函數(shù)“圖像—性質(zhì)”教學的整體性和層次性

王紅權

(杭州市基礎教育研究室，浙江 杭州 310003)

函數(shù)概念是變量間相互關系的抽象．在初中階段，函數(shù)主要研究兩個變量之間的相互依賴關系，是用來刻畫現(xiàn)實世界中客觀事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，是進行量化研究的基本數(shù)學語言和工具，變化和對應是研究函數(shù)的基本思想方法．初中階段主要學習一次函數(shù)、二次函數(shù)，是刻畫某一類具體運動變化的數(shù)學模型：一次函數(shù)刻畫“勻速”變化的數(shù)學模型；二次函數(shù)刻畫“勻變速”變化的數(shù)學模型.反比例函數(shù)是刻畫“定積”變化的數(shù)學模型．本文通過對教學內(nèi)容的解構、教學邏輯的重構，有層次地建構函數(shù)圖像與性質(zhì)的教學．

在平面直角坐標系中，一個變量對另一個變量的依賴關系可用圖像表示，借助圖像直觀，通過代數(shù)運算研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念，是一種整體性的研究.但在教學實踐中，還需要關注內(nèi)容育人價值的層次性．《義務教育數(shù)學課程標準》(以下簡稱《課標》)對這部分內(nèi)容的教學要求如表1所示[1]：

表1 《課標》對一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學要求

本文結合《課標》要求，舉例說明初中階段函數(shù)圖像和性質(zhì)教學時，應如何把握內(nèi)容的整體性和層次性，更好地挖掘內(nèi)容在學科育人方面的作用．

1 一次函數(shù)“圖像—性質(zhì)”的教學分析

《課標》要求“能畫”一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像；“會畫”二次函數(shù)的圖像，明確畫法為“描點法”．這里有必要對“能畫”和“會畫”做出區(qū)分，“能畫”常常指能依據(jù)原理畫出函數(shù)的圖像，而“會畫”則是依據(jù)給定的“步驟”或“程序”繪制出函數(shù)的圖像，這樣繪制出來的叫“草圖”，具體教學實施時要注意到二者的區(qū)別.

函數(shù)的性質(zhì)是抽象的，抽象函數(shù)的性質(zhì)應借助圖像直觀和數(shù)學運算.在課堂教學設計中，設計數(shù)學實驗可以給學生提供直觀的探究素材，引導學生自己從圖像直觀中尋找決定一次函數(shù)性質(zhì)的要素，從而獲得一次函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)屬性[2]，才能有層次地挖掘內(nèi)容的育人價值．

1.1 一次函數(shù)的概念與畫圖教學

通過“情景—歸納”是代數(shù)教學的常用手法，關鍵是搞清楚這類變化過程的基本特征，精確區(qū)分變量之間的依賴關系，通過運算確定對應關系的代數(shù)表達．教學設計時需要選擇適切的情景，通過歸納得到概念．筆者采用如下的情景：

1)某登山隊大本營所在地的氣溫為5 ℃，海拔每升高1 km氣溫下降6 ℃．登山隊員所在位置的氣溫y(℃)隨由大本營向上登高x(km)的變化而變化,試用函數(shù)解析式表示y與x的關系．

2)一輛摩托車的油箱中現(xiàn)有汽油10 L(不加油)，平均耗油量為1 L/km．油箱中的油量y(L)隨行駛里程x(km)的變化而變化，試用函數(shù)解析式表示y和x的關系．

3)一只烏鴉口渴了，它找到了一個裝有水(水位刻度10 mL)的量杯,它每將一個小石子投進瓶中，瓶子中的水位刻度上升0.5 mL．瓶子中的水位刻度y(mL)隨小石子數(shù)x(個)的變化而變化，試用函數(shù)解析式表示y與x的關系．

第1步：通過活動，分析情景，理清關系.

1)情景中變量的變化特征清晰：氣溫y(℃)隨登高x(km)的變化而變化；油量y(L)隨行駛里程x(km)的變化而變化；瓶子中的水位刻度y(mL)隨小石子數(shù)x(個)的變化而變化．

2)變量之間的依賴關系刻畫精準：海拔每升高1 km氣溫下降6 ℃；平均耗油量為1 L/km；每將一個小石子投進瓶中，瓶子中的水位刻度上升0.5 mL．

第2步：歸納共性，通過運算，建立關系.

3)通過運算確定變量變化規(guī)律的代數(shù)表達：5-6x；10-x；10+0.5x．

4)確定變量對應關系的代數(shù)表達：y=5-6x；y=50-x；y=10+0.5x．

5)要素(參數(shù))的意義直觀清晰：k——變化率，為常數(shù)；b——初值，即當x=0時的函數(shù)對應值．

第3步：歸納體驗，抽象推廣，理解模型.

