淺析如何利用高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題提升創(chuàng)造力

陳慶菊

[摘? 要] 為了更好地考查學(xué)生的自學(xué)能力和綜合知識(shí)運(yùn)用能力，高考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)出了許多立意新穎的創(chuàng)新題. 文章剖析了新定義、新運(yùn)算等幾類常見的創(chuàng)新題，以期引起師生對(duì)創(chuàng)新題的重視，引導(dǎo)學(xué)生更好地適應(yīng)創(chuàng)新題并發(fā)展獨(dú)創(chuàng)力，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 自學(xué)能力;獨(dú)創(chuàng)力;核心素養(yǎng)

隨著新課改的深入，高考所考查的內(nèi)容也有所變化，數(shù)學(xué)創(chuàng)新題以其新穎別致、生動(dòng)靈活等特點(diǎn)獲得了命題者的青睞. 創(chuàng)新題一般立意新穎，具有一定的深度和廣度，更能激發(fā)學(xué)生的潛能，更能彰顯學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 然要做好創(chuàng)新題需要學(xué)生具有良好的獨(dú)立思考習(xí)慣和自主分析能力，在面對(duì)不同的創(chuàng)新題目時(shí)可以選擇行之有效的方法和手段進(jìn)行問題的分析和提取，并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行合理的探究，從而創(chuàng)造性地解決問題. 為了學(xué)生能更好地適應(yīng)創(chuàng)新題，筆者以幾類常見的創(chuàng)新題為例進(jìn)行了簡(jiǎn)單的剖析，以期引起共鳴.

[?] 定義新概念

所謂“新”是因?yàn)槠湓诮滩闹胁辉霈F(xiàn)，其背景新穎，構(gòu)思靈活，同時(shí)又蘊(yùn)含著豐富的信息，可以更好地考查學(xué)生的綜合能力和綜合素質(zhì). 然而，雖表面上看是從未學(xué)過的概念或定義，但仔細(xì)閱讀后不難發(fā)現(xiàn)新概念或新定義往往可以轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合新概念或新定義加以分析，往往可以輕松地解決問題.

例1 定義“等和數(shù)列”：在數(shù)列{a}中，若a與a的和均為常數(shù)d，那么數(shù)列{a}為等和數(shù)列，常數(shù)d為數(shù)列的公和.

已知{a}為等和數(shù)列，且a=2，公和d為5，則a的值為______，該數(shù)列的前n項(xiàng)和為______.

題目解析：雖然等和數(shù)列是學(xué)生從未接觸的概念，然學(xué)生有等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在解題時(shí)可以將已有的等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移至等和數(shù)列，通過二者相類比而發(fā)現(xiàn)解決方法. 根據(jù)已知不難看出，a+a=5，已知a=2，故a=3，以此可知a=3. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a=2，S=;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a=3，S=.

題目評(píng)注：本題定義了等和數(shù)列這一新概念，學(xué)生在求解a及其前n項(xiàng)和時(shí)就要充分利用好這一定義. 因?yàn)閷W(xué)生有學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)，故可以充分利用a+a=d這一個(gè)本質(zhì)特征. 解答此類問題時(shí)，學(xué)生首先要與已有知識(shí)進(jìn)行類比和遷移，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新概念的本質(zhì)特征，然后圍繞關(guān)鍵點(diǎn)找到解題的突破口，利用原有認(rèn)知將其內(nèi)化，從而順利求解.

[?] 設(shè)計(jì)新運(yùn)算

對(duì)于新概念或新定義的運(yùn)用法則和運(yùn)算方法，學(xué)生多因運(yùn)算新穎而感覺該類題目變化莫測(cè)，無從下手，故在解決此類問題時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行觀察和分析，然后理解運(yùn)算法則并挖掘出運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)而為后期的推理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例2 設(shè)S為一集合（該集合至少含有兩個(gè)元素），在S上定義一個(gè)二元運(yùn)算“?”（即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)）. 若對(duì)于a，b∈S，有a?（b?a）=b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式不恒成立的是（? ）

A. （a?b）?a=a

B. [a?（b?a）]?（a?b）=a

C. （b?b）?b=b

D. （a?b）?[b?（a?b）]=b

題目解析：由“a，b∈S，有a?（b?a）=b”可知，變量取任意值恒成立，故解此題可以直接應(yīng)用賦值法.

①將已知條件中的a換成b，則有b?（b?b）=b，故選項(xiàng)C恒成立;

②將已知條件中的a換成a?b，則有（a?b）?[b?（a?b）]=b，故選項(xiàng)D恒成立;

③將已知條件中的a換成b，b換成a，則有b?（a?b）=a，于是選項(xiàng)D可變成（a?b）?a=b，故選項(xiàng)A不恒成立;

④對(duì)于選項(xiàng)B，[a?（b?a）]?（a?b）=b?（a?b）=a，恒成立.

題目評(píng)注：例2定義了新的運(yùn)算法則，若不是新定義的內(nèi)容，學(xué)生根據(jù)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算和推理就可以得到答案;然本題定義了新的運(yùn)算法則，因此在解題前應(yīng)先理解運(yùn)算法則，理解后不難發(fā)現(xiàn)，其類似于抽象函數(shù)問題，故將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型后，賦值法的應(yīng)用也就水到渠成了. 在解決新定義的運(yùn)算法則和運(yùn)算關(guān)系時(shí)，學(xué)生常感覺到陌生和壓力，因其更加新穎，而學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中已經(jīng)習(xí)慣了套用，繼而產(chǎn)生了心理障礙，故在教學(xué)新概念或新定義時(shí)不妨以閱讀方式給出，讓學(xué)生自己去領(lǐng)悟新內(nèi)容，從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.

