利用懸臂梁測(cè)量材料的彈性模量

翦知漸，周艷明，謝 中，周正貴

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

彈性模量是彈性材料的重要力學(xué)參量，在工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用中彈性模量是非常重要的參量，測(cè)量彈性模量也是理工科大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常見的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目. 彈性模量的測(cè)量方法有很多種，如動(dòng)態(tài)的共振法[1-2]、聲速測(cè)量法[3]，靜態(tài)的拉伸法[4-7]以及梁彎曲法[8-10]，等等. 在拉伸法和梁彎曲法中，因?yàn)樾巫冚^小，大多采用技術(shù)與方法相結(jié)合的方式對(duì)形變進(jìn)行測(cè)量，如光學(xué)方法測(cè)量[4-6,8-9]、應(yīng)變片[7]、霍爾傳感器[10]等，這些方法各有特點(diǎn)，適用于不同場(chǎng)合和要求.

在梁彎曲法中，主要有激光光杠桿測(cè)量法[9]、霍爾位置傳感器法[10]、單縫衍射法[11]、光纖布拉格光柵測(cè)量法[8]等. 它們共同的特點(diǎn)是：將橫梁的兩端用刀口支撐，在橫梁中間位置用刀口施加作用力使其產(chǎn)生彎曲，通過測(cè)量梁的撓度來求得彈性模量. 在采用各類傳感器測(cè)量撓度時(shí)，傳感器需要定標(biāo)，測(cè)量結(jié)果還會(huì)受到傳感器的溫度效應(yīng)等干擾，因這種方法產(chǎn)生的形變較小，從而使得測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性較差，誤差也較大.

為解決上述問題，在懸臂梁自由端上方貼全反射鏡，用固定方向的激光束照射反射鏡，反射光斑投射至標(biāo)尺面. 在懸臂梁上施加載荷使其產(chǎn)生彎曲，反射鏡將會(huì)隨載荷的增加而產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)和下移，反射光斑的位置將會(huì)移動(dòng)較大距離，這個(gè)距離可通過標(biāo)尺測(cè)出. 光斑移動(dòng)距離與懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角和撓度有確定的關(guān)系式，根據(jù)該關(guān)系式即可求出材料的彈性模量.

1 測(cè)量原理

如圖1(a)所示的矩形截面梁，厚度為d，寬度為l.如果d,l相對(duì)于梁的長(zhǎng)度小很多，則該矩形梁可看作是1根細(xì)長(zhǎng)桿.當(dāng)細(xì)長(zhǎng)桿的彎曲變形較小時(shí)，可利用小撓度理論[12]來計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角.

(a)矩形截面梁

(b) 懸臂梁端點(diǎn)施加載荷P后的彎曲圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

將懸臂梁固定在O點(diǎn)，在A點(diǎn)(與固定端距離為L(zhǎng))施加集中載荷P，懸臂梁將產(chǎn)生彎曲(AB段沒有變形)，如圖1(b)所示.自由端轉(zhuǎn)角為

(1)

其中，E為材料的彈性模量，I為懸臂梁繞z軸的慣性矩，其表達(dá)式為

(2)

離O點(diǎn)距離為L(zhǎng)′處，梁的撓度為

(3)

根據(jù)式(1)～(3)，在小變形條件下梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度與載荷的關(guān)系是線性的,如圖2所示[12].

(a)自由端轉(zhuǎn)角的計(jì)算結(jié)果

(b)自由端撓度的計(jì)算結(jié)果圖2 小撓度線性解與大撓度精確解的比較

如果形變較大(大撓度)，則轉(zhuǎn)角和撓度的表達(dá)式不再是線性的，可由彈性理論給出精確解(見圖2).故小撓度理論(線性關(guān)系)成立的條件是：

1)自由端轉(zhuǎn)角θ<π/10；

2)自由端撓度δ

當(dāng)以上2個(gè)條件均得以滿足時(shí)，就有θ∝P和δ∝P.這就意味著，在小撓度情形下梁的變形可以根據(jù)載荷直接疊加計(jì)算(包括自重引起的形變).

如果測(cè)出一定載荷P下懸臂梁的自由端轉(zhuǎn)角θ，則根據(jù)式(1)即可計(jì)算出材料的彈性模量E.

