高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化融入
——以定積分的微元法為例

韓新方，范雅婷，黃柏梅，劉孟鋅，馬 麗*

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158；2.數(shù)據(jù)科學(xué)與智慧教育教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 海南師范大學(xué)，海南 ?？?571158；3.藤縣中學(xué)，廣西 梧州 543300；4.達(dá)州天立學(xué)校，四川 達(dá)州 635000）

極限理論是現(xiàn)代微積分學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)于高中階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)該內(nèi)容過(guò)于豐富且難以理解。在高中階段講解定積分的概念時(shí)，不可避免要用到極限理論或思想，使得定積分的概念變得晦澀難懂，導(dǎo)致定積分應(yīng)用等變成無(wú)源之水的套路或模式化，使學(xué)生產(chǎn)生不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦Щ蠛拖萑氩恢獙?duì)錯(cuò)的窘境。為避免“以未知講新知”的不倫循環(huán)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不嚴(yán)謹(jǐn)，本文提出在高中階段講解定積分時(shí)強(qiáng)化微元法教學(xué)，在學(xué)生簡(jiǎn)單了解定積分定義后，用微元法來(lái)代替定積分嚴(yán)格定義，給出適用定積分計(jì)算的3個(gè)前提條件以及應(yīng)用的3個(gè)基本步驟。本文從定積分的思想和微元法入手，給出若干經(jīng)典幾何問(wèn)題建模的前提和具體步驟，近似嚴(yán)格地證明立體幾何中圓的面積、球的體積等常見的公式，旨在培養(yǎng)學(xué)生具備一般到特殊的哲學(xué)觀點(diǎn)，提高其抽象到具體的數(shù)學(xué)思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯推理能力，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化。

基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有關(guān)微積分的基本知識(shí)[1-6]引入到了初等數(shù)學(xué)中，尤其是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)、定積分及其應(yīng)用方面的內(nèi)容，并日益被一些中學(xué)教師和學(xué)者所關(guān)注并研究。在高中階段講解定積分的概念時(shí)，通常通過(guò)求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過(guò)程得到“分割、近似、求和、取極限”4個(gè)步驟，然后將其歸結(jié)為一個(gè)特定形式和（黎曼和）的極限，進(jìn)而得到定積分。這樣處理比較嚴(yán)謹(jǐn)，符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化體系，但太精細(xì)反而顯得繁瑣，而且學(xué)生并沒(méi)有學(xué)習(xí)極限理論的相關(guān)知識(shí)，如此用未知的極限知識(shí)來(lái)講解定積分會(huì)使得學(xué)生在學(xué)習(xí)定積分的時(shí)候存在不少的困難。因此，基于作者的教學(xué)實(shí)踐和之前的講究積累[7-8]，本文提出在高中階段淡化定積分的定義，達(dá)到知道“是什么”的程度即可?！霸趺醋觥边@一環(huán)節(jié)引入微元法，強(qiáng)調(diào)微元法中“以直代曲，以常代變”的思想，講授適用定積分模型的前提條件以及寫出定積分的基本步驟。這樣既可以避免未知內(nèi)容的循環(huán)論證，又可以明晰定積分應(yīng)用的具體操作步驟或流程，保證數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)也減少學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的建模能力。

利用定積分證明高中階段（立體）幾何中的基本公式是定積分的一個(gè)重要應(yīng)用。對(duì)于這部分內(nèi)容，本文闡述并利用微元法，期望使學(xué)生體會(huì)定積分中分割、近似求和的思想?；诖?，本文選取了幾組特殊的平面和立體圖形進(jìn)行微元法求面積或體積，分析各公式之間的聯(lián)系，并探究平面及立體幾何中3 個(gè)常見基本量（平面幾何圖形周長(zhǎng)、面積及立體幾何圖形的體積）。最后指出針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可以探討微元法求平面曲線的曲線長(zhǎng)，增加該部分內(nèi)容的創(chuàng)造性、高階性和挑戰(zhàn)度。

1 微元法

從某種意義上來(lái)說(shuō)，微元法是由定積分定義中“精簡(jiǎn)”出來(lái)的一種方法。它在一定程度上避開了定義中“取極限”的步驟和積分可積的必要條件（十分基礎(chǔ)且必要，但對(duì)大部分中學(xué)師生來(lái)說(shuō)確實(shí)難懂），避免循環(huán)論證發(fā)生，但是它并沒(méi)有解釋為什么可以將和式轉(zhuǎn)化為定積分，因此微元法是具有相對(duì)的嚴(yán)謹(jǐn)性。但鑒于中學(xué)生的年齡和思維特征，使得學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容應(yīng)更加注重應(yīng)用，因此在學(xué)生簡(jiǎn)單了解定積分的定義并掌握了“精簡(jiǎn)”的微元法后，應(yīng)該讓學(xué)生明確微元法的適用條件以及具體的操作流程。

1.1 微元法的適用條件

定積分的應(yīng)用中，如果某一實(shí)際問(wèn)題中的所求量U符合下列條件[9-10]，

（i）U是與某個(gè)變量（比如x）的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量；

（ii）U在變化區(qū)間[a,b]上具有可加性，即如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；

（iii）根據(jù)以直代曲的思想，部分量ΔUi的近似值可以表示為f(ξi)ΔXi,

那么就可以用定積分來(lái)表達(dá)U。

1.2 微元法的具體操作步驟

寫出U的積分表達(dá)式的步驟如下：

(i)根據(jù)具體問(wèn)題，選定一個(gè)合適的積分變量（比如x），并確定它的變化區(qū)間為[a,b]；

（ii）把區(qū)間[a,b]分割成無(wú)數(shù)個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作[x,x+ dx]，求出這個(gè)小區(qū)間的部分量ΔU相應(yīng)的近似值。若ΔU能近似地表示成[a,b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積，且ΔU與f(x)dx近似相等，就稱f(x)dx為變量U的微元且記作dU，即dU=f(x)dx；

