基于大單元背景的概念課教學設(shè)計
——以“對數(shù)函數(shù)”教學為例

江蘇錫山高級中學（214174） 顧曉峰

一、單元內(nèi)容與解析

“對數(shù)函數(shù)”單元的內(nèi)容包括對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，以及同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。

本單元是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)概念及其運算的基礎(chǔ)上，進一步研究對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。事實上，在等式z=xy中，若將y視為常數(shù)，x視為自變量，z視為因變量，就得到冪函數(shù)；將x視為常數(shù)，y視為自變量，z視為因變量，則得到指數(shù)函數(shù)；將x視為常數(shù)，z視為自變量，y視為因變量，則得到對數(shù)函數(shù)。

函數(shù)的一般概念和性質(zhì)是對數(shù)函數(shù)研究的基礎(chǔ)，對數(shù)的運算是對數(shù)函數(shù)概念獲得的基礎(chǔ)。指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究方法可遷移到對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究中。對數(shù)函數(shù)的研究為進一步揭示同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系做好鋪墊。

二、單元目標與解析

（一）目標

（1）了解對數(shù)函數(shù)的實際意義，理解對數(shù)函數(shù)的概念。

（2）能用描點法、借助信息技術(shù)或者圖像的變換作出具體的對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進一步體會研究具體對數(shù)函數(shù)的一般思路和方法，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（3）明確同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，了解它們互為反函數(shù)。

（二）解析

實現(xiàn)上述目標的標志是：

（1）學生能說出相關(guān)量之間的關(guān)系式，能從特殊到一般地給出對數(shù)函數(shù)的一般表達式。

（2）學生能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學習經(jīng)歷，自主類比研究過程和方法，得到對數(shù)函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像直觀認識函數(shù)性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合思想。

（3）對于同底指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，學生知道指數(shù)函數(shù)的定義域就是對數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域是對數(shù)函數(shù)的定義域，了解它們互為反函數(shù)。

三、單元教學問題分析

本單元中，對數(shù)函數(shù)概念的建立應立足已有的具體指數(shù)函數(shù)模型，即碳14 衰減的函數(shù)模型（其中x是時間，y是碳14的含量），根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系將其變形為x=教學中，教師需要引導學生回答兩個問題：①研究x=的動機是什么？②這里的x是關(guān)于y的函數(shù)嗎？為什么？根據(jù)經(jīng)驗，學生容易從一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0,a≠1) 中得到對數(shù)函數(shù)x=logay(a＞0,a≠1)，并根據(jù)習慣改寫為y=logax(a＞0,a≠1)，然而在這個改寫的過程中，學生容易混淆x與y的關(guān)系，教師應在此處考慮更自然的過渡方式。

在對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學習中，大部分學生會依據(jù)“具體函數(shù)—描點連線—圖像性質(zhì)”的一般思路進行研究，也有學生會從同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對應點關(guān)系入手進行研究。對于可能出現(xiàn)的不同發(fā)現(xiàn)路徑，教師可利用信息技術(shù)工具輔助學生探究。

四、單元教學支持條件分析

在本單元的教學中，概念引入部分可插入介紹“碳14 衰減”問題的視頻，通過背景介紹，增強學生的學習動機，使學生感受到對數(shù)函數(shù)的實際意義。在對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學中，教師可借助幾何畫板或者GGB 畫出a取任意可能值時y=logax的圖像，也可通過追蹤點的移動來驗證對數(shù)函數(shù)和同底指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像之間的特點。

五、教學過程

（一）知識引入

播放一段關(guān)于考古學家發(fā)現(xiàn)一處新石器時代人類生活遺址的視頻。如何確定發(fā)現(xiàn)的生活遺址處于漫長年代中的哪一段呢？考古學家從生活遺址中取樣然后帶回實驗室進行碳14 檢測。因為碳14 元素每隔5730 年衰減為原來的一半，所以可以根據(jù)其衰減幅度逆推出動物（植物）死亡的年數(shù)。

問題1：同學們，看完這段視頻，你知道考古中可以怎樣推測出生物的死亡年數(shù)了嗎？

問題2：如果知道了碳14的含量p，怎么得到死亡年數(shù)t？現(xiàn)有的模型能否用來解決這個問題？

問題3：如果現(xiàn)有模型無法使用，能否建立一個新的數(shù)學模型？

評析：引入視頻有兩個用意，一是讓學生直觀體會數(shù)學模型的實際應用價值，二是讓學生了解實際考古工作中大多是通過碳14 含量來推測生物的死亡年數(shù)的。