如果施加的載荷不是作用在某一點(diǎn)的集中載荷，而是在某一區(qū)域施加均勻載荷Q，如圖3所示，相應(yīng)的計(jì)算公式為

(4)

圖3 懸臂梁施加均勻載荷后的彎曲

2 測(cè)量裝置

對(duì)θ的測(cè)量可利用光杠桿對(duì)小角度進(jìn)行放大來進(jìn)行.實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示，在梁的自由端上方貼1面全反射鏡，激光被反射至標(biāo)尺面形成細(xì)小光斑.隨著載荷的增加，鏡面發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，光斑將會(huì)沿標(biāo)尺面向左移動(dòng)，測(cè)出光斑移動(dòng)的距離即可得出θ的變化.為了獲得較大的放大倍數(shù)，同時(shí)使得儀器占用空間小、觀察方便，本文采用了折疊光路.下面分別討論轉(zhuǎn)角和撓度變化對(duì)光斑移動(dòng)的影響.

2.1 自由端轉(zhuǎn)角變化對(duì)光斑移動(dòng)的影響

如圖4所示，考慮自重及貼上反射鏡的關(guān)系，懸臂梁未加其他載荷前，自由端鏡面初始位置沿紅色虛線(懸臂梁撓曲線自由端的切線)方向，此時(shí)反射光與豎直方向的夾角為α，經(jīng)上方反射鏡反射后光斑位于x1處.若原點(diǎn)設(shè)為O，可知x1=(H1+H2)tanα.

圖4 光斑位置與梁自由端轉(zhuǎn)角的關(guān)系(α ≈ 45°)

加上小載荷P后，懸臂梁彎曲，鏡面轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到了藍(lán)色虛線方向，反射光斑移到了x2處.鏡面轉(zhuǎn)動(dòng)θ角，則反射光方向轉(zhuǎn)動(dòng)2θ角，即β=α-2θ.因此，光斑移動(dòng)距離為

Δx=x2-x1=(H1+H2)(tanβ-tanα)=

-2(H1+H2)(1+tan2α)θ+O(θ2).

(5)

當(dāng)載荷增加時(shí)，光斑將向左移動(dòng)，即x的讀數(shù)減小.

2.2 撓度變化對(duì)光斑移動(dòng)的影響

仔細(xì)檢查光路會(huì)發(fā)現(xiàn)，施加載荷后，梁的撓度增加了δ，即鏡面向下移動(dòng)了δ，所以光的反射點(diǎn)實(shí)際上是D而不是C，如圖5所示，這導(dǎo)致光斑向右移動(dòng)了一段距離，即x的讀數(shù)增加.

圖5 光斑位置與梁自由端撓度的關(guān)系

考慮到懸臂梁基本是水平的(θ很小)，所以光斑移動(dòng)距離的修正項(xiàng)為2δtanα(近似帶來的偏差屬于θ的高階項(xiàng))，如圖5所示.經(jīng)過修正后，式(5)可改寫為

Δx=-2(H1+H2)(1+tan2α)θ+2δtanα=

(6)

式(6)為光斑移動(dòng)距離Δx與懸臂梁自由端轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系式.因?qū)嶒?yàn)中所加載荷P很小，所以懸臂梁的形變也很小(一般最大轉(zhuǎn)角θmax≤5°),且θ的高階項(xiàng)影響也非常小，故式(6)是線性度較好的表達(dá)式.實(shí)際測(cè)量結(jié)果也證明了這一點(diǎn).

2.3 測(cè)量方法

調(diào)試好實(shí)驗(yàn)裝置后，在距端點(diǎn)L處加上載荷P，測(cè)出其對(duì)應(yīng)的Δx.根據(jù)式(1)和式(6)可得

(7)

其中，慣性矩I的值由式(2)得出.

采用等量增重的方法進(jìn)行多次測(cè)量以改善結(jié)果，同時(shí)該測(cè)量方法可以檢驗(yàn)載荷與形變的線性關(guān)系，并用線性擬合來處理數(shù)據(jù).假設(shè)進(jìn)行n次測(cè)量，每次加的載荷分別為P，2P，…，nP，相應(yīng)的反射光斑位于x1，x2，…，xn，線性擬合式為

xn=A-kn,

(8)

其中，A為常量(與原點(diǎn)選擇有關(guān))，斜率k即為施加載荷P時(shí)的Δx.將Δx代入式(7)，即可得到待測(cè)試件的彈性模量.