[?] 創(chuàng)設(shè)新探索

探索性問題因其具有一定的開放性，更能考查學(xué)生思維的廣闊性，然在長期應(yīng)試教育影響下，師生過于追求解題效率，對(duì)探索性題目的關(guān)注度較低，使得學(xué)生在面對(duì)有不確定因素的開放性問題時(shí)常出現(xiàn)畏難情緒. 基于此，教學(xué)中教師應(yīng)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究和小組探究，引導(dǎo)其大膽猜想和假設(shè)，通過類比、拓展等思維活動(dòng)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

例3 已知兩相交平面α，β與兩直線l，l，在α內(nèi)的射影為s，s，在β內(nèi)的射影為t，t. s，s與t，t滿足什么條件時(shí)可以確保l，l為異面直線.

題目解析：本題看似較難，然若學(xué)生熟知兩直線的三種位置關(guān)系并擁有良好的作圖能力，則此題并不難求解. 作圖后容易得到使l，l為異面直線的條件為：s∥s，且t與t相交;或t∥t，且s與s相交.

題目評(píng)注：此題為探索性問題，其主要考查學(xué)生的觀察能力和分析概括能力，將已知與結(jié)論相結(jié)合，從整體觀察，將本題轉(zhuǎn)化為熟悉的平面問題，進(jìn)而總結(jié)出條件. 探索性問題的結(jié)論大多不是唯一的，因此教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多角度進(jìn)行思考，應(yīng)用好已知和結(jié)論，盡量多地找到滿足結(jié)論的條件，這樣不僅可以深入理解本題，而且可以培養(yǎng)思維的多樣性和廣闊性.

[?] 引導(dǎo)新類比

類比是探索問題、解決問題的重要手段之一，通過類比發(fā)現(xiàn)問題之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而經(jīng)過猜想、推理、驗(yàn)證提出并解決新問題，其有利于學(xué)生自學(xué)能力和創(chuàng)新能力的提升.

例4 已知數(shù)列{a}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，S是{a}的前n項(xiàng)和. 若S-S，S-S，S-S也是等差數(shù)列，且其公差為100d. 與上述等差數(shù)列相類比，若數(shù)列是等比為q（q≠1）的等比數(shù)列，T是的前n項(xiàng)積，則T，T，T，T可以得出什么樣的結(jié)論？

題目解析：與等差數(shù)列相類比不難知道，，是公比為q100的等比數(shù)列.

題目評(píng)析：本題乍看是新定義的題目，即定義S-S，S-S，S-S為等差數(shù)列，然細(xì)細(xì)品味卻不難發(fā)現(xiàn)，其為基本運(yùn)算的描述，故求解并不難. 在解決此題時(shí)充分應(yīng)用了類比，如“等差”與“等比”相類比，“和”與“積”相類比，展現(xiàn)的是學(xué)生良好的分析并解決問題的能力.

[?] 跨學(xué)科融合

隨著時(shí)代的進(jìn)步，教育走向了多元化、開放化的道路，對(duì)人才的考核也從單一的應(yīng)試型轉(zhuǎn)化為應(yīng)用型和創(chuàng)新型，為了更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合，發(fā)揮各學(xué)科優(yōu)勢(shì)，在教學(xué)中要注意學(xué)科之間的相互滲透，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

例5 已知從橢圓的焦點(diǎn)F發(fā)出的光線，遇橢圓發(fā)生反射，反射后經(jīng)過焦點(diǎn)F. 現(xiàn)有一個(gè)橢圓形的桌球臺(tái)，點(diǎn)A，B為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，放在點(diǎn)A的小球從點(diǎn)A出發(fā)，那么小球第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球所走的路程為（? ）（此題不需要考慮小球的半徑）

A. 4a B. 2（a-c）

C. 2（a+c） D. 均有可能

題目解析：本題在求解時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，因題目未制定小球的具體運(yùn)行軌跡，因此解題時(shí)需要進(jìn)行分類討論.

①放在點(diǎn)A的小球從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)碰到橢圓的左頂點(diǎn)后返回A，則其所走的路程為2（a-c），故選項(xiàng)B正確.

②放在點(diǎn)A的小球從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)碰到橢圓的右頂點(diǎn)后返回A，則其所走的路程為2（a+c），故選項(xiàng)C正確.

③放在點(diǎn)A的小球從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)，其并未經(jīng)過橢圓的左右頂點(diǎn)，碰到橢圓壁后反彈經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)B，由焦點(diǎn)B再回到焦點(diǎn)A，則其所走的路程為4a，故選項(xiàng)A正確.

綜上可知，本題的答案為選項(xiàng)D.

題目評(píng)注：根據(jù)學(xué)生的反饋來看，大部分學(xué)生因受已知的干擾選擇了選項(xiàng)A. 本題是一個(gè)跨學(xué)科的創(chuàng)新題，其與物理的反射相結(jié)合，物理中的反射既是解題的已知，也是解題的干擾. 本題的順利求解需要學(xué)生仔細(xì)審題，不僅要找到學(xué)科之間的融合點(diǎn)，而且要靈活應(yīng)用已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)指代不明的問題進(jìn)行分類討論，進(jìn)而成功解決問題. 數(shù)學(xué)常與物理、化學(xué)、地理等學(xué)科內(nèi)容相融合，要解決好此類問題學(xué)生應(yīng)多關(guān)注生活，多角度進(jìn)行思考，從已知中抽象出數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)思維思考問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題. 雖然各學(xué)科在教法和學(xué)法上有著明顯的不同，但學(xué)科之間互相交叉、相互融合不僅可以開闊學(xué)生的視野，也可以更好地提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

總之，創(chuàng)新題雖靈活多變，但其與已有經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)是緊密相連的，只要認(rèn)真思考、仔細(xì)觀察、找準(zhǔn)方向，定能有所突破.