核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入路徑探索
——以“基本不等式”教學(xué)為例

福建廈門集美大學(xué)理學(xué)院（361021） 林建輝 賓紅華 劉小輝

審視傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)課堂，教師一味注重知識(shí)講授和應(yīng)試技巧的訓(xùn)練，對(duì)課堂導(dǎo)入的重視不足。這種單一化的教學(xué)方式容易使學(xué)生忽視數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史背景和應(yīng)用價(jià)值，不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“立德樹人”教育理念背道而馳。因此，在核心素養(yǎng)背景下，如何應(yīng)用多樣化的導(dǎo)入方式，優(yōu)化課堂教學(xué)，成為一線教師教學(xué)研究的重點(diǎn)問題之一。本文以“基本不等式”為研究對(duì)象，分別從數(shù)學(xué)文化、實(shí)踐活動(dòng)、情境創(chuàng)設(shè)、復(fù)習(xí)舊知、幾何建構(gòu)五個(gè)維度，對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入路徑進(jìn)行探索，希望可以為高中數(shù)學(xué)教與學(xué)提供一些可行性建議。

一、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入原則

（一）趣味性

不少高中生排斥數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，究其原因是數(shù)學(xué)知識(shí)抽象難懂。因此，教師要精心設(shè)計(jì)課堂導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)富有趣味性的問題情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生積極參與課堂、享受課堂。

（二）現(xiàn)實(shí)性

數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。教師可以現(xiàn)實(shí)生活中的情境導(dǎo)入，這樣一方面可以勾起學(xué)生的回憶，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生共鳴，深刻感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值；另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

（三）啟發(fā)性

傳統(tǒng)課堂上，許多教師采用講授法進(jìn)行教學(xué)，一味注重學(xué)科知識(shí)和解題模板的講授，缺乏對(duì)學(xué)生思維的啟迪，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)?，F(xiàn)如今的數(shù)學(xué)課堂，提倡以“問題鏈”的形式啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到有效提升。

二、核心素養(yǎng)下數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入的路徑

（一）數(shù)學(xué)文化導(dǎo)入

片段一：

師（利用多媒體展示第24 屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)）：同學(xué)們，請(qǐng)看大屏幕，圖1 是2002 年在北京召開的第24 屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的現(xiàn)場(chǎng)，懸掛在會(huì)場(chǎng)中央的是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)（如圖2）。會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，弦圖構(gòu)圖巧妙，既凸顯數(shù)學(xué)的美，又蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的奧妙。接下來，我們就一起來探究會(huì)標(biāo)中所隱含的數(shù)量關(guān)系。

圖1

圖2

為了方便研究，我們不妨將圖2 中的會(huì)標(biāo)抽象成幾何圖形（如圖3）?？梢钥闯?，正方形ABCD由4 個(gè)全等的直角三角形和正方形EFGH組成。

圖3

我們不妨設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，那么正方形ABCD的邊長為，正方形EFGH的邊長為a-b。你能用數(shù)學(xué)語言刻畫圖形中存在的等量關(guān)系嗎?

生1：由面積關(guān)系可知正方形ABCD的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與正方形EFGH的面積之和，即a2+b2=4 ×+(a-b)2。

師：很好，我們剛剛借助數(shù)學(xué)語言刻畫了弦圖中存在的等量關(guān)系。那么，弦圖背后是否隱藏著某種不等關(guān)系呢？

生2：正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和，即a2+b2＞2ab。

師：很好。如果a=b時(shí)，面積關(guān)系又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？（運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示）

生3：當(dāng)a=b時(shí)，中間的正方形EFGH將會(huì)縮為一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)a2+b2=2ab。

師：我們得到了不等式a2+b2≥2ab，接下來，我們嘗試著用替換表達(dá)式中的a，b，又能得到怎樣的不等關(guān)系呢？

生4：如果a＞0，b＞0，我們用替換表達(dá)式中的a，b，可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

評(píng)析：本片段以趙爽的弦圖為背景，將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容融入課堂教學(xué)，一方面可以讓學(xué)生感受到中國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感；另一方面，弦圖的巧妙構(gòu)圖可以讓學(xué)生更加直觀地感知數(shù)學(xué)圖形的對(duì)稱美和和諧美。

（二）實(shí)踐活動(dòng)導(dǎo)入

片段二：（內(nèi)容摘自史亞軍老師的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)）

上課伊始，教師向每位學(xué)生分發(fā)兩張面積不等的正方形紙片。

教師帶領(lǐng)學(xué)生將兩張正方形紙片沿著它們的對(duì)角線對(duì)折，再沿斜邊拼接，探究兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積間的關(guān)系。

