應多大?

解析

(3)在沒有故障時,過山車到達D點的速度為vD,根據動能定理得

發(fā)現(xiàn)故障之后,過山車不能到達EF段,設剎車后恰好到達E點速度為零,在此過程中,過山車受到的摩擦力為Ff1,根據動能定理得

聯(lián)立各式解得Ff1＝4.6×103N.

使過山車能停在傾斜軌道上的摩擦力至少為Ff2,則有Ff2－mgsinθ＝0,解得Ff2＝6×103N.

綜上可知,過山車受到的摩擦力至少應為6×103N.

點評

運用動能定理計算摩擦力很容易,但是存在一個陷阱:斜面問題中物體會有什么樣的運動狀態(tài),取決于重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力大小的關系.如果不注意這一點,很容易出問題.

例2(2020年浙江1月選考,有刪減)如圖2所示,一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、豎直圓軌道(在最低點E分別與水平軌道EO和EA相連)、高度h可調的斜軌道AB組成.游戲時滑塊從O點彈出,經過圓軌道并滑上斜軌道.全程不脫離軌道且恰好停在B端則視為游戲成功.

圖2

已知圓軌道半徑r＝0.1 m,OE長L1＝0.2 m,AC長L2＝0.4 m,圓軌道和AE光滑,滑塊與AB、OE之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.滑塊質量m＝2g且可視為質點,彈射時從靜止釋放且彈簧的彈性勢能完全轉化為滑塊動能.忽略空氣阻力,各部分平滑連接.求:(g取10m·s－2)

(3)要使游戲成功,彈簧的彈性勢能Ep與高度h之間滿足的關系.

點評

解答本題首先要明確滑塊必須過圓最高點F的臨界條件,其次分析滑塊在斜面上的運動狀態(tài),本質是討論tanθ與μ的關系,對應h所要滿足的條件.

備考啟示要理解斜面上物塊運動狀態(tài)是由重力沿斜面的分力和摩擦力大小來決定的,討論μ和tanθ的關系,從而確定兩個力的大小關系.

2 突出不同運動過程的“拐點”信息考查

例3(2022年浙江1月選考,有刪減)如圖3所示,處于豎直平面內的一探究裝置,由傾角α＝37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成,B、D和F為軌道間的相切點,彈性板垂直軌道固定在G點(與B點等高),B、O1、D、O2和F點處于同一直線上.

圖3

已知可視為質點的滑塊質量m＝0.1kg,軌道BCD和DEF半徑R＝0.15m,軌道AB長度lAB＝3 m,滑塊與軌道FG間的動摩擦因數(shù)μ＝,滑塊與彈性板作用后,以等大速度彈回,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,滑塊開始時均從軌道AB上某點靜止釋放.

(2)設釋放點距B點的長度為lx,滑塊第1次經F點時的速度v與lx之間的關系式;

(3)若滑塊最終靜止在軌道FG的中點,求釋放點距B點長度lx的值.

點評

“管道”的最高點臨界速度剛好為0,利用動能定理解出lx≥0.85 m.這就是物體運動中的“拐點”條件.題給條件滿足tanθ＜μ,滑塊具備停在斜面上的條件,以經過FG長度的一半摩擦力做功Wf為參考,停在FG中點的含義就是摩擦力做功為Wf的奇數(shù)倍,解出lx的表達式lx＝,在最后的取值時lx不能超出題目給定的3m 即可.

例4(2019年浙江4月選考,有刪減)某砂場為提高運輸效率,研究砂粒下滑的高度與砂粒在傳送帶上運動的關系,建立如圖4所示的物理模型.豎直平面內有一傾角θ＝37°的直軌道AB,其下方右側放置一水平傳送帶,直軌道末端B與傳送帶間距可近似為零,但允許砂粒通過.轉輪半徑R＝0.4 m、轉軸間距L＝2m 的傳送帶以恒定的線速度逆時針轉動,轉輪最低點離地面的高度H＝2.2 m.現(xiàn)將一小物塊放在距離傳送帶高h處靜止釋放,假設小物塊從直軌道B端運動到達傳送帶上C點時,速度大小不變,方向變?yōu)樗较蛴?已知小物塊與直軌道和傳送帶間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5.(sin37°＝0.6,g取10m·s－2)

圖4

(2)若小物塊落到傳送帶左側地面,求h需要滿足的條件;

(3)改變小物塊釋放的高度h,小物塊從傳送帶的D點水平向右拋出,求小物塊落地點到D點的水平距離x與h的關系式及h需要滿足的條件.

