基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題A-1：水鐘計(jì)時(shí)

王 槿，文小青，李文華,惠王偉，孔勇發(fā)

(南開大學(xué) a.物理科學(xué)學(xué)院;b基礎(chǔ)物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300071)

在基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，豐富對流體相關(guān)現(xiàn)象及流體參量的探究，有助于培養(yǎng)學(xué)生的物理思維. 第7屆全國大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競賽(教學(xué)賽)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題A為流體的流動(dòng). 試題A分三部分：第一部分為水鐘計(jì)時(shí)，第二部分為毛細(xì)管中液體的流動(dòng)，第三部分為風(fēng)洞，其中第一和第二部分為“二選一”形式. 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題A涉及液體的靜力學(xué)及表面張力現(xiàn)象、動(dòng)力學(xué)(液體流動(dòng)及黏性)和氣體動(dòng)力學(xué)(空氣在風(fēng)洞內(nèi)的流動(dòng))等相關(guān)知識. 第一部分“水鐘計(jì)時(shí)”試題從流體力學(xué)的基本概念出發(fā)，考查學(xué)生對物理基本規(guī)律的認(rèn)識和理解，對常用測量儀器的使用方法以及數(shù)據(jù)處理、誤差分析的掌握情況，從簡單生活現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)物理問題及解決問題的能力.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 雷諾數(shù)與伯努利原理

流體具有流動(dòng)性、黏性和壓縮性. 流體的流動(dòng)形態(tài)分為層流和湍流，可用雷諾數(shù)的大小來界定這2種流態(tài). 雷諾數(shù)是流體力學(xué)中表征黏性影響的無量綱量[1]，記作Re

(1)

其中ρ，v和η分別為流體的密度、流速與黏度(動(dòng)力黏度)，D為特征長度.

雷諾數(shù)表征流體的慣性力與黏性力之比：雷諾數(shù)較小時(shí)，黏性效應(yīng)在整個(gè)流場中起主要作用，流動(dòng)為層流；雷諾數(shù)較大時(shí)，慣性力占主導(dǎo)作用，流動(dòng)逐步過渡為湍流[2].由層流過渡到湍流的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù).實(shí)驗(yàn)表明臨界雷諾數(shù)不是固定常量，其下限約為2 000.通過改善實(shí)驗(yàn)條件，其上限可以提高到50 000[1].實(shí)驗(yàn)表明，對內(nèi)壁光滑的直管而言，Re<1 000時(shí)，為層流；Re>2 000時(shí)，為湍流；當(dāng)1 000

無黏性正壓流體在有勢外力作用下做定常流動(dòng)時(shí)，通常用伯努利原理描述總能量沿流線守恒.這里考慮流體從容器側(cè)壁開口流出的情況[2].

圖1所示為某同學(xué)居家實(shí)驗(yàn)中研究伯努利原理的裝置示意圖.圖2所示為伯努利原理的示意圖，曲線示意流體的流線，由這2條流線所圍成的區(qū)域稱為流管.在流體定常、無黏、不可壓縮的假設(shè)下，截面A1前進(jìn)ds1距離時(shí)，截面A2前進(jìn)ds2，則存在以下關(guān)系：

A1ds1=A2ds2.

(2)

圖1 居家實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖

圖2 伯努利原理的示意圖

如圖2所示，若流管兩端的壓強(qiáng)分別為p1和p2，則流體在這一流動(dòng)過程中，對流管內(nèi)兩截面間流體做功為

dW=p1A1ds1-p2A2ds2.

(3)

此功等于流管內(nèi)流體的能量(動(dòng)能和勢能)的凈變化量.圖2所示的兩處流速分別為v1和v2，高度為y1和y2，根據(jù)能量守恒和質(zhì)量守恒化簡得：

(4)

假設(shè)所有流線都與水的上表面垂直相交，將A1截面設(shè)置為容器中液體的上表面，A2截面設(shè)置為容器側(cè)壁小孔，則由式(4)可得：

(5)

(6)

即托里拆利定律.