3 實(shí)測(cè)結(jié)果及分析

利用圖6所示的儀器對(duì)幾種常見材料進(jìn)行測(cè)試. 首先用等量增重的方法測(cè)試了形變與載荷的線性關(guān)系，結(jié)果如表1所示. 表中P為單個(gè)砝碼的重力. 已知單個(gè)自制砝碼的質(zhì)量為9.28 g，本地重力加速度為9.79 m/s2，故P=0.090 85 N；Δx為各組數(shù)據(jù)按照式(8)進(jìn)行線性擬合的斜率. 對(duì)表1中的數(shù)據(jù)做線性擬合，其擬合度R2均在0.999 8以上，充分說明二者有良好的線性關(guān)系. 由于實(shí)驗(yàn)使用的自制砝碼，每個(gè)砝碼約有0.02 g的偏差，這可能是影響線性擬合度的因素.

圖6 測(cè)量?jī)x器實(shí)物圖

不同測(cè)試者在不同時(shí)間下對(duì)寬度為l=25.00 mm的鋁合金試件進(jìn)行多次測(cè)量，結(jié)果見表2. 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到鋁合金的彈性模量E=(7.056±0.052)×1010N/m2.

作為對(duì)比，在本校材料實(shí)驗(yàn)室用電測(cè)法對(duì)所測(cè)試件進(jìn)行了測(cè)量. 將該方法所用的試件制作成如圖7所示的形狀，測(cè)得其彈性模量分別為7.49×1010N/m2和7.05×1010N/m2，二者均在誤差范圍內(nèi). 但電測(cè)的結(jié)果離散性很大，而使用本文方法進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果的重復(fù)性較好(見表2)：7次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為0.08，相對(duì)偏差約為0.1%.

表1 光斑移動(dòng)距離與載荷的關(guān)系(鋁合金)

表2 鋁合金的彈性模量實(shí)測(cè)結(jié)果

圖7 電測(cè)試件

對(duì)不銹鋼試件的測(cè)量過程與對(duì)鋁合金的測(cè)量過程相似. 多次測(cè)量的結(jié)果為E=(2.072±0.010)×1011N/m2. 一般鋼材的彈性模量在1.95×1011～2.10×1011N/m2之間，因合金的彈性模量與其成分、工藝甚至生產(chǎn)批次均有關(guān)系，試件在加工時(shí)的應(yīng)力殘留(硬化)也會(huì)影響其彈性模量. 實(shí)驗(yàn)采用的試樣是經(jīng)剪板機(jī)裁剪加工而成的，殘余應(yīng)力較大，測(cè)量結(jié)果應(yīng)大于沒有殘余應(yīng)力的材料.

通過以上的實(shí)測(cè)結(jié)果，可以看到使用本方法測(cè)量材料的彈性模量，其結(jié)果的重復(fù)性較好，不確定度也較小，充分說明了本實(shí)驗(yàn)方法及測(cè)量裝置的穩(wěn)定性較好，測(cè)量結(jié)果的精確度較高.

4 結(jié)束語

設(shè)計(jì)的彈性模量測(cè)量裝置不需要使用刀口支撐橫梁，也不需要使用刀口施加載荷. 采用懸臂梁結(jié)構(gòu)，小載荷也能使得樣品產(chǎn)生較大的形變，經(jīng)估算，懸臂梁自由端的撓度要比兩端支撐梁的中部撓度大1個(gè)數(shù)量級(jí)以上. 光斑移動(dòng)距離因自由端撓度和轉(zhuǎn)角的改變將會(huì)變得較大，因此測(cè)量精度較高. 通過選擇試件的厚度能將測(cè)量數(shù)據(jù)控制在預(yù)定的標(biāo)尺讀數(shù)區(qū)內(nèi)，從而能夠在同一裝置上方便地測(cè)量彈性模量相差很大的固體材料. 只要預(yù)估待測(cè)材料彈性模量的數(shù)量級(jí)，大致確定試件的厚度，例如高強(qiáng)度材料樣品厚度稍薄，低強(qiáng)度材料樣稍厚，就能控制形變大小(與樣品厚度的三次方成反比). 因光斑移動(dòng)距離與形變成正比，所以很容易做到在合適的標(biāo)尺區(qū)內(nèi)進(jìn)行讀數(shù). 該方法不使用傳感器加力，也不采用各類測(cè)位移的傳感器，避免了傳感器定標(biāo)、溫度漂移等問題. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重復(fù)性好，具有良好的實(shí)用性. 該實(shí)驗(yàn)裝置小巧，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，操作方便，特別是樣品易于加工，適用于測(cè)量彈性模量跨度值很大的各種材料.