解析

(2)若小物塊落到傳送帶左側地面,則應使小物塊到達D點之前速度減為零.

點評

物塊剛好到達D點速度為零是直線運動的“拐點”.滑塊要能夠從D點“拋出”,臨界條件為mg＝,解出h≥3.6 m.本題中后兩問在D點設置了不同的“拐點”條件,使得試題的區(qū)分度增強.

備考啟示解答此類“拐點”問題,首先要非常熟悉各種運動的力學規(guī)律,善于分析各種運動特殊點的特征,準確理解“拐點”的含義,挖掘隱藏的條件,進而成功避開命題者埋下的條件之“雷”.

3 突出對“管道類”問題的往復性運動臨界條件的考查

例5(2021年浙江1月選考,有刪減)如圖5所示,豎直平面內由傾角α＝60°的斜面軌道AB、半徑均為R的半圓形細圓管軌道BCDE和圓周細圓管軌道EFG構成一游戲裝置固定于地面,B、E兩處軌道平滑連接,軌道所在平面與豎直墻面垂直.軌道出口處G和圓心O2的連線,以及O2、E、O1和B等四點連成的直線與水平線間的夾角均為θ＝30°,G點與豎直墻面的距離.現(xiàn)將質量為m的小球從斜面的某高度h處靜止釋放.小球只有與豎直墻面間的碰撞可視為彈性碰撞,不計小球大小和所受阻力.

圖5

(3)若小球釋放后能從原路返回到出發(fā)點,高度h應該滿足什么條件?

解析

(3)第1種情況:不滑離軌道原路返回,條件是h≤2.5R.

點評

管道模型中,第一種情況只要上到管道最高點G之前速度減為零即可,這個值是h≤2.5R.第二種情況是球從G點斜拋出之后,通過豎直面的撞擊反向彈回,貌似斜拋運動,有點超綱,但是反向彈回是一個平拋運動,很好地化解了可能超綱的問題.

備考啟示管道類問題中,小物塊不存在脫軌的現(xiàn)象,相對比較容易,但要注意對平拋運動的逆向考查,注重訓練.

4 突出對“軌道類”往復性問題臨界條件的考查

例6(2016年浙江4月選考,有刪減)如圖6所示,裝置由一理想彈簧發(fā)射器及兩個軌道組成.其中軌道Ⅰ由光滑軌道AB與粗糙直軌道BC平滑連接,高度差分別是h1＝0.20m、h2＝0.10m,BC水平距離L＝1.00m.軌道Ⅱ由AE、螺旋圓形EFG和GB三段光滑軌道平滑連接而成,且A點與F點等高.當彈簧壓縮量為d時,恰能使質量m＝0.05kg的滑塊沿軌道Ⅰ上升到B點;當彈簧壓縮量為2d時,恰能使滑塊沿軌道Ⅰ上升到C點.(已知彈簧彈性勢能與壓縮量的平方成正比)

圖6

(3)當彈簧壓縮量為d時,若沿軌道Ⅱ運動,滑塊能否上升到B點? 請通過計算說明理由.

解析

(3)當彈簧壓縮量為d時,根據機械能守恒定律得＝mgh1,解得＝2m·s－1.滑塊恰能通過圓環(huán)最高點須滿足的條件是,由機械能守恒定律可知v＝v0＝2 m·s－1,得Rm＝0.4m.當R＞Rm＝0.4m 時,滑塊會脫離螺旋軌道,不能上升到B點.

點評

滑塊恰通過豎直圓軌道最高點時有mg＝m.最高點F的速度易求,只要半徑足夠小,滑塊就一定能夠順利通過圓軌道,然后成功到達B點,所以本題的隱形求解結果其實是圓半徑的大小.

備考啟示注重豎直面內圓軌道模型和管道模型的特殊點臨界條件的理解和熟練應用.

力學綜合問題考查內容豐富,涵蓋整個高中力學的主體知識,難度從低到高,是一道可以從細微處區(qū)分學生水平的具有梯度的好題.在備考中,我們必須立足于力學三大思想方法——力、能量、動量,完備力學知識體系,健全思維體系.

(完)