從兩道驚人相似的高考題說開去
——談高中物理中的等效法

李永剛

(甘肅省天水市甘谷縣第二中學(xué))

高中學(xué)習(xí)的物理知識(shí)有限,一些過程、情境較復(fù)雜的物理問題往往難以求解.本文從兩道驚人相似的高考題說起,從中體會(huì)等效法的巧妙.

1 兩道高考題——驚人相似

2021年全國(guó)甲卷的壓軸選擇題,考查了線圈進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線的問題,這道題和2010年高考安徽卷20題高度相似.

例1(2010年安徽卷)如圖1所示,水平地面上方矩形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的單匝閉合正方形線圈Ⅰ和Ⅱ,分別用相同材料、不同粗細(xì)的導(dǎo)線繞制(Ⅰ為細(xì)導(dǎo)線).兩線圈在距磁場(chǎng)上界面h高處由靜止開始自由下落,再進(jìn)入磁場(chǎng),最后落到地面.運(yùn)動(dòng)過程中,線圈平面始終保持在豎直平面內(nèi)且下邊緣平行于磁場(chǎng)上邊界.設(shè)線圈Ⅰ、Ⅱ落地時(shí)的速度大小分別為v1、v2,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的熱量分別為Q1、Q2.不計(jì)空氣阻力,則().

圖1

【特殊解析】運(yùn)用等效法.把Ⅱ線框看成n個(gè)Ⅰ線框疊合而成,則每個(gè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過程中情況完全相同,線圈Ⅰ、Ⅱ落地時(shí)的速度一定相等.Ⅱ線框由n個(gè)Ⅰ線框組成,Ⅱ線框產(chǎn)生的熱量一定為Ⅰ線框產(chǎn)生熱量的n倍,因此Q1＜Q2,答案為D.

例2(2021年全國(guó)甲卷)由相同材料的導(dǎo)線繞成邊長(zhǎng)相同的甲、乙兩個(gè)正方形閉合線圈,兩線圈的質(zhì)量相等,但所用導(dǎo)線的橫截面積不同,甲線圈的匝數(shù)是乙的2倍.現(xiàn)兩線圈在豎直平面內(nèi)從同一高度同時(shí)由靜止開始下落,一段時(shí)間后進(jìn)入一方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)的上邊界水平,如圖2所示.不計(jì)空氣阻力,已知下落過程中線圈始終平行于紙面,上、下邊保持水平.在線圈下邊進(jìn)入磁場(chǎng)后且上邊進(jìn)入磁場(chǎng)前,可能出現(xiàn)的是().

圖2

A.甲和乙都加速運(yùn)動(dòng)

B.甲和乙都減速運(yùn)動(dòng)

C.甲加速運(yùn)動(dòng),乙減速運(yùn)動(dòng)

D.甲減速運(yùn)動(dòng),乙加速運(yùn)動(dòng)

【常規(guī)解析】甲、乙兩個(gè)正方形閉合線圈,下邊進(jìn)入磁場(chǎng)的速度相等,設(shè)為v.根據(jù)n甲＝2n乙,E＝nBLv,可知E甲＝2E乙.兩線圈質(zhì)量相等,所以S甲＝,根據(jù)R＝,得R甲＝4R乙,根據(jù),得,線框所受安培力F＝nBIL,故F甲＝F乙,兩線框受力情況完全相同,因此或者甲和乙都加速運(yùn)動(dòng),或者甲和乙都減速運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)A、B正確.

【特殊解析】利用等效法,把乙線框看成兩個(gè)線框并聯(lián),則乙線框和甲線框完全相同,甲乙進(jìn)入磁場(chǎng)情況完全相同,運(yùn)動(dòng)情況完全相同,選項(xiàng)A、B正確.

在新課改理念下,高考既重視知識(shí)與技能的考查,又重視過程與方法的考查.正確的方法,往往可以起到事半功倍的效果,下面談?wù)劦刃Хㄔ诟咧形锢碇械膽?yīng)用.

2 過程等效——立竿見影

研究過程的等效替代往往可以把多個(gè)物理過程變?yōu)閱蝹€(gè)物理過程,大大簡(jiǎn)化解題過程,變復(fù)雜為簡(jiǎn)單,下面以兩道題為例說明.