6)歸納情景中變量之間依賴關系的共性：是刻畫“均勻變化”現(xiàn)象的數(shù)學模型．

7)建立“均勻變化”的直觀模型：圖像的平直性．

通過三步教學活動的設計，學生獲得一次函數(shù)的概念，“感覺”刻畫“均勻變化”現(xiàn)象的數(shù)學模型所對應的圖像“可能”是一條直線．在此基礎上講授函數(shù)圖像便水到渠成，教學時只需要通過師生活動驗證即可．具體教學設計時，可以采用兩種辦法實現(xiàn)：1)在直角坐標系中描點繪圖；2)利用計算機繪圖軟件驗證．通過驗證首先獲得一次函數(shù)的圖像是一條直線的基本事實；同時達成“會畫”的基本“程序”或“步驟”，即“兩點確定一條直線”；確定畫圖應該選取的兩個點，一般取(0，b)和(1，k+b)(確定一條直線的條件：“一個點”加“一個方向”)．

1.2 一次函數(shù)性質(zhì)的教學

變化中的不變性(規(guī)律性)就是性質(zhì).研究函數(shù)的性質(zhì)，基本方法是觀察運動變化中的不變性和規(guī)律性.從《課標》要求(根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達式y(tǒng)=kx+b(其中k≠0)探索并理解當k>0和k<0時，圖像的變化情況)，一次函數(shù)性質(zhì)教學應通過借助圖像直觀和分析表達式等方法，探索當k變化時函數(shù)圖像的變化規(guī)律，用圖像變化規(guī)律的直觀反映一次函數(shù)的性質(zhì).可以設計如下的教學片段：

在已有函數(shù)y=5-6x,y=50-x,y=10+0.5x圖像的基礎上，請學生再寫幾個函數(shù)表達式并在繪圖軟件上畫出該函數(shù)的圖像.教師把所畫的函數(shù)圖像投影(如圖1所示)，請學生觀察并追問：

圖1

師：當研究的對象太多時，應該先做什么？

生1：對對象進行分類．

師：如何分類？

生2：根據(jù)圖像的“傾斜”方向分為兩類．

設計目的1)當研究的對象較多時，首先應選擇對對象進行分類，分類后更有利于對象性質(zhì)的揭示；2)利用技術可以快速繪制出多個函數(shù)的圖像，圖像個數(shù)越多歸納越容易，歸納得到的性質(zhì)也越可靠；3)這樣設計既能訓練數(shù)學研究的一般方法，同時也能在方法論層面上挖掘內(nèi)容的育人功能.體會分類常常是研究的起點，歸納需要有一定數(shù)量的對象為基礎．

師：圖像的“傾斜”方向由函數(shù)的什么要素決定？

生3：由k決定，當k>0時，函數(shù)圖像的“傾斜”方向一致,即“朝向”右上；當k<0時，函數(shù)圖像的“傾斜”方向也一致，即“朝向”右下[3]．

師：你能用數(shù)學語言描述函數(shù)圖像的“傾斜”規(guī)律嗎(以k>0為例)？

生4：當x的值增大時，函數(shù)值y也隨之增大．

師：能換個說法嗎？

生5：當x的值減小時，函數(shù)值y也隨之減?。?/p>

師：用數(shù)學語言如何刻畫？

生6：當x1

師：你能證明這個結論嗎？

生7：因為y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)，又x10，所以k(x1-x2)<0，即y1

師生一起小結，得到當k變化時，函數(shù)圖像變化的直觀規(guī)律，并用數(shù)學語言描述規(guī)律；通過對表達式進行分析，驗證圖像直觀規(guī)律的科學性；通過歸納小結得到一次函數(shù)的性質(zhì)．

這樣的設計是基于《課標》的目標要求，充分理解《課標》目標要求探索的“二重性”(即利用直觀探索性質(zhì)的過程屬性，利用表達式探索性質(zhì)的對象屬性)，挖掘內(nèi)容所蘊涵的育人價值，通過內(nèi)容的學習，培養(yǎng)學生的分析能力、歸納方法、函數(shù)觀念及探討精神．

2 反比例函數(shù)“圖像—性質(zhì)”的教學分析

圖2

學生的成果令人啼笑皆非，訪談的結果令人深思.6個學生經(jīng)過“集體討論”決定用虛線把第一和第三象限的圖像連接起來，理由是老師說過要用光滑的曲線把各點連接起來，因為曲線“往上”“往下”延伸“很遠”，所以選擇用虛線連接.筆者問：“一定能把這些點都連接起來嗎？你覺得圖像和y軸之間應該是怎樣的位置關系？”學生一臉茫然.事實上，學生用“描點法”畫反比例函數(shù)的圖像是缺乏認知基礎的，在學生沒有“連續(xù)函數(shù)”“漸近線”等數(shù)學概念時，選擇“穿越y(tǒng)軸的連線”并不是學生的錯.因此，對初中生來說，反比例函數(shù)的圖像是超經(jīng)驗的、難畫的.那么如何實現(xiàn)《課標》“能畫”的教學目標？

