線性方程組直接解法教學(xué)設(shè)計(jì)的一些改進(jìn)

趙振宇 鞏本學(xué) 鄭明文 賈現(xiàn)正 王迎美 由雷

摘 要：線性方程組的直接解法是計(jì)算方法課程中的基本內(nèi)容與方法，在很多數(shù)值計(jì)算的過程中都有廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)有教材的教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)整體性不強(qiáng)，對(duì)幾類方法的相關(guān)性描述不足，不利于學(xué)生對(duì)方法的理解。本文重新梳理現(xiàn)有教材中的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)提出幾點(diǎn)改進(jìn)。首先，改變傳統(tǒng)教材中的教學(xué)順序，將三角分解內(nèi)容前置，突出本章的教學(xué)重點(diǎn);然后，以緊湊格式的LU分解為核心，串聯(lián)章節(jié)的各部分內(nèi)容，使學(xué)生能夠更深刻理解各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系;再有，對(duì)列主元方法進(jìn)行修正，避免學(xué)生產(chǎn)生歧義。最后，對(duì)相關(guān)實(shí)踐環(huán)節(jié)提出建議。通過以上教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)，旨在提高學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解與興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思考和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：計(jì)算方法，線性方程組的直接解法，教學(xué)設(shè)計(jì)，啟發(fā)式教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642;O151? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1673-260X（2022）03-0001-05

1 引言

“計(jì)算方法”是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是很多理工科專業(yè)的主要公共課程之一。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，科學(xué)工程中所涉及的數(shù)值計(jì)算問題越來越多?？茖W(xué)計(jì)算已成為繼理論和試驗(yàn)方法之后的第三種科學(xué)研究手段，是人們進(jìn)行科學(xué)活動(dòng)必不可少的科學(xué)工具[1]。計(jì)算方法課程作為科學(xué)計(jì)算的關(guān)鍵基礎(chǔ)課程，在培養(yǎng)高等院校工科類大學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和解決工程實(shí)際問題的素質(zhì)能力方面具有不可替代的重要作用。計(jì)算方法這門課程既有一般數(shù)學(xué)課程抽象性的特點(diǎn)，又注重與實(shí)際工程問題相結(jié)合的工程思想，關(guān)注求解的精確性和計(jì)算效率的平衡[2]。在課程教學(xué)中不但要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理論素養(yǎng)，還要關(guān)注學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，要通過一些相對(duì)簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生相關(guān)算法的操作流程。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)上要進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，才能取得良好的教學(xué)效果。

線性方程組的直接解法是計(jì)算方法課程中非常重要的一部分。大量的實(shí)際問題最終都要?dú)w結(jié)到線性方程組的求解，而直接解法中涉及的LU分解等算法仍然是目前求解線性方程組的主流方法。該部分涵蓋的計(jì)算量分析、三角分解與高斯消去法的關(guān)系、對(duì)稱以及三對(duì)角矩陣LU分解的特殊性等內(nèi)容對(duì)學(xué)生深刻理解算法設(shè)計(jì)的意義有著重要的作用。但現(xiàn)有大部分教材的教學(xué)體系對(duì)這部分的內(nèi)容梳理不夠清晰。

1.1 高斯消去法的內(nèi)容過于冗長(zhǎng)

大部分教材采用過多的篇幅描述高斯消去法的內(nèi)容，而對(duì)高斯消去法與LU分解之間的關(guān)系描述以公式的推導(dǎo)為主，不夠直觀。對(duì)兩種方式的計(jì)算量之間的關(guān)系簡(jiǎn)單地一帶而過，學(xué)生對(duì)其相關(guān)性認(rèn)識(shí)模糊。事實(shí)上，高斯消去的過程與線性代數(shù)的內(nèi)容基本是重疊的，在這里花費(fèi)太多功夫會(huì)讓學(xué)生對(duì)這門課程的本質(zhì)認(rèn)知不清，應(yīng)盡快突出教學(xué)的重點(diǎn)，盡快引出矩陣分解的計(jì)算過程。然后再與高斯消去的過程進(jìn)行比對(duì)，讓學(xué)生看到這門課程的角度與線性代數(shù)的關(guān)注點(diǎn)是完全不同的。而對(duì)計(jì)算量的分析應(yīng)通過簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生直觀看到實(shí)際上三角分解就是對(duì)高斯消去過程的記錄。本質(zhì)上它們的計(jì)算是一樣的，只是次序不同，因此可以通過高斯消去的過程來研究三角分解的計(jì)算量問題。