上述方法通常稱為微元法，是一種重要的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)也是定積分“以直代曲”思想的具體體現(xiàn)，因此尋求實(shí)際問(wèn)題中的“微元”是利用積分解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵一步。

2 舉例演示、化抽象為具體

在系統(tǒng)地講解微元法之后，結(jié)合以下具體例子向?qū)W生演示微元法的具體操作步驟。這里選取橢圓和圓的面積和橢球的體積公式以及它們的特殊形式舉例說(shuō)明，目的是使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)應(yīng)用微元法的操作規(guī)范，并加深對(duì)一些特殊圖形的面積以及體積公式的理解。

2.1 圓面積公式

圖1 微元法求橢圓的面積Figure 1 The area of a ellipese by infinitesimal method

（1）判斷是否符合微元法的應(yīng)用條件:

（i）所求量S橢是與變量x的變化區(qū)間[ -a,a]有關(guān)的量；

（ii）S橢在變化區(qū)間[ -a,a]具有可加性，也就是說(shuō)把區(qū)間[ -a,a]進(jìn)行分割得到多個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)的S橢被分成多個(gè)部分量，則有S橢等于所有部分量之和；

（iii）取S橢其中任一小區(qū)間[x,x+ dx]，則對(duì)應(yīng)部分量ΔS橢的近似值為ydx。

因此，可以運(yùn)用微元法求橢圓面積。

（2）利用微元法計(jì)算橢圓面積

即得橢圓的面積為S橢=πab。

（3）一般到特殊的思想

已知圓是最特殊的橢圓，當(dāng)a=b=r時(shí)橢圓的面積公式轉(zhuǎn)化為圓的面積公式πr2。

2.2 圓柱體積和圓錐體積公式

如圖2所示，圓柱的體積V柱是與圓柱的高H的變化區(qū)間有關(guān)的量，同時(shí)V柱在該變化區(qū)間具有可加性，即把該區(qū)間分割成無(wú)數(shù)個(gè)小區(qū)間，得到V柱的部分量ΔV柱（相當(dāng)于把圓柱分割成無(wú)數(shù)個(gè)半徑為r的小圓片），則圓柱的體積等于這些部分量的總和。其中ΔV柱的近似值可以表示成πr2dh（其中dh為分割后任意小區(qū)間的長(zhǎng)度）。則所求量V柱滿足微元法的應(yīng)用條件，下面應(yīng)用微元法計(jì)算圓柱的體積。

圖2 微元法求圓柱體的體積Figure 2 The volume of a cylinder by infinitesimal method

在高中階段，通過(guò)實(shí)驗(yàn)知道圓柱的體積是等底等高圓錐體積的三倍，但是這個(gè)結(jié)論是通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C。在得出圓柱體的體積公式后，仿照?qǐng)A柱體積的求法引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用微元法來(lái)計(jì)算出圓錐體積。

圖3 微元法求圓錐體的體積Figure 3 The volume of a cone by infinitesimal method

至此，得到圓錐體積嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。從中可以發(fā)現(xiàn)同規(guī)格圓柱與圓錐的體積比是3∶1。

2.3 球體體積公式

如圖4所示，橢球體的體積V橢是與x的變化區(qū)間有關(guān)的量且在變化區(qū)間上具有可加性，即把該區(qū)間分割成無(wú)數(shù)個(gè)小區(qū)間，得到V橢的部分量△V橢（相當(dāng)于把橢球體用垂直于x軸的平面分割成無(wú)數(shù)個(gè)小橢圓片），橢球體的體積等于這些部分量的總和，則所求量V橢符合運(yùn)用微元法的條件。

圖4 微元法求圓錐體的體積Figure 4 The volume of a ellipsoid by infinitesimal method

下面應(yīng)用微元法計(jì)算橢球體的體積。

將x看作是積分變量，它的變化區(qū)間為[ -a,a]，任取一小區(qū)間記作[x,x+ dx]，在每個(gè)小區(qū)間上橢球體體積的部分量△V橢的近似值為S橢dx。其中，所截得橢圓的表達(dá)式如下：

因此，橢球的體積為

此外，在證明一般圖形的面積及體積公式后，還可以借助微元法向?qū)W生介紹如何計(jì)算平面曲線的長(zhǎng)度，在“不可度量”到“可計(jì)算”的過(guò)程中感受微積分中“以直代曲”的思想并領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力。這一部分內(nèi)容對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性有重要作用，但對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)要求較高，建議教師適當(dāng)引導(dǎo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的延展性及課堂的高階性、創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)度。

3 教學(xué)建議與總結(jié)

本文意在通過(guò)講解微元法來(lái)推廣定積分的應(yīng)用在高中階段的普及，使得更多中學(xué)生感受到數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性并提高其學(xué)以致用的思維能力和建模能力。由于學(xué)生的年齡特征和思維水平的局限，中學(xué)生僅適用于“相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)”的證明并注重應(yīng)用。文中展示了3組幾何公式的證明，讓學(xué)生明確微元法的適用條件以及具體的操作流程，讓學(xué)生從實(shí)際運(yùn)用的層面體會(huì)其依據(jù)。通過(guò)分析幾組公式的關(guān)系，也讓學(xué)生體會(huì)到由一般到特殊的哲學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，使高中數(shù)學(xué)課堂融入整體到部分、特殊到一般、追求嚴(yán)謹(jǐn)和真理的思政元素，富有數(shù)學(xué)文化張力。