利用扭擺實(shí)驗(yàn)探究簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律

周子棟，邵明珍，王才林，曾孝奇，張 歡

(南方科技大學(xué) 物理系，廣東 深圳 518055)

簡諧運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)形式，廣泛存在于諸多物理系統(tǒng)之中. 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課堂上，學(xué)生多基于單擺[1]或彈簧振子[2]實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)驗(yàn)類型有限. 為了拓展學(xué)生視野，達(dá)到融會貫通的教學(xué)目標(biāo)，依據(jù)力學(xué)相似性[3]設(shè)計(jì)了一種新型扭擺實(shí)驗(yàn). 與常見的扭擺實(shí)驗(yàn)[4-5]相比，本實(shí)驗(yàn)新增了智能手機(jī)和視頻軟件的運(yùn)用，能夠測量扭擺轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度和能量的時(shí)間演化曲線，進(jìn)而驗(yàn)證簡諧運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律. 教學(xué)實(shí)踐表明，本實(shí)驗(yàn)兼具趣味性和挑戰(zhàn)性，有助于加深學(xué)生對簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律和力學(xué)相似性的理解，并提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析、處理能力. 另外，本實(shí)驗(yàn)也豐富了物理實(shí)驗(yàn)與智能手機(jī)相結(jié)合的研究[6-10].

1 實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)的扭擺裝置主要包括鐵架臺、鋼絲、剛體和智能手機(jī)，智能手機(jī)置于剛體下方，用來錄制標(biāo)記點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)視頻，錄像幀率為30 fps，如圖1(a)所示. 鐵架臺的橫桿中裝有鉆頭夾，用來鎖緊鋼絲上端，如圖1(b)所示. 剛體由懸架和若干個(gè)鐵環(huán)組成，鐵環(huán)放置在懸架上面. 懸架上的鉆夾頭用來鎖緊鋼絲下端,如圖1(c)所示. 上下2個(gè)鉆夾頭之間所夾鋼絲的直徑和長度分別為(0.495±0.001) mm和(40.00±0.01) cm. 單個(gè)鐵環(huán)的質(zhì)量為(415.50±0.26) g，內(nèi)徑和外徑分別為(80.10±0.06) mm和(109.98±0.10) mm，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(961.4±1.4) kg·mm2.

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

懸架的底部貼有輕薄紙片，紙片上有2個(gè)黑色標(biāo)記點(diǎn)A和B，均位于懸架的軸線上,如圖1(d)所示. 運(yùn)用2個(gè)標(biāo)記點(diǎn)連線的斜率來推算剛體轉(zhuǎn)角.

2 實(shí)驗(yàn)原理

如圖1(a)所示扭擺裝置，上下鉆夾頭之間所夾鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為D，懸架上鐵環(huán)的數(shù)目為n,

鐵環(huán)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為In，懸架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ix.當(dāng)剛體轉(zhuǎn)離平衡位置的轉(zhuǎn)角為θ時(shí)，鋼絲因扭轉(zhuǎn)形變而產(chǎn)生恢復(fù)力矩，其大小為Dθ，方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反.當(dāng)阻尼作用可忽略不計(jì)時(shí)，剛體僅受恢復(fù)力矩作用，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為[4-5]

(1)

θ=Qsin (ωt+φ),

(2)

(3)

(4)

其中,Q和φ分別表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的幅度和初始相位.ω表示轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率，依賴于鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，函數(shù)關(guān)系為

(5)

在式(1)等號兩側(cè)對轉(zhuǎn)角積分，可得

Ek=-Ep+E,

(6)

其中Ek,Ep和E分別稱為扭擺的動(dòng)能、勢能和機(jī)械能.由式(6)可知，扭擺在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒.Ep和Ek分別為

(7)

(8)

將式(2)和式(3)分別代入式(7)和式(8)，并結(jié)合式(5)，可得

(9)

(10)

由此可見，當(dāng)勢能達(dá)到極小值時(shí)，動(dòng)能達(dá)到極大值；反之，當(dāng)勢能達(dá)到極大值時(shí)，動(dòng)能達(dá)到極小值.另外，勢能和動(dòng)能的演化頻率是2ω，是轉(zhuǎn)角演化頻率的2倍.

3 實(shí)驗(yàn)方法

探究上述實(shí)驗(yàn)原理中的的簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，關(guān)鍵在于追蹤剛體轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化.為此，可在懸架的軸線上制作2個(gè)標(biāo)記點(diǎn)A和B，如圖1(d)所示，然后根據(jù)兩點(diǎn)連線斜率推算出轉(zhuǎn)角為

(11)

其中，(xA,yA)和(xB,yB)分別為標(biāo)記點(diǎn)A和B的坐標(biāo).由于剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)存在小幅度擺動(dòng)，為了減小其擺動(dòng)幅度，應(yīng)該待剛體靜止后再旋轉(zhuǎn)上方鉆夾頭來扭轉(zhuǎn)鋼絲帶動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng).另外，上述算法能夠使2個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的擺動(dòng)成分相抵消減小實(shí)驗(yàn)誤差.