水流離開小孔后的運(yùn)動(dòng)可看作具有初速度v0的平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

其中，x和y為水流軌跡坐標(biāo)，x0和y0為小孔位置坐標(biāo)，消去時(shí)間t可得軌跡方程為

(8)

由式(8)可知水流軌跡為拋物線.在容器內(nèi)液面高度近似不變的情況下，通過測量水流離開小孔后的軌跡位置(x,y)，根據(jù)式(8)可得到此時(shí)流體流出小孔的速度v0.

試題閱讀部分給出了動(dòng)能項(xiàng)和勢能項(xiàng)的詳細(xì)推導(dǎo)過程.由于篇幅限制，此處伯努利方程的推導(dǎo)過程做了簡化.

1.2 水鐘計(jì)時(shí)原理

古代計(jì)時(shí)工具有日晷、沙漏、滴漏、燃香、脈搏、水鐘等，現(xiàn)代計(jì)時(shí)器有秒表、電磁打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、數(shù)字毫秒計(jì)、攝像機(jī)、示波器、石英晶體振蕩器等[4].例如，2020年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽中第6題“撒克遜碗”[5-6]的研究內(nèi)容也是古代計(jì)時(shí).

對于圖1所示的流體情況，當(dāng)對容器中液面高度進(jìn)行監(jiān)測時(shí)，假設(shè)液面面積為A1，小孔面積為A0，則由式(2)可得：

(9)

聯(lián)立式(6)，得到液面由距離小孔高度h1下降到h2用時(shí)為[7]

(10)

式(10)即為水鐘的計(jì)時(shí)原理.

1.3 表面張力系數(shù)

液體的表面張力與液體表面相切.如果在液體表面畫1條假設(shè)直線，則表面張力的作用表現(xiàn)為線段兩端的液面存在一定的拉力，并且力的方向與線段垂直，力的大小與該線段的長度成正比[3]，即

Fα=αL,

(11)

其中，比例系數(shù)α為液體的表面張力系數(shù)，表示單位長度的線段兩側(cè)液面的相互拉力.

在觀察流體流動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，容器中液面在下降到距離小孔一定高度h時(shí)不再下降，此時(shí)由楊-拉普拉斯公式得到：

(12)

其中，R為小孔處液體表面的曲率半徑，g為重力加速度.水流停止時(shí)小孔處的液面示意圖如圖3所示.

圖3 水流停止時(shí)小孔開口處的液面示意圖

2 實(shí)驗(yàn)器材

第一部分的器材有：

a.貼有標(biāo)號的側(cè)壁開孔空水瓶5個(gè)；

b.塑料水槽1個(gè)；

c.高度臺(tái)1個(gè)；

d.細(xì)木棍2根；

e.橡皮筋4條；

f.記號筆1支.

共用器材有：

a.移測顯微鏡1臺(tái)；

b.量程0～100.0 ℃溫度計(jì)1支；

c.秒表1塊；

d.燒杯1～2個(gè)；

e.鐵架臺(tái)1個(gè)，夾子若干；

f.游標(biāo)卡尺1把；

g.含待測液體的洗瓶2個(gè)；

h.刻度尺2把；

i.透明膠帶1卷；

j.廢液桶1個(gè)；

k.LED照明燈1盞；

l.抹布2塊.

3 實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1)根據(jù)水鐘計(jì)時(shí)原理，當(dāng)水瓶側(cè)壁開孔孔徑分別為1，2，3，4，5 mm時(shí)，計(jì)算液面由距孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所需時(shí)間. (10分)

2)從1～3號瓶子中選擇1個(gè)，重復(fù)多次實(shí)驗(yàn)，觀察并記錄液面從距離開孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所需的時(shí)間，是否有明顯變化？計(jì)算測量結(jié)果的A類不確定度. 記錄水瓶編號(已標(biāo)注在瓶身)，置信概率取P=0.683，t分布關(guān)系見附錄2. (5分)

3)用提供的5個(gè)開孔大小不同的瓶子，探究液面由距孔高度h1=10 cm下降至h2=5 cm所用時(shí)間與孔徑大小的關(guān)系(粗測小孔孔徑，只測1次)，相關(guān)數(shù)據(jù)記錄到答題紙上. 分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否與1.1中理論計(jì)算得到的規(guī)律相符？從精度和準(zhǔn)確度方面簡要分析水瓶計(jì)時(shí)裝置. (15分)

