巧借例習(xí)題拓展提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

孫靜

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)習(xí)例題教學(xué)中，大多數(shù)教師習(xí)慣于講新題，認(rèn)為唯有新題才能激發(fā)學(xué)生探究的熱情，因而忽視了對例習(xí)題的再利用，將學(xué)生引入茫茫題海. 實際上，教材中的例習(xí)題富含深意，若將其仔細(xì)推敲和拓展不僅可以發(fā)現(xiàn)問題中的一般規(guī)律，而且能找到解決問題的通法，有利于減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高習(xí)題教學(xué)的質(zhì)量. 為此，教師應(yīng)重視例習(xí)題的拓展，通過變式拓展、解法拓展、結(jié)論拓展等提升學(xué)生解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 例習(xí)題;拓展;解決問題

教材是開展一切教學(xué)活動的重要依據(jù)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的源頭活水，凝聚著編寫者的智慧，蘊含著豐富的內(nèi)涵，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是不言而喻的，然現(xiàn)實教學(xué)中卻常常出現(xiàn)“輕教材重題海”的現(xiàn)象，部分教師認(rèn)為教材的概念、公式、定理等經(jīng)過了無數(shù)次驗證，會背能應(yīng)用就可以了;另外，教材中的例習(xí)題也較淺顯，沒有課外例習(xí)題那樣靈活生動，故容易將學(xué)生推進(jìn)茫?！邦}?！? 殊不知，這樣不僅會增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且容易出現(xiàn)思維定式，解題時常“知其然而不知所以然”. 久而久之，學(xué)習(xí)成績不升反降，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力未能獲得明顯提升. 為此，在教學(xué)中，教師必須認(rèn)真研讀教材，領(lǐng)會編寫者的真正意圖，通過對教材內(nèi)容的拓展和延伸領(lǐng)悟蘊含其中的數(shù)學(xué)思想和問題本質(zhì)，進(jìn)而有針對性地應(yīng)用適合的教學(xué)手段讓學(xué)生領(lǐng)悟解題方法和解題技巧，借此達(dá)到減負(fù)增效的效果.

從教學(xué)實踐反饋來看，教材例習(xí)題的利用率較低，大多僅應(yīng)用于新授課階段，在復(fù)習(xí)階段應(yīng)用甚少，若能對其深入探究，不僅可以加深對基礎(chǔ)知識的理解，而且有助于舊知的鞏固和新知的內(nèi)化;另外，從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)進(jìn)行再探究也容易激發(fā)學(xué)生的興趣，增加學(xué)習(xí)信心. 為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視例習(xí)題的挖掘和拓展，以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)實效，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升. 那么應(yīng)如何拓展例習(xí)題呢？筆者選取了幾個典型案例進(jìn)行剖析，以期通過例習(xí)題拓展為學(xué)生減負(fù)增效.

[?] 變式拓展，活學(xué)活用

有些例習(xí)題看似平淡無奇，然深入探究卻可以發(fā)現(xiàn)其中隱藏的一般規(guī)律，為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，教師在教學(xué)中可以安排一些變式拓展，這樣不僅可以提升學(xué)生的解題興趣，而且可以深化知識的理解和應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會總結(jié)、學(xué)會創(chuàng)新.

例1 在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點A的軌跡.

分析：本題若直接從求解的角度進(jìn)行分析并不難，設(shè)A的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)各點的坐標(biāo)可以直接表示出直線的斜率，再利用“直線AB，AC的斜率乘積為”得出等式，化簡等式后可得頂點A的軌跡方程為-=1（x≠±6）. 若本題僅限于探究簡單的頂點A的軌跡，其價值難以體現(xiàn). 為此，在此基礎(chǔ)上嘗試通過變式進(jìn)行拓展和延伸，有利于揭示其中隱藏的秘密.

變式：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率乘積為-，求頂點A的軌跡.

利用例1的解題思路可以直接得到頂點A的軌跡方程為+=1（x≠±6）.