2.1 反比例函數(shù)的概念與圖像教學

反比例函數(shù)“圖像—性質(zhì)”教學時，一般是借助圖像直觀，分析表達式驗證得到.筆者發(fā)現(xiàn)把這個過程倒過來，教學效果顯著，具體教學流程如下：

第2步：(通過符號分析，確定圖像特征)由xy=(-x)(-y)，知以(-x，-y)為坐標的點也在函數(shù)的圖像上，而點(-x，-y)與(x，y)關于原點對稱，這說明位于第一象限部分的圖像和位于第三象限部分的圖像關于原點對稱.

第3步：(通過運算律分析，確定圖像特征)由xy=yx，知以(y，x)為坐標的點也在函數(shù)的圖像上，而點(y，x)與(x，y)關于直線y=x對稱，這說明函數(shù)圖像關于直線y=x對稱.

設計目的通過第1步的分析，我們知道第二和第四象限內(nèi)沒有函數(shù)圖像，使研究聚焦；通過第2步的分析，我們知道圖像位于第一象限和第三象限關于原點對稱，也就是只要知道第一象限的圖像就可以通過對稱的方法畫出整個圖像；通過第3步的分析，我們知道第一象限的圖像也是關于直線y=x對稱，也就是只要畫出直線y=x上方或下方的部分，就可以通過軸對稱的方法得到.通過3步分析，確定函數(shù)圖像的幾何特征，聚焦畫圖只要畫出其中四分之一的圖像，然后通過對稱的方法就能得到整個圖像.

顯然函數(shù)的圖像與直線y=x交于點(1，1)，實際教學時，教師可配合示范動作，在黑板上畫出函數(shù)圖像四分之一的示意圖.

第5步：師生共同畫出完整的圖.

2.2 反比例函數(shù)的性質(zhì)教學

反比例函數(shù)性質(zhì)教學時，對要素k的性質(zhì)研究僅局限在當k>0和k<0時的圖像分布是不夠的，還要繼續(xù)探究當k值變化時，圖像位置的變化規(guī)律.

3 二次函數(shù)“圖像—性質(zhì)”的教學分析

二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)，是刻畫勻變速運動的基本模型.二次函數(shù)“圖像—性質(zhì)”的研究方法和過程具有一般性，容易遷移到其他函數(shù)的研究中去[4].例如在高中數(shù)學的主題1預備知識中，利用二次函數(shù)研究一元二次方程和不等式，培養(yǎng)學生用函數(shù)的觀點看方程與不等式等內(nèi)容的學習，理解知識之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性[5]；在討論函數(shù)定義和性質(zhì)時，也以二次函數(shù)作為具體的例子；在微積分初步中，所涉及的例子也常常是二次函數(shù).

3.1 五點法畫草圖

《課標》確定的教學目標為：會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì)．與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的教學要求均不一樣，這種不同正好反映了二次函數(shù)圖像性質(zhì)教學的特殊地位：為將來學習其他函數(shù)提供方法論的支持和研究的樣例.因此，二次函數(shù)的“圖像—性質(zhì)”的教學需要強調(diào)研究方法的規(guī)范性和研究過程的可遷移、可復制性.例如：用描點法畫圖像時，如何選擇能刻畫二次函數(shù)性質(zhì)的關鍵點？從理論上講，點的選取可以是隨意的，但事實上希望不需要取太多的點就能畫出函數(shù)的草圖，也就是希望取一些關鍵的、典型的點.如圖3,二次函數(shù)的頂點C是兩個單調(diào)區(qū)間的分界點，也是函數(shù)的最值點，函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值都是函數(shù)最重要的性質(zhì)，顯然點C是關鍵點；二次函數(shù)與x軸的交點A和B是溝通一元二次方程和一元二次不等式的紐帶，無疑是關鍵點.從一般意義上講，有了這樣3個點，基本可以勾勒出二次函數(shù)的草圖，但僅有這3個點在表達函數(shù)的對稱性方面還不夠典型，因此還需要有關于對稱軸對稱的點D和E(選擇圖像與y軸的交點D就是因為方便)，簡稱“五點法”作圖，一般稱描點法作出來的函數(shù)圖像為“草圖”.高中階段學習三角函數(shù)作圖時，要求畫出函數(shù)y=sinx在一個周期[0，2π]上的圖像，依舊采用“五點法”，三點是圖像與x軸的交點，兩點是圖像的最高點和最低點，也是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，和二次函數(shù)的描點法作圖完全一致，較好地體現(xiàn)了二次函數(shù)研究的典型性、可遷移性和作為研究樣例的作用.