4)在液面下降實(shí)驗(yàn)中，水流停止流出時(shí)，容器內(nèi)液面距小孔還有一定高度. 試分析該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因. 測量此時(shí)液面距小孔高度h，試計(jì)算此時(shí)小孔處液面的曲率半徑. 將其與小孔直徑對比，分析兩者是否在同一數(shù)量級上. 從附錄中查取所需常量. (10分)

5)假設(shè)待測液體在室溫下的黏度η=1.00×10-3Pa·s，任意選擇1個(gè)水瓶，在液面距離小孔10 cm時(shí)，計(jì)算理論出口流速及理論雷諾數(shù). 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，測量所需要的數(shù)據(jù)，計(jì)算實(shí)際出口流速及實(shí)驗(yàn)雷諾數(shù). 分析液體的流動(dòng)是否滿足層流條件. (10分)

試卷附錄信息：

附錄1：所提供的液體在不同溫度下的密度.

附錄2：不同置信概率時(shí),t分布的置信系數(shù)與自由度的關(guān)系.

附錄3：所提供液體在不同溫度時(shí)與液相分界面的表面張力系數(shù)α.

附錄4：移測顯微鏡使用說明(JC-10，上海光學(xué)儀器五廠).

4 試題解答

1)題設(shè)要求清晰，根據(jù)式(10)進(jìn)行計(jì)算. 要求測量的水瓶直徑在參考值附近，能夠使用50分度游標(biāo)卡尺進(jìn)行測量，有效數(shù)字正確. 根據(jù)實(shí)際測量值，要求理論計(jì)算結(jié)果及表示正確. 由于制造工藝，水瓶的直徑略有差別，此處給出參考答案. 水瓶直徑D在60.8 mm附近，加工精度造成的直徑測量偏差為0.5 mm. 不同開孔直徑時(shí)液面下降時(shí)間的理論計(jì)算值如表1所示.

表1 不同開孔直徑時(shí)液面下降時(shí)間的理論計(jì)算值

2)此部分內(nèi)容主要考查了學(xué)生對移測顯微鏡的操作以及數(shù)據(jù)處理知識，包括隨機(jī)誤差、A類不確定度的計(jì)算.

學(xué)生根據(jù)選擇和實(shí)際測量填寫瓶子的編號和小孔的直徑，測量工具為移測顯微鏡和(或者)米尺. 實(shí)驗(yàn)中給出的移測顯微鏡量程為4 mm，當(dāng)孔徑超過4 mm時(shí)用米尺或者游標(biāo)卡尺進(jìn)行測量.

如表2所示，實(shí)驗(yàn)測5組數(shù)據(jù)，時(shí)間基本保持不變. 孔徑對應(yīng)1～5 mm范圍，時(shí)間在155.08～6.20 s范圍.

表2 某組下降時(shí)間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本題需要學(xué)生根據(jù)自己的測量結(jié)果正確計(jì)算出不確定度，有效數(shù)字位數(shù)正確，并得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論，即時(shí)間基本保持不變，隨機(jī)誤差較小.

表3 某組實(shí)驗(yàn)的小孔直徑和下降時(shí)間數(shù)據(jù)

分析結(jié)果主要包括：

a.某組實(shí)驗(yàn)下降時(shí)間隨孔徑的變化如圖4所示，下降時(shí)間主要取決于孔徑大小. 孔徑越大，下降時(shí)間越短，與理論變化趨勢相同.

b.下降時(shí)間t的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)普遍比理論數(shù)據(jù)大，可能是孔口不規(guī)則、黏滯作用等因素導(dǎo)致.

c.理論下降時(shí)間和實(shí)驗(yàn)下降時(shí)間差別較大，結(jié)合上一題的分析，得出結(jié)論：水瓶計(jì)時(shí)裝置的精度較高，準(zhǔn)確度較低.

圖4 某組實(shí)驗(yàn)下降時(shí)間隨孔徑的變化

4)要求學(xué)生分析出該現(xiàn)象由表面張力產(chǎn)生；能夠讀出液面高度，記錄液體溫度，查表獲得相應(yīng)的表面張力系數(shù)值，查表獲得對應(yīng)的密度值. 由式(12)計(jì)算小孔處液面的曲率半徑，得出結(jié)論：小孔處液面的曲率半徑和小孔直徑在同一數(shù)量級.

