溯錯誤之源 探解題之徑 開素養(yǎng)之門
——一道質(zhì)檢題的探究與思考

劉 坭

(上海市第五十二中學(xué)，上海 200083)

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)在解決立體幾何問題時，許多學(xué)生過于依賴空間向量，熱衷于所謂的“通性通法”，而忽視直觀感知、操作確認(rèn)的環(huán)節(jié)，這給立體幾何的學(xué)習(xí)埋下了隱患.在立體幾何的復(fù)習(xí)備考過程中，遇到這樣一道題：

圖1

生1:建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)P是平面ACC1A1上一動點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)P(x,2-x,z)，而點(diǎn)D1(0,0,2)，C(0,2,0)，所以

圖2 圖3

2x2-2x+z2-2z=0，

即

故點(diǎn)P所圍成的平面區(qū)域是橢圓.但橢圓的面積無從求得.

生2在生1的基礎(chǔ)上加以補(bǔ)充，給出了解法1.

即

1 深度學(xué)習(xí)，釋疑解惑

我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(x,y)是“一一對應(yīng)”的，因此二元方程F(x,y)=0表示平面幾何圖形，比如圓、橢圓、雙曲線的方程.而在空間直角坐標(biāo)系下，如果適合方程F(x,y,z)=0的點(diǎn)的集合是某個曲面∑，那么就把曲面∑稱為該方程的圖形，而把該方程稱為曲面∑的方程[1].簡而言之，三元方程F(x,y,z)=0表示曲面.

x2+y2-2y+z2-2z=0,

即x2+(y-1)2+(z-1)2=2,

(1)

x+y=2,

(2)

點(diǎn)P的坐標(biāo)同時滿足式(1)和式(2)，聯(lián)立方程得

(3)

將方程組(3)消元，可得

2x2-2x+z2-2z=0,

即

而正如文獻(xiàn)[1]第148頁所述：設(shè)空間曲線Γ的方程是

從中消去變數(shù)z，得到方程g(x,y)=0，它表示母線平行于z軸的柱面.

因此通過方程組(3)消元，得到的方程

因此，二元方程在二維空間表示平面圖形，在三維空間中表示柱面.空間直角坐標(biāo)系中表示平面圖形只能用方程組表示.例如空間直角坐標(biāo)系中，方程組

(4)

表示圓的方程.若將方程組(4)中消去y，則變成了橢圓柱面方程

而解法1巧妙地將平面ACC1A1作為坐標(biāo)平面，使得柱面與坐標(biāo)平面ACC1A1的交線就是圓，問題迎刃而解.

2 多維探究，拓展思維

筆者和學(xué)生一起探究幾何法的解題思路.

圖4 圖5

如圖5所示，球O1的半徑為

而O1M⊥⊙M，⊙M?面AA1C1C，因此O1M即為點(diǎn)O1到面AA1C1C的距離.

如圖4所示，過點(diǎn)O1作O1E∥CC1交棱C1D1于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥B1D1交A1C1于點(diǎn)F.由此可知，EF⊥面AA1C1C，故點(diǎn)O1到面AA1C1C的距離為

幾何法是解決立體幾何中動點(diǎn)問題的常見方法.求解例1的關(guān)鍵是作出點(diǎn)P的軌跡圓，而此圓是以CD1為直徑的球面被平面ACC1A1所截形成的⊙M，因此為了更形象地觀察點(diǎn)P的軌跡圓的特征，就必須將⊙M從正方體ABCD-A1B1C1D1中分離出來，以CD1為直徑的球面為載體來呈現(xiàn)，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形求解，如圖5所示.

圖6 圖7

解法4(特殊點(diǎn))如圖7所示，因?yàn)镈1H⊥面AA1C1C，且點(diǎn)P是平面ACC1A1上一動點(diǎn)，所以

D1H⊥CP.

即

D1P⊥CP，

從而

CP⊥面D1HP，

可知

CP⊥PH.

3 幾點(diǎn)思考

3.1 強(qiáng)化問題探究意識

立體幾何中動點(diǎn)的定量計(jì)算問題側(cè)重于考查學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，一般難度較大，在高考中也涉及不多.但是高考絕不是數(shù)學(xué)教育的終點(diǎn)，更重要的是數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)展素養(yǎng)素質(zhì)教育的功能.在教學(xué)實(shí)踐中，我們不應(yīng)該回避生1解法中出現(xiàn)的問題，更不能簡單地否定.相反，我們應(yīng)該抓住這一契機(jī)，順勢而為，引導(dǎo)學(xué)生剖析錯誤的根源，確定問題的癥結(jié)，找到問題解決的辦法，幫助學(xué)生走出困境[2].學(xué)生實(shí)現(xiàn)從平面解析幾何的認(rèn)知類比探究空間解析幾何的跨越，為探索空間解析幾何打開一扇門，在解決數(shù)學(xué)問題中完備知識體系，提升數(shù)學(xué)核心能力.這必將點(diǎn)燃學(xué)生心中那盞創(chuàng)新意識的火種，讓探究活動成為學(xué)生的樂趣.這也正是新課程理念所倡導(dǎo)的以學(xué)生的發(fā)展為本，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)[3].

3.2 落實(shí)傳統(tǒng)幾何法

幾何法和坐標(biāo)法是解決立體幾何的兩大法寶.但在立體幾何問題中傳統(tǒng)幾何法對學(xué)生的視圖能力、作圖能力、空間想象能力以及邏輯推理能力較坐標(biāo)法有較高的要求，因此在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生會逃避幾何法，導(dǎo)致簡單立體幾何問題出現(xiàn)“套路”解題的現(xiàn)象.例如，球體被平面所截的幾何圖形一定是圓，求圓的面積，就是求圓的半徑，問題轉(zhuǎn)化為如何直觀地作出圓或者找到圓的內(nèi)接直角三角形，這是關(guān)鍵.這需要教師引領(lǐng)學(xué)生在畫圖、識圖中對具體圖形的位置關(guān)系、度量關(guān)系由直觀感知、操作確認(rèn)上升到理性認(rèn)知的過程，從中發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)特征.總之，在立體幾何中構(gòu)建空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)勢在必行.