目前，有多款視頻軟件可以提取標(biāo)記點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，如Tracker[11-12]，Capstone[13]和Matlab[14]等. 以Tracker為例，簡述坐標(biāo)演化數(shù)據(jù)的提取方法. Tracker界面如圖2所示，其操作步驟為打開視頻文件、剪輯設(shè)定、定標(biāo)、坐標(biāo)軸設(shè)定、軌跡創(chuàng)建和自動(dòng)追蹤等. 在Tracker提取出坐標(biāo)演化數(shù)據(jù)后，將數(shù)據(jù)拷貝到Origin軟件，運(yùn)用反正切函數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)角θ. 由于Origin軟件中的反正切函數(shù)值域是(-90°,90°)，為了便于數(shù)據(jù)處理，建議在錄像時(shí)控制扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)幅度并調(diào)整手機(jī)位置，使標(biāo)記點(diǎn)運(yùn)動(dòng)限于Tracker界面中的第一、四象限或第二、三象限.

圖2 Tracker界面

得到轉(zhuǎn)角后，通過差分法估算角速度

(12)

其中，θ(t)和θ(t′)分別為t時(shí)刻和t′(t′>t)時(shí)刻的轉(zhuǎn)角.式(12)等號右邊分式具有平均角速度的含義，在t′-t極小時(shí)用于估算(t+t′)/2時(shí)刻的瞬時(shí)角速度.同理，可運(yùn)用差分法估算角加速度

(13)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

剛體轉(zhuǎn)角θ隨時(shí)間的演化曲線，以及鐵環(huán)數(shù)目n對曲線的影響，如圖3所示.轉(zhuǎn)角演化具有周期特征，轉(zhuǎn)動(dòng)幅度在約30 s的時(shí)間窗口內(nèi)衰減較小，而且轉(zhuǎn)動(dòng)頻率隨著鐵環(huán)數(shù)目的增加而減小. 圖3中藍(lán)色實(shí)線表示擬合曲線，目標(biāo)函數(shù)為式(2)，擬合結(jié)果見表1.

(a)n=0

(b)n=1

(c)n=2

(d)n=3圖3 不同鐵環(huán)數(shù)目下剛體轉(zhuǎn)角的時(shí)間演化散點(diǎn)圖

擬合結(jié)果說明，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合曲線符合得較好，可近似認(rèn)為剛體在做簡諧運(yùn)動(dòng). 需要指出的是，由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間分辨率約為33.3 ms，為了使數(shù)據(jù)點(diǎn)容易辨認(rèn)，圖中僅顯示了25%的數(shù)據(jù).

表1 不同鐵環(huán)數(shù)目下剛體轉(zhuǎn)角演化數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果

基于表1中的擬合結(jié)果，可以探索剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率ω和鐵環(huán)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量In之間的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.圖4中藍(lán)色實(shí)線表示擬合曲線，擬合目標(biāo)函數(shù)采用式(5).從圖4中可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同理論曲線符合得較好，進(jìn)一步驗(yàn)證了簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律.另外，經(jīng)過擬合得到了鋼絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)和懸架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，結(jié)果分別為D=(1.007 9±0.001 4)×10-3J和Ix=(0.506 2±0.000 8)×10-3kg·m2.

最后，基于轉(zhuǎn)角演化數(shù)據(jù)，并采用差分法，可以得到角速度和角加速度隨時(shí)間的演化曲線. 然后，將轉(zhuǎn)角和角速度分別帶入式(7)和式(8)，并結(jié)合D和Ix的擬合結(jié)果，可以得到勢能和動(dòng)能的演化曲線. 圖5展示了鐵環(huán)數(shù)目n=1時(shí)，扭擺轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度、勢能、動(dòng)能和機(jī)械能的時(shí)間演化散點(diǎn)圖. 轉(zhuǎn)角與角速度之間的演化相位差約為π/2,而與角加速度之間的演化相位差約為π；勢能和動(dòng)能的演化呈現(xiàn)出此消彼長的關(guān)系，而且演化速度較快；在此過程中機(jī)械能基本保持不變. 上述特征驗(yàn)證了理論預(yù)期. 另外，由于轉(zhuǎn)角測量存在誤差，而在運(yùn)用差分法計(jì)算角速度時(shí)該誤差會放大，所以圖5(b)中出現(xiàn)了明顯的噪音. 該噪音在圖5(c)中更加明顯，因?yàn)榻羌铀俣鹊挠?jì)算涉及了2次差分.

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率和鐵環(huán)總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系圖

(a)

(b)

(c)

(d)圖5 扭擺各物理量隨時(shí)間演化散點(diǎn)圖

5 結(jié)束語

設(shè)計(jì)了扭擺實(shí)驗(yàn)用來引導(dǎo)學(xué)生從扭擺的角度探究簡諧運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律. 通過運(yùn)用智能手機(jī)和視頻軟件，學(xué)生可以測量扭擺中多個(gè)物理量隨時(shí)間的演化曲線，進(jìn)而驗(yàn)證理論預(yù)期. 教學(xué)實(shí)踐表明，本實(shí)驗(yàn)有助于拓展學(xué)生視野，加深學(xué)生對簡諧運(yùn)動(dòng)和力學(xué)相似性的理解，并鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)分析及處理能力.