師：我們不妨假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為a和b（如圖4），那么我們?nèi)绾吻髨D中兩個(gè)三角形的面積之和呢？

圖4

師：那矩形的面積又該如何求解呢？

師：觀察圖中兩個(gè)直角三角形的面積之和與矩形的面積，它們之間存在著怎樣的不等關(guān)系呢？

生2：當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。

評(píng)析：本片段中，教師以圖形的折疊與拼接為背景，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作，使學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)幾何圖形的面積關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和直觀想象能力。

（三）情境導(dǎo)入

片段三：（內(nèi)容摘自姚丁丁老師的“基本不等式”視頻）

教師利用多媒體展示問題情境。

“十一”黃金周，小明去黃金店購買黃金，店老板拿出一臺(tái)天平秤，將黃金放在天平秤上稱了一下，得到質(zhì)量為a克，交換一下位置重新稱量，得到質(zhì)量為b克，老板說將稱量結(jié)果相加后除以2 就是黃金的“實(shí)際重量”。

師：請(qǐng)大家思考，小明購買黃金是賺了還是虧了？

生1：我們不妨先假設(shè)黃金質(zhì)量為x克，根據(jù)初中所學(xué)杠桿原理，可得xl2=al1（如圖5），bl2=xl1（如圖6），將這兩個(gè)等式聯(lián)立，可以計(jì)算得到x2=ab，即x=

圖5

圖6

生2：可以采用作差法進(jìn)行比較。

師：這是個(gè)好辦法，請(qǐng)大家嘗試。

師：不等式的等號(hào)在什么情況下成立呢？

師：現(xiàn)在我們是否能夠判斷小明購買黃金究竟是賺了還是虧了呢？

生5：很明顯是虧了。

評(píng)析：本片段中，教師以“不平衡天平秤”這一生活情境導(dǎo)入課堂，既貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，又與物理學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生的探究欲，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

（四）復(fù)習(xí)導(dǎo)入

片段四：

師：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了完全平方公式，同學(xué)們還有印象嗎？

生1：兩數(shù)差的平方等于它們的平方和減去它們乘積的2倍。

師：這位同學(xué)用文字語言描述了兩數(shù)差的完全平方公式，我們能否運(yùn)用符號(hào)語言來刻畫呢？

生2：可以表示為(x-y)2=x2-2xy+y2。

師：很好。我們知道對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)x和y，(x-y)2≥0 總是成立的，即x2-2xy+y2≥0 是成立的，移項(xiàng)可得≥xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。

師：如果有a ＞0，b ＞0，我們不妨取x=，y=，通過等量替換，我們能得到怎樣的結(jié)論呢？

師：這是我們通過等量替換得到的，那我們可以用什么方法對(duì)它進(jìn)行嚴(yán)格的證明呢？

生4：可以采用作差法進(jìn)行證明。

評(píng)析：本片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中兩數(shù)差的完全平方公式，通過公式變形、等量替換以及作差法證明，導(dǎo)出基本不等式

（五）幾何導(dǎo)入

片段五：

師（利用多媒體呈現(xiàn)幾何圖形，如圖7）：觀察圖7，圓的直徑為AB，點(diǎn)C是直徑AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，已知AC=a，BC=b。那么，我們是否可以根據(jù)幾何圖形，求出CD的長度呢？

圖7

生1：可以連接AD，BD，根據(jù)射影定理可證△ACD∽△DCB，由于相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，計(jì)算可得CD=

師：我們可以借助已知條件求出圓的半徑嗎？

生2：由于直徑AB=a+b，因此半徑為

生3：CD的長度小于或等于圓的半徑，因此可以得到

生4：當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，不等式的等號(hào)可以取到。

評(píng)析：本片段中，教師以幾何圖形為研究工具，啟發(fā)學(xué)生探究圓的直徑和弦長之間的大小關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出基本不等式的幾何解釋“半弦長不大于半徑”，并通過“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”將代數(shù)的抽象性與幾何的直觀性有機(jī)地結(jié)合起來，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

課堂導(dǎo)入方式多種多樣，教師可以借助舊知引入新知，可以聯(lián)系實(shí)際生活創(chuàng)設(shè)情境，也可以融入數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化等。不同的課堂導(dǎo)入方式都彰顯著其獨(dú)有的特色，展現(xiàn)了授課教師對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的獨(dú)到見解。核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入，不僅可以激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，讓學(xué)生積極探索、自主實(shí)踐，還可以讓學(xué)生在了解數(shù)學(xué)史的過程中培養(yǎng)愛國情懷。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)實(shí)際情況選擇恰當(dāng)?shù)恼n堂導(dǎo)入路徑，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，不斷提高課堂教學(xué)質(zhì)量。