1.2 改進(jìn)學(xué)生難掌握的平方根方法的繁瑣公式

沒有把改進(jìn)平方根法與一般LU分解之間的聯(lián)系描述清楚，學(xué)生沒有形成直觀的計(jì)算量降低的感受，對(duì)于工科學(xué)生而言，理解這部分內(nèi)容存在較大困難。整體在這一部分的教學(xué)設(shè)計(jì)上應(yīng)該以一般矩陣的LU分解為重點(diǎn)，花更多的時(shí)間讓學(xué)生掌握一般矩陣LU分解的計(jì)算過程，能夠完成一些簡(jiǎn)單矩陣的緊湊格式的計(jì)算。在學(xué)生能夠熟練進(jìn)行一般矩陣LU分解計(jì)算的基礎(chǔ)上再對(duì)改進(jìn)平方根法進(jìn)行講解，只需要講清楚它的上下三角矩陣之間的關(guān)系，學(xué)生就可以清楚地看到計(jì)算量降低的情況了。

1.3 列選主元的方法與目前一些商業(yè)軟件內(nèi)置算法基本原理相悖

現(xiàn)有教材中的列主元消去法存在較大的漏洞，容易讓學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容產(chǎn)生懷疑。大部分教材這一部分采用的處理方式都是直接選取列元素絕對(duì)值最大的做主元，而實(shí)際過程中有學(xué)生會(huì)提出反例，使得這種操作解決不了求解的不穩(wěn)定問題，而教師一般的處理辦法就是改成全選主元的方法。但實(shí)際上目前大部分商業(yè)軟件采用的方式是歸一化的列主元方法，而這種方法的描述并不復(fù)雜，對(duì)教材上的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的修正就可以解決這個(gè)問題。

1.4 課堂授課存在重理論輕實(shí)踐現(xiàn)象

目前計(jì)算方法的課程講授以理論為主，忽略學(xué)生對(duì)方法具體應(yīng)用的掌握程度，這與工科學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)相違背，不能很好地鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。能夠利用軟件結(jié)合這門課所學(xué)的內(nèi)容解決一些基本的計(jì)算問題才是工科學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的基本目的。因此，如何在有限時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生能夠掌握相關(guān)算法與程序設(shè)計(jì)的基本流程，理解同一數(shù)學(xué)目標(biāo)下的不同數(shù)學(xué)處理會(huì)造成很大的差異。[4，5]

本文針對(duì)這些問題，結(jié)合近年來的教學(xué)體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)，給出相應(yīng)的解決的方案，供廣大教學(xué)工作者和學(xué)生參考。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)改進(jìn)的具體描述

線性方程組直接解法的教學(xué)內(nèi)容包含高斯消去法、矩陣的三角分解（LU分解、平方根法、改進(jìn)平方根法、追趕法）、條件數(shù)與誤差分析。本文作者在搜集現(xiàn)有資料的基礎(chǔ)上，通過教學(xué)的反復(fù)實(shí)踐，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做了調(diào)整。

2.1 以三角分解為核心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容

重點(diǎn)參照了文獻(xiàn)[3]中的方式，以三角分解作為本章教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。國(guó)內(nèi)大部分教材往往用很大的篇幅來描述高斯消去法，然后引出三角分解。在很多工科的教學(xué)大綱設(shè)計(jì)中因?yàn)閷W(xué)時(shí)的限制，甚至忽略三角分解的內(nèi)容，只講高斯消去法。這樣教學(xué)效果受到很大限制。三角分解是本章內(nèi)容的核心，也是目前主流的小型稠密方程組求解方法，很多軟件內(nèi)置的算法基本都是以它為基礎(chǔ)。將其內(nèi)容前置可以起到突出重點(diǎn)的作用，在學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容有了認(rèn)知之后，通過一個(gè)直觀的例子引出三角分解法跟高斯消去法之間的關(guān)系，可以讓學(xué)生由眼前一亮的感覺。從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，這樣的編排能讓學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的認(rèn)識(shí)更為清晰。具體教案的設(shè)計(jì)中我們從上下三角形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組出發(fā)讓學(xué)生看到系數(shù)矩陣的特殊形式可以給方程組的求解帶來方便。對(duì)于三角形矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組，我們通過O（n2）量級(jí)的計(jì)算就可以實(shí)現(xiàn)方程組的求解。這也為后面講解用三角分解記錄高斯消去法的目的埋下伏筆。具體來說就是向?qū)W生展示