問題4：t是關(guān)于p的函數(shù)嗎？可以怎么理解？

問題5：對于一般的p=at(a＞0,a≠1)，能否進行推廣？

評析：學生獲得t與p的關(guān)系式后，通過質(zhì)疑其是否存在函數(shù)關(guān)系引發(fā)第二次認知沖突。教師引導學生從兩個層面解釋：一是從實際意義出發(fā)，認識到每一個碳14含量p都有唯一確定的死亡年數(shù)t與之對應；二是基于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過作圖發(fā)現(xiàn)每一個函數(shù)值p對應著唯一確定的自變量t。學生從實際背景中獲得感性認識，再利用數(shù)學知識理性理解。最后，讓學生對一般的指數(shù)函數(shù)進行推廣，得到新的函數(shù)模型：t=loga p(a＞0,a≠1)。根據(jù)習慣，常常用y表示因變量，x表示自變量，從而抽象出對數(shù)函數(shù)的概念。

問題6：y=ax與y=logax有何關(guān)系？能否從對應點的角度說明？

評析：因為對數(shù)函數(shù)的概念來自同底指數(shù)函數(shù)，所以自然要關(guān)心它們之間有何聯(lián)系，這就引發(fā)了學生的第三次認知沖突，需要進一步抽象兩者間的關(guān)聯(lián)，而這個問題關(guān)乎后面圖像和性質(zhì)的獲得以及反函數(shù)的引入。面對擺脫實際意義的函數(shù)表達式y(tǒng)=ax與y=logax，學生可能會在思考方向上手足無措，于是教師暗示學生從對應點的角度說明：若y=ax經(jīng)過 點(x0,y0)，則y0=ax0，則x0=logay0，說明y=logax經(jīng)過點(y0,x0)；反之，若y=logax經(jīng)過點(x1,y1)，則y=ax經(jīng)過點(y1,x1)，表明它們的圖像是關(guān)于y=x對稱的。學生獲得新概念后，教師及時引導他們將新概念與相關(guān)概念進行對比，以此加深學生對同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系的認識，使學生對概念從單一的個體認識上升到關(guān)聯(lián)性認識，進一步發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力。

（二）知識生成

問題7：對于新的函數(shù)——對數(shù)函數(shù)，我們可以研究哪些內(nèi)容？如何研究？

學生自己設(shè)計探究方案，而后以2 人為一組探究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，將結(jié)果整理在紙上，并匯報展示。

評析：學生在學習冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)后，已經(jīng)初步經(jīng)歷了一個新函數(shù)的完整研究過程，具有一定的理論基礎(chǔ)和探究能力。在教學時，教師拋出問題，讓學生全程自己探究，按照具體探究步驟逐步獲得結(jié)論，充分發(fā)揮學生的主體性。在研究策略上，學生主要提出兩種方法：類比與化歸。

1.通過類比探究對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的學習讓學生積累了研究具體函數(shù)的完整經(jīng)驗，所以一部分學生會通過類比進行研究：①類比研究路徑。類比指數(shù)函數(shù)從特殊出發(fā)進行探究的思路，學生會選擇特殊的對數(shù)函數(shù)進行列表、描點、連線來畫圖，且一般選擇底數(shù)互為倒數(shù)的一對（幾對）函數(shù)，如y=log2x、y==log3x、y=進行探究。②類比研究方法。類比由y=2x圖像得到圖像的方法，學生在得到y(tǒng)=log2x的圖像后，根據(jù)y==-log2x，發(fā)現(xiàn)兩者圖像關(guān)于x軸對稱，故可以通過對稱性直接獲得的圖像。讓學生體會到圖像變換也是作圖的一種重要手段。③類比研究內(nèi)容。在畫出對數(shù)函數(shù)圖像后，學生類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，確定研究內(nèi)容：對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。

2.通過化歸探究對數(shù)函數(shù)

一部分學生受到問題6 的啟發(fā)，利用同底指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，直接作具體的指數(shù)函數(shù)關(guān)于y=x對稱的圖像，得到相應的對數(shù)函數(shù)圖像再觀察獲得性質(zhì)。其實，圖像變換是蘊含化歸思想的一種重要手段，它本質(zhì)上是通過邏輯推理間接獲得新的圖像。一些能力較強的學生，甚至可以不用畫出具體的圖像就能通過邏輯推理直接說出對數(shù)函數(shù)可能具有的特征。對于這樣的“跳躍”，教師應給予支持與鼓勵。