在例1中發(fā)現(xiàn)=，在變式中發(fā)現(xiàn) -=-，那這是因為斜率乘積值比較特殊才出現(xiàn)了這種效果還是本身就有這樣的一般規(guī)律呢？顯然通過簡單的變式拓展激起了學(xué)生探究的熱情.

探究過程：在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時有（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）這個式子，移項整理得a2y2=（a2-x2）（a2-c2），當(dāng)a2≠x2時，有=，即·=-. 由代數(shù)式的幾何意義可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1：橢圓+=1（a>b>0）的長軸兩頂點A（-a，0），B（a，0）與橢圓上任意一點P（x，y）（除長軸兩頂點外）的連線的斜率之積為定值，即k·k=-;雙曲線-=1（a>b>0）的實軸兩頂點A（-a，0），B（a，0）與雙曲線上任意一點P（x，y）（除實軸兩頂點外）的連線的斜率之積為定值，即k·k=.

結(jié)論2：E，F(xiàn)，P是橢圓+=1（a>b>0）或雙曲線-=1（a>b>0）上相異的三個點，O為坐標(biāo)原點，若E，F(xiàn)，O三點共線，則直線PE，PF的斜率之積為定值 -或.

結(jié)論2的證明較簡單，這里就不再詳細(xì)闡述，只要根據(jù)E，F(xiàn)，O三點共線，可設(shè)E（m，n），F(xiàn)（-m，-n），再設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），通過斜率相乘并化簡即可得結(jié)論2.那么在此大張旗鼓地進(jìn)行變式拓展，是否有其真正的應(yīng)用價值呢？現(xiàn)以一道高考題目為例，帶領(lǐng)學(xué)生體驗該結(jié)論的應(yīng)用價值.

例2 已知點P（x，y）（x≠±a）是雙曲線E：-=1（a>b>0）上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點. 若直線PM，PN的斜率之積為，求雙曲線E的離心率.

例3 已知橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為原點. 若直線AP，BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率.

例2和例3為兩道高考真題，因為有之前拓展的經(jīng)驗，因此問題可以迎刃而解. 若之前沒有實施變式拓展，學(xué)生求解時勢必會花費大量的時間，不利于高考解題效率的提升. 為此，對例習(xí)題的變式拓展有利于學(xué)生抓住問題的本質(zhì)特征，找到問題的一般規(guī)律，進(jìn)而實現(xiàn)深入理解、靈活應(yīng)用的目的.

[?] 結(jié)論拓展，深化運用

教材中有些例習(xí)題的解法、結(jié)構(gòu)、問題背景是類似的，因此在教學(xué)時將這些相似的題目進(jìn)行類比，借助于“多題一講”，深挖題目的內(nèi)涵和外延，抽象出問題的本質(zhì)特征，這樣不僅可以將學(xué)生從題海中解放出來，而且可以抓住問題的本質(zhì)，解題時往往會收到意外驚喜.

例4 （1）設(shè)a>0，b>0，求證a3+b3≥a2b+ab2.

（2）設(shè)a≠b，求證a4+b4≥a3b+ab3.

（3）若a，b均為正數(shù)，求證a5+b5≥a3b2+a2b3.

例4中的三道題是高中數(shù)學(xué)教材中的三道選修題，大多數(shù)教師都感覺證明過程簡單沒有必要花大篇幅學(xué)習(xí)，只要會證明就可以了. 殊不知，這不屑一顧的小題目中竟然隱藏著大秘密. 顯然，由這三道題進(jìn)一步推廣可以得出這樣的結(jié)論：若a，b均為正數(shù)，m，n∈N，則am+n+bm+n≥ambn+anbm.

證明：am+n+bm+n-ambn-anbm=（am-bm）·（an-bn）. ①當(dāng)a=b時，am+n+bm+n=ambn+anbm;②當(dāng)a≠b時，am-bm與an-bn的符號相同，所以（am-bm）（an-bn）>0，即am+n+bm+n>ambn+anbm. 由①②可得am+n+bm+n≥ambn+anbm（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）.