=

=

分別給出它們解的表達(dá)式

x1=xk=bk-aklxl/akk和xn=xk=bk-aklxl/akk

接下來，讓學(xué)生對(duì)它們的計(jì)算量進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，引導(dǎo)學(xué)生算法設(shè)計(jì)中需要重點(diǎn)關(guān)注計(jì)算量問題。接下來，提出問題：一般線性方程組的矩陣是否能夠分解成上下兩個(gè)三角矩陣乘積的形式？接著直接拋出定理結(jié)論（LU分解的唯一性定理）。再引出第二個(gè)問題，在分解存在唯一的情況下，如何進(jìn)行LU分解的計(jì)算？從矩陣乘法的概念出發(fā)，以下圖為依據(jù)，逐步的講解LU矩陣的計(jì)算過程。進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)問題，引出緊湊格式的LU分解，為后面的教學(xué)做好鋪墊。

A=LU=

在這一部分教學(xué)中一定要讓學(xué)生充分掌握緊湊格式的LU分解的計(jì)算流程，這樣他們才能在后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方根法、改進(jìn)平方根法以及追趕法的內(nèi)容時(shí)更清晰地認(rèn)識(shí)到它們和一般矩陣LU分解之間的聯(lián)系。

2.2 以緊湊格式的LU分解為核心串聯(lián)幾種分解格式

本章教學(xué)內(nèi)容中包含眾多的公式，尤其是改進(jìn)平方根方法，在很多教材的描述中非常復(fù)雜，教師在教學(xué)過程中往往需要花費(fèi)很大的工夫向?qū)W生說明算法的流程以及對(duì)應(yīng)的公式的作用。比如我們觀察改進(jìn)平方根最終的分解式：

A=LDLT=

很難像前面一般LU分解那樣清晰的說明它的計(jì)算流程。如果你去看很多教材上的公式描述，大部分教材中提到引入中間變量，然后給出計(jì)算公式：

di=aii-tikliktij=aij-tikljk j=1，2，…i-1lij= j=1，2，…i-1

這一部分筆者在之前的教學(xué)中經(jīng)常看到的是學(xué)生一臉的困惑，不知所云，往往需要很長(zhǎng)時(shí)間的描述才能將這一部分講清楚。但如果我們回歸到緊湊格式的三角分解方法，就可以給學(xué)生比較直觀的分析，圖1中展示了緊湊格式LU分解計(jì)算的基本過程。

學(xué)生通過一些簡(jiǎn)單矩陣的具體操作，可以清晰地理解LU分解的具體流程，而在改進(jìn)平方根方法的教學(xué)中可以通過以下的式子說明其與一般LU分解的關(guān)系，進(jìn)一步回到緊湊格式的計(jì)算流程，可以明顯地看出，由于L=U0T，所以跟一般的LU分解的

U==DU0

計(jì)算相比，只需要按照原來的方式計(jì)算上三角，而下三角部分只需要對(duì)應(yīng)的上三角元素除對(duì)角元素就可以得到，而不需要原來復(fù)雜的運(yùn)算。這樣學(xué)生對(duì)改進(jìn)平方根方法就有了直觀的認(rèn)知。而追趕法的教學(xué)是類似的，其實(shí)際的計(jì)算過程跟原始的LU分解是沒有區(qū)別的，只是因?yàn)槲覀冊(cè)诰唧w的計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)找到的很多元素為零，所以簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。這樣幾種三角分解的計(jì)算過程就統(tǒng)一起來了。而學(xué)生也能直接感覺到后面兩種方式為什么降低了計(jì)算量。通過這樣整體的設(shè)計(jì)，原來的教學(xué)內(nèi)容全部展示給學(xué)生了，只是側(cè)重點(diǎn)有所不同，在學(xué)生以及熟練掌握一般LU分解的基礎(chǔ)上再對(duì)其他三角分解格式進(jìn)行描述一帶而過，基本上十幾分鐘的時(shí)間就可以完成改進(jìn)平方根法和追趕法的基本教學(xué)，學(xué)生也可以更清晰的理解這一部分內(nèi)容。