例3彈性小球A和B用輕繩相連掛在輕質(zhì)彈簧下靜止不動(dòng),如圖3-甲所示,A的質(zhì)量為m,B的質(zhì)量為M.某時(shí)刻連接A、B的繩突然斷開,同時(shí)在球B的正下方有一質(zhì)量為M的球C以v0的速度豎直上拋,此后,B、C間發(fā)生彈性碰撞(碰撞時(shí)間不計(jì)),A上升經(jīng)某一位置時(shí)的速度大小為v,這時(shí)球B的速度大小為u,如圖3-乙所示.從繩突然斷開到A的速度為v的時(shí)間內(nèi),彈簧的彈力對(duì)球體A的沖量大小為().

圖3

解析

設(shè)從繩突然斷開到A的速度為v,經(jīng)過的時(shí)間為t,設(shè)彈簧對(duì)A的沖量為I,對(duì)A由動(dòng)量定理得I－mgt＝mv.在時(shí)間t內(nèi),球C速度先減小,然后與球B發(fā)生彈性碰撞后,B、C交換速度,接著球B做減速運(yùn)動(dòng)到速度大小為u,該過程等效為球C速度從v0一直減速為u,故t＝,解得I＝mv＋mv0－mu,選項(xiàng)D 正確.

點(diǎn)評(píng)

本題C和B的碰撞為彈性碰撞,兩個(gè)質(zhì)量相等的物體發(fā)生彈性碰撞時(shí),交換速度,因此碰撞后B速度減為u,等效于C以速度v0一直減為u,這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,快速解題.

例4用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接質(zhì)量相同的兩個(gè)小球A、B.用手提著A,從B離地面高為h處由靜止釋放(h＞L).所有碰撞均為彈性碰撞,碰撞時(shí)間不計(jì),空氣阻力不計(jì).以下說法正確的是().

圖4

A.球B與地面碰撞前,球B的機(jī)械能不守恒

B.球B與地面碰撞后,在離地面處與球A相遇

C.球B第二次與地面碰撞時(shí)的動(dòng)能與第一次與地面碰撞時(shí)的動(dòng)能之比為

D.球B第二次與地面碰撞時(shí),A、B兩球間的距離等于L

解析

球B與地面碰撞前,A和B間的繩子作用力為0,球B的機(jī)械能守恒,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;設(shè)球B與地面碰撞前的瞬間,A和B速度大小為v,與地面碰撞后B的速度大小為－v,B以－v的速度向上做加速度為g的勻減速運(yùn)動(dòng),A以速度v向下做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng),故A和B相遇的位置距地面小于,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;設(shè)B與地面第一次碰撞后經(jīng)過時(shí)間t,與A相遇,根據(jù)B相對(duì)于A做勻速運(yùn)動(dòng)有t＝,A與B碰撞后,A、B交換速度,也就是B的速度增大,且B在下落過程中的速度還在不斷增加,故B與地面再次碰撞的時(shí)間,球B第二次與地面碰撞時(shí),A、B兩球間的距離小于L,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤;球B與地面第一次碰撞時(shí)的動(dòng)能為Ek1＝mgh,通過以上分析可知球B與地面第二次碰撞時(shí)的動(dòng)能等效于B球從A位置下落至地面的動(dòng)能,故Ek2＝mg(h＋L),則,選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評(píng)

本題也是質(zhì)量相同的兩個(gè)小球發(fā)生彈性碰撞,把B第二次落地的動(dòng)能等效于A不與B發(fā)生碰撞落地的動(dòng)能是解決問題的關(guān)鍵.兩質(zhì)量相等的物體發(fā)生彈性碰撞時(shí),等效過程是常用方法之一.

等效研究對(duì)象和研究過程,體現(xiàn)了物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的科學(xué)思維,體現(xiàn)了新課程改革的命題方向.我們?cè)趶?fù)習(xí)備考中,要重視物理方法的滲透,在解題中,要選擇最正確的方法解題,要手中有法,胸中有數(shù),方能在高考中獨(dú)占鰲頭,勝券在握.

(完)