學生在自主探究后，得到a＞1 與0 ＜a＜1 時的兩類圖像及其性質(zhì)，教師可利用幾何畫板的拖動功能來改變a值并觀察圖像的變化，進一步驗證圖像間的共同點與不同點，加深學生從特殊到一般的體會，使他們更深刻地認識對數(shù)函數(shù)。

（三）知識升華

問題8：我們利用對數(shù)函數(shù)的圖像得到了有關(guān)性質(zhì)，這些性質(zhì)一定正確嗎？是否可以進一步驗證？

設(shè)計意圖：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是學生通過觀察、歸納得到的，可以從函數(shù)本身進行解釋。如為什么圖像過定點（1，0）？因為loga1=0；為什么y=logax在a＞1時是單調(diào)遞增函數(shù)？可以根據(jù)單調(diào)性定義進行簡要說明。將由“形”得到的結(jié)論進一步通過“數(shù)”來驗證，這雖然不是教學的重點，但有利于學生形成規(guī)范化思考的理性思維品質(zhì)，因而在教學中需要有所呈現(xiàn)。

問題9：我們分別畫出了y=log2x、y=y=log3x、y=的圖像，并總結(jié)了y=logax的圖像及性質(zhì)，我們還能從這些圖像中發(fā)現(xiàn)什么變化規(guī)律嗎？

問題10：能否從不同角度驗證你的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：將四個特殊的對數(shù)函數(shù)圖像放在同一個坐標系里，學生能直觀感受到圖像變化與a之間的聯(lián)系，讓學生充分表達，教師進行修正與完善。驗證過程則可從兩個角度解釋：一是根據(jù)幾何畫板的直觀演示；二是作出直線y=1，其與圖像交點的橫坐標即為底數(shù)，從數(shù)的角度看出a與圖像的對應關(guān)系。學生在觀察中提出猜想，在驗證中升華理解。

六、教學思考

（一）教材為根，整體把握教學內(nèi)容

基于大單元設(shè)計的視角，“對數(shù)函數(shù)”部分是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)概念及其運算的基礎(chǔ)上，進一步研究對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的。事實上，在等式z=xy中，若將y視為常數(shù)，x視為自變量，z視為因變量，就得到冪函數(shù)；將x視為常數(shù)，y視為自變量，z視為因變量，則得到指數(shù)函數(shù)；而將x視為常數(shù)，z視為自變量，y視為因變量，則得到對數(shù)函數(shù)。此外，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的運算是對數(shù)函數(shù)概念獲得的基礎(chǔ)，而指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究方法可遷移到對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究，對數(shù)函數(shù)的研究又為反函數(shù)的引入打下基礎(chǔ)。這表明本節(jié)內(nèi)容的重要地位，體現(xiàn)了數(shù)學知識與方法間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性。

（二）學生為本，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

在“知識引入”環(huán)節(jié)，從熟悉的碳14 衰減的函數(shù)模型出發(fā)，讓學生在認知沖突中體會演繹推理與歸納推理的過程。情境中，t=p(0 ＜p≤1)是第一次抽象，一般的對數(shù)函數(shù)y=logax(x＞0,a≠1)是第二次抽象，y=ax與y=logax之間的關(guān)聯(lián)是第三次抽象。每一次抽象都是對知識的逐步深化，學生在質(zhì)疑、探索、檢驗、反思中不斷積累數(shù)學經(jīng)驗。在“知識生成”環(huán)節(jié)，基于知識的特點，通過合作、探究、交流的方式，讓學生展現(xiàn)自我，充分暴露思維過程，課堂不再是單向性的師生問答模式，而是變?yōu)樘骄颗c展示的交流場所。

（三）素養(yǎng)為標，形成能力

落實核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，其育人價值體現(xiàn)在當學生遇到新問題時，能夠利用已有的數(shù)學知識、方法與思維解決問題。本節(jié)課在“知識引入”環(huán)節(jié)，著力發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理的能力；在“知識生成”環(huán)節(jié)，重在引導學生利用類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想自主探究新函數(shù)；在“知識升華”環(huán)節(jié)，主要讓學生反思探究結(jié)果的嚴密性，讓抽象的“數(shù)”與直觀的“形”互相融合，強化學生對數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)的進一步認識。學生在深度學習中深刻理解了知識的來龍去脈，同時獲得了研究數(shù)學對象的方法與能力，進一步提升了學科核心素養(yǎng)。