2.3 以具體實(shí)例描述高斯消去法與LU分解關(guān)系

這一部分大部分教材的設(shè)計(jì)基本上是通過初等變換的公式進(jìn)行描述，這樣雖然也行得通，但學(xué)生往往需要較長(zhǎng)的時(shí)間消化內(nèi)容，尤其對(duì)于工科學(xué)生而言，抽象的推導(dǎo)會(huì)讓他們比較難以接受。因此可以在教學(xué)設(shè)計(jì)上做如下的改進(jìn)。首先，通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子將高斯消去法的過程進(jìn)行展示，然后讓學(xué)生對(duì)例子中出現(xiàn)矩陣的LU分解進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步思考高斯消去法與LU分解的關(guān)系是什么？從直觀上認(rèn)識(shí)高斯消去法于LU分解的聯(lián)系。比如求解如下的線性方程組：

=

高斯消去法的過程為：第一步，第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的乘以2，然后第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以1/2，最后第四個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以-1，得到等價(jià)方程組：

=

第二步，第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以3，然后第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以-1/2，得到：

=

第三步，將第四個(gè)方程減去乘數(shù)2乘以第三個(gè)方程，得到與原始方程等價(jià)的上三角方程組：

=

現(xiàn)在如果我們將消元中使用的乘數(shù)按照相應(yīng)的位置存儲(chǔ)到單位下三角矩陣，聯(lián)合最終得到的上三角矩陣組

L= U=

與原始方程組的系數(shù)矩陣直接進(jìn)行三角分解對(duì)比，得出高斯消去法與LU分解等價(jià)性的結(jié)論。進(jìn)一步，讓學(xué)生觀察高斯消去法的計(jì)算過程與LU分解的計(jì)算過程，指出兩者的計(jì)算是基本一致的，只是計(jì)算次序的不同，比如高斯消去過程第一步完成了所有其他行剪掉第一行倍數(shù)的運(yùn)算，而LU分解中這些過程被調(diào)整了次序，我們首先把第二行減去第一行倍數(shù)的運(yùn)算完成了（LU分解算上三角第二行的過程），后面每一次算上三角的過程中實(shí)際都包含了該對(duì)應(yīng)行減去第一行倍數(shù)的運(yùn)算，可以讓學(xué)生再次觀察緊湊格式的計(jì)算，很容易得到相應(yīng)的結(jié)論。因此，高斯消去和LU分解的計(jì)算量也是基本相同的。再次提出問題，相比高斯消去法，LU分解有什么優(yōu)點(diǎn)？讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到LU分解完成了對(duì)高斯消去過程的記錄，這樣在改變右端項(xiàng)的時(shí)候，消去過程不需要再重新進(jìn)行，可以提高效率。而且結(jié)構(gòu)化的計(jì)算也更便于理論分析。

2.4 對(duì)現(xiàn)有教材中列主元方法的主要問題進(jìn)行改進(jìn)

選主元方法也是本章的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)這部分的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生對(duì)計(jì)算方法設(shè)計(jì)重要性產(chǎn)生根本的認(rèn)同。但目前國(guó)內(nèi)大部分教材最終的落腳點(diǎn)在列選主元方法，而大部分教材中列主元選取的方式都是簡(jiǎn)單采用選取矩陣列的絕對(duì)值最大元素，這與主流商業(yè)軟件中內(nèi)置算法的過程是不一致的，而且學(xué)生也很容易舉出反例來說明這種方式的缺陷，例如，考察方程組

=

按照簡(jiǎn)單的列選主元方式，上述方程組中兩個(gè)方程是不需要改變順序的，但如果？著比較小，會(huì)出現(xiàn)近似解為

x2=（2-？著-1）/（1-？著-1）≈1x1=（1-x2）？著-1≈0

的情況。此時(shí)是需要更換兩個(gè)方程的求解順序，也就是說在LU分解過程中是需要進(jìn)行矩陣行的交換的。目前一般軟件采用的列選主元方法基本上是基于下面操作的：首先計(jì)算每一行的尺度量

si=|aij|=max{|ai1|，|ai2|，…|ain|}，（1≤i≤n）

進(jìn)一步，主元的選擇是考慮如下最大值

|a|/s=|ai1|/si，

這樣的操作就能夠解決前面提出的問題，而這種操作的講解并不復(fù)雜。因此，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)上應(yīng)該將目前主流軟件中采用的方式跟學(xué)生講清楚，其基本過程是要首先計(jì)算每一行的尺度量，也就是看元素的相對(duì)大小的，然后再進(jìn)行列選主元，這樣就不會(huì)出問題了，在學(xué)時(shí)有限的情況下，也要對(duì)這種情況進(jìn)行簡(jiǎn)單說明，避免學(xué)生面對(duì)此類問題是產(chǎn)生困惑。