圖3

3.2 從圖像到性質(zhì)

對于一次函數(shù)和反比例函數(shù)，《課標》要求“根據(jù)圖像和表達式”“探索”圖像變化的規(guī)律，探索獲得的規(guī)律聚焦于圖像的位置變化，以直觀的方式呈現(xiàn)，不具體區(qū)分哪些是函數(shù)的性質(zhì)，哪些是圖像的位置特征，籠統(tǒng)地稱為“圖像變化規(guī)律”.二次函數(shù)性質(zhì)的《課標》要求是：通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì)，即要求借助函數(shù)圖像的直觀研究函數(shù)的性質(zhì).

事實上，在前面兩個函數(shù)性質(zhì)的學習中，主要探究k的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關系，一次函數(shù)在實數(shù)集R上單調(diào)，反比例函數(shù)因為在x=0處不連續(xù)，所以其單調(diào)性必須在不同的區(qū)間上描述，但在不同區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.因此，學生對函數(shù)單調(diào)性的研究有一定的基礎，教學時可以采用類比的方法，列表填空是一種高效的方法，如表2.

表2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

觀察表2容易發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)性質(zhì)中是第一位的，其他的性質(zhì)都是由單調(diào)性引出的.如果在x=x0的兩側單調(diào)性相反，則在x=x0處形成函數(shù)圖像的頂點，即在x=x0時函數(shù)有最大或最小值；同樣圖像的對稱性也是由x=x0的兩側的單調(diào)性決定.類似地，函數(shù)的周期性無非就是函數(shù)在相同的區(qū)間內(nèi)重復相同的單調(diào)性.

3.3 函數(shù)的對稱性

根據(jù)圖像直觀，若x1和x2是與對稱軸距離相等的兩個自變量的取值，則其所對應的函數(shù)值y1=y2.不妨設x1>x2，因為x1-x0=x0-x2，所以f(x1-x0)=f(x0-x2).容易看出函數(shù)圖像的對稱性質(zhì)完全是由x=x0兩側的單調(diào)性決定的.這為將來學習“極值點偏移”的表示帶來可以借鑒的方式：如圖4，定義在區(qū)間(0，xA)上的下凸函數(shù)f(x)的極值點x0在中點M(xM，0)左側的充要條件是：對定義域內(nèi)任意的x1>x2，若x1-xM=xM-x2，則f(x1-xM)>f(xM-x2).

圖4

3.4 函數(shù)的最值

4 小結

以上以3個函數(shù)的“圖像—性質(zhì)”教學為線索進行了分析，“情景—概念—圖像—性質(zhì)”是研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，借助函數(shù)圖像或表達式探索函數(shù)的性質(zhì)是一個整體過程，但三者顯然存在育人價值上的差異.

“能畫”一次函數(shù)圖像顯然是指能依據(jù)“兩點確定一條直線”的基本原理畫出函數(shù)圖像，獲得函數(shù)圖像是一條直線是教學的一個重要環(huán)節(jié)，但更為重要的是要讓學生體會到坐標系的力量，感悟平面幾何中“兩點確定一條直線”和函數(shù)表達式中確定k和b(要素)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過平面幾何和一次函數(shù)圖像的學習，要讓學生明晰確定一條直線的基本要素是“一個點和一個方向”，初步掌握在坐標系中，方向的代數(shù)化方法.體會抽象的代數(shù)對象(函數(shù)表達式)是如何轉化為形的直觀(函數(shù)圖像)，具體的幾何對象(圖形)如何代數(shù)化，用方程來表示，進一步理解數(shù)形結合的含義.

借助函數(shù)圖像和表達式研究一次函數(shù)的性質(zhì)，即研究y=kx+b的變化規(guī)律——不僅要明確x，y的意義，也要明確k，b的意義，即圖像的變化規(guī)律由k，b決定，通過不同的情景、圖像的變化和表達式的分析等維度理解k的意義(變化率、方向).

“能畫”反比例函數(shù)圖像顯然是指能依據(jù)“程序”畫出函數(shù)的圖像，通過畫圖教學，培養(yǎng)學生有條理的做事方法，學會解決問題的關鍵在于必須找到產(chǎn)生問題的最小功能單元，在過程中初步理解“連續(xù)”和“漸近”的幾何直觀和數(shù)學內(nèi)涵.

畫二次函數(shù)圖像的過程中，要求掌握“五點法”的基本方法，學習如何把圖像直觀用數(shù)學語言精準表達，為今后學習其他函數(shù)提供研究方法和研究樣例.

希望通過學習3種函數(shù)的圖像和性質(zhì)等核心知識，培養(yǎng)學生分析問題、歸納總結等關鍵能力，提升學生能用函數(shù)觀念觀察、研究和表達世界等核心素養(yǎng)，樹立持久的探索和研究精神．