例5 設(shè)a，b為非負(fù)實數(shù)，求證a3+b3≥（a2+b2）.

證明：a3+b3-（a2+b2）=a2·（-）+b2（-）=（-）[（）5-（）5]=（-）2[（）4+（）3（）+（）2（）2+（）（）3+（）4]≥0，即a3+b3≥（a2+b2）.

例5是高考真題，雖然得以正確求解，然其計算過程復(fù)雜，若運用推廣得到的結(jié)論，兩邊平方可得a6+b6≥a5b+ab5，這樣求解問題就顯得更容易了. 根據(jù)學(xué)生反饋可知，本題很多學(xué)生因運算過程復(fù)雜而未能正確證明. 考試后，有些教師也嘗試應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的思路進(jìn)行證明，然都沒有以上結(jié)論的應(yīng)用顯得簡潔明了. 因此，教材中無處不是寶貴的財富，在復(fù)習(xí)教學(xué)中一定要重視教材回歸，這有利于學(xué)生對知識的深化理解，有利于解題效率的提升.

[?] 解法拓展，深化理解

學(xué)生做課后習(xí)題時常習(xí)慣于套用例題的解決思路，很多習(xí)題確實是例題的變式，應(yīng)用例題的解決思路往往可以輕松解答習(xí)題，進(jìn)而實現(xiàn)鞏固知識的目的;然數(shù)學(xué)題目靈活多變，有時單一套用例題的解決思路很難實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升. 因此，在平時練習(xí)時可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行分析，這樣往往可以收獲不同的解題方法. 當(dāng)然，也許在此過程中可能碰壁，然通過多角度分析可以使學(xué)生的思維更廣闊，使學(xué)生對知識的理解更深刻.

例6 如圖1所示，ABDC是梯形，其中AB=a，CD=b，連接AD，BC交于點O，過點O作EF∥AB. GH是梯形的中位線，KL平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似，MN平行于兩底且使梯形ABNM與梯形MNCD的面積相等. 試研究線段GH，KL，EF，MN與代數(shù)式，，，之間的關(guān)系，比較它們之間的大小關(guān)系并利用基本不等式加以證明.

分析：由題意可求出GH=，KL=，EF=，MN=. 由圖1可知，MN>GH>KL>EF，所以>>>.

用基本不等式證明：因為a，b為不相等的正數(shù)，所以>>0，所以<，所以<，即<.

又-

==>0，所以>

，即>.

綜上，利用梯形模型和基本不等式證明了這個“不等式鏈”. 那么是否存在其他的證明方法呢？接下來，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已學(xué)的半圓模型進(jìn)行證明.

如圖2所示，以a+b為直徑畫半圓O，不妨設(shè)a>b>0，AC=a，CB=b，過C作CD⊥AB交半圓O于D，過點O作OM⊥AB交半圓O于M，連接MC，OD，再過C作CE⊥OD交OD于E.

分析：構(gòu)造半圓模型后，容易得OM=，CD=. 在Rt△CMO中，易知OC=，MC=. 在Rt△DCO中，由DC2=DE·OD，得DE===. 由圖2可得，MC>OM=OD>DC>DE，由此也可以得到上述“不等式鏈”.

除了上述方法外，還可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造函數(shù)模型，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明. 在教學(xué)中教師要不失時機地加以引導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生通過多角度觀察和聯(lián)想后獲得不同的解題思路，使思維向不同方向、不同層次延伸，有利于解題能力和思維能力的提升.

很多高考題目都是例習(xí)題的縮影，然因教學(xué)中缺少對例習(xí)題的開發(fā)和拓展致使學(xué)生無從察覺. 因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要研讀課本，有目的地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行例習(xí)題的再開發(fā)，這樣不僅有利于學(xué)生跳出“題?！?，而且使例習(xí)題更加生動，課堂“活”了，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力自然也就提高了.