2.5 以LU分解的程序設(shè)計(jì)為主線鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力

計(jì)算方法課程的一個(gè)主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的基本程序設(shè)計(jì)能力，掌握算法設(shè)計(jì)的要點(diǎn)，能夠結(jié)合一些輔助軟件完成課程中的基本算法的實(shí)現(xiàn)。目前，由于學(xué)時(shí)的限制，很難抽出太多的時(shí)間專門開設(shè)相關(guān)實(shí)驗(yàn)課。因此，如何在有限的時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生能夠得到程序設(shè)計(jì)的基本訓(xùn)練也是這門課程教學(xué)的難點(diǎn)。本文作者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，在本章中以LU分解的Matlab設(shè)計(jì)作為課程授課的內(nèi)容，然后將改進(jìn)平方根方法的程序設(shè)計(jì)作為課下作業(yè)，讓學(xué)生通過對(duì)程序的簡(jiǎn)單改進(jìn)一方面得到編程的基本訓(xùn)練，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解改進(jìn)平方根法相對(duì)一般LU分解的主要優(yōu)點(diǎn)。

3 結(jié)論及注記

本文對(duì)線性方程組直接解法教學(xué)設(shè)計(jì)中的一些基本問題進(jìn)行了梳理，進(jìn)一步給出了一些改進(jìn)的方案。希望能夠起到拋磚引玉的作用，供廣大授課教師和學(xué)習(xí)者參考。另外，在本部分內(nèi)容的教學(xué)中還有其他一些內(nèi)容需要注意。

（1）一些概念性內(nèi)容的補(bǔ)充與教學(xué)設(shè)計(jì)。這一章還有一部分教學(xué)內(nèi)容是關(guān)于誤差和穩(wěn)定性討論的，里邊涉及了很多諸如范數(shù)、內(nèi)積、條件數(shù)等數(shù)學(xué)概念。而從實(shí)際教學(xué)過程來看，由于目前學(xué)分等條件限制，工科大部分學(xué)生的線性代數(shù)學(xué)習(xí)中關(guān)于向量?jī)?nèi)積、矩陣特征值等概念都沒有很清楚地掌握，我們?cè)谑谡n過程中需要對(duì)這些內(nèi)容做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充教學(xué)。再有，就是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求以掌握概念的基本含義為主，不能也沒必要有更深層次的要求。

（2）輔助軟件的使用與教學(xué)目標(biāo)的考慮。因?yàn)槟壳氨姸嗟纳虡I(yè)軟件對(duì)方程組的求解都有內(nèi)置算法，在授課的過程中應(yīng)該穿插講授這一部分內(nèi)容，一方面可以讓學(xué)生借助這些軟件進(jìn)行學(xué)習(xí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這門課程學(xué)習(xí)的主要任務(wù)，對(duì)一般工科學(xué)生而言，重要的是理解算法設(shè)計(jì)的一些基本要素，了解一類問題的解決方案中可能存在的問題，將來在具體應(yīng)用的過程中，知道每類問題對(duì)應(yīng)的解決方案以及每種方案的優(yōu)缺點(diǎn)，在出現(xiàn)一些情況時(shí)能夠知道大概的解決方向。

（3）注意Matlab軟件本身的一些特點(diǎn)。在使用Matlab輔助本章教學(xué)時(shí)需要注意Matlab軟件本身的特點(diǎn)：Matlab程序設(shè)計(jì)對(duì)循環(huán)語(yǔ)句敏感的問題始終沒有解決，如果編寫的程序中涉及循環(huán)語(yǔ)句尤其是多重循環(huán)，其執(zhí)行效率會(huì)大幅度降低。因此，雖然有些算法看起來計(jì)算量更小，但因?yàn)榫帉憰r(shí)需要大量循環(huán)會(huì)造成其在Matlab中執(zhí)行效率低的問題。學(xué)生在實(shí)現(xiàn)本章的幾個(gè)算法時(shí)，可能會(huì)因?yàn)檫@一問題使得一般LU分解、改進(jìn)平方根以及追趕法之間的效率對(duì)比不明顯。

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