5)理論計(jì)算：將h=10 cm,g=9.8 m/s2代入式(6)，出口處理想流速v=1.4 m/s. 測量液體溫度，查表得到液體密度. 例如,水溫24 ℃,ρ=997.32 kg/m3,液體的黏度η=1.00×10-3Pa·s，當(dāng)特征長度取管口直徑D=0.002 14 m，代入式(1)得到理論雷諾數(shù)為2 998，液體不滿足層流假設(shè). 學(xué)生需要結(jié)合自己實(shí)驗(yàn)中選擇的孔徑進(jìn)行計(jì)算，對是否符合層流情況做出分析.

實(shí)驗(yàn)測量：水流離開小孔后的運(yùn)動(dòng)看作平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程由式(7)給出.要求學(xué)生能夠描述測量方案，測量小孔到瓶底的距離y和水平距離x.由y得到時(shí)間t，并根據(jù)測量值計(jì)算得出實(shí)際的流速和雷諾數(shù).

表4給出了某組3個(gè)不同孔徑水瓶的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，水溫為18 ℃，ρ=997.62 kg/m3. 將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析對比，可以發(fā)現(xiàn)：在較大孔徑下，液體均不滿足層流假設(shè)；當(dāng)孔徑較小時(shí)，液體呈現(xiàn)向?qū)恿鬟^渡的趨勢.

表4 某組水瓶的出口流速及雷諾數(shù)的計(jì)算結(jié)果

5 考試結(jié)果及評析

5.1 得分分布

基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題A第一部分共計(jì)5道題，總分50分. 參加考試的55名考生中有43人選擇了第一部分，占比78.18%. 總分得分情況如圖5所示，具體題目得分分布如圖6所示.

圖5 總分得分情況

(a)第一題 (b)第二題

(c)第三題 (d)第四題

(e) 第五題 圖6 各題目得分情況

5.2 結(jié)果分析

基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題A的閱讀材料共計(jì)15頁，其中與第一部分相關(guān)的背景知識約占7頁. 試卷給出了大量關(guān)于伯努利方程的閱讀內(nèi)容，可應(yīng)用于第五題中的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì). 大部分考查的內(nèi)容是基本儀器和數(shù)據(jù)處理相關(guān)知識，例如精度與準(zhǔn)確度分析，誤差與不確定度評定，誤差的來源與分類. 試卷結(jié)果顯示部分考生對基本的測量常識掌握得不夠準(zhǔn)確，存在概念混淆，例如精度與準(zhǔn)確度.

在儀器的使用方面，大部分考生會(huì)使用移測顯微鏡，但是部分考生測量時(shí)沒有使用光源，可能導(dǎo)致讀數(shù)不準(zhǔn)確. 實(shí)驗(yàn)中需要固定圓瓶，考生利用木棍、橡皮筋、膠帶和高度臺(tái)，在較短時(shí)間內(nèi)給出了不同的固定方案.

水鐘計(jì)時(shí)實(shí)驗(yàn)是南開大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中的常規(guī)實(shí)驗(yàn)，在2020年春季疫情期間開始進(jìn)行該內(nèi)容的線上教學(xué)，后期拓展為課堂實(shí)踐. 實(shí)驗(yàn)器材包括礦泉水瓶、高度臺(tái)和攝影支架，實(shí)驗(yàn)成本較低. 實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容比本次競賽考核內(nèi)容豐富，課上學(xué)生使用手機(jī)進(jìn)行攝像錄制，使用Tracker提取液面，開展托里拆利定律的驗(yàn)證和理論模型的修正等內(nèi)容. 此實(shí)驗(yàn)的拓展研究包括對黏滯和表面張力影響的進(jìn)一步討論. 由于實(shí)驗(yàn)競賽現(xiàn)場并沒有配備電腦，不具備實(shí)時(shí)液面下降高度數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)擬合的功能，并未進(jìn)一步考查能量耗散情況下托里拆利定律的修正. 這部分內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[8-9].