多視角生成微專題 促進學生深度學習

盧秋丹

(閩清縣第一中學，福建 閩清 350800)

微專題教學是指將某一知識點作為研究主題，從該知識的概念與原理出發(fā)，通過一條清晰的主線將零散的知識自然地串聯(lián)起來，循序漸進地解決問題的一種“小切口”教學方法.“微”即細致入微，內(nèi)容精而少；“?！奔此x題目應根據(jù)相同的教學目標，集中解決同一類型的問題.高三數(shù)學二輪復習階段，隨著全國各地模擬試題的不斷出爐，教師常常以習題講評的形式實施復習教學.但由于數(shù)學知識跨度大，學生思維跳躍性強，在復習過程中易出現(xiàn)“高原反應”，復習效果不理想.

因此，教師應結合學生考試和練習中暴露出的問題，有計劃、有目的地在二輪復習備考中采用針對性強、新穎靈活的“微專題”教學形式，從多視角切入與生成.這樣有利于幫助學生構建完備的知識體系和數(shù)學研究的一般方法，促進思維的深層參與，實現(xiàn)深度學習，全面提升數(shù)學核心素養(yǎng).

1 聚集“疑點”，生成“微專題”

對于教材中的“疑點”，教師雖然反復講解，但收效甚微，學生遇到類似問題仍無所適從，究其原因，是教師“碎片化”的、“就題論題”的講解無法給學生留下深刻的印象[1].因此教師應以突破學生的“疑點”為目標，選擇學生作業(yè)和試卷中的一些“易混易錯”問題，進行重組、加工，組織微專題主線教學，通過對此類問題的剖析，引導其透過現(xiàn)象反思問題的本質(zhì)，掌握解決問題的思想方法，使復習收到事半功倍之效.

案例1以“基本不等式”的應用設計“微專題”.

這是筆者所在學校高三單元測試中的一道試題，錯誤率較高.主要原因是學生對運用“基本不等式”求最值問題認知不足,當條件(一正、二定、三等)失效時，不能快速找準解題的“突破口”，且易忽視“等號成立”的條件.為此，教師以“基本不等式”最值問題構建以下微專題.

環(huán)節(jié)1溫故熱身.

問題2設正實數(shù)a,b滿足ab=a+b+3，則a+b的最小值是______.

環(huán)節(jié)2拾級而上.

變式1已知正數(shù)a,b滿足ab=a+2b，求a+b的最小值.

分析(變換題設形式)由ab=a+2b，得

變式2設正數(shù)a,b滿足ab=2a+b+3，求a+b的最小值.

分析由ab=2a+b+3，得

(a-1)(b-2)=5，

以下略.

評注此類問題的核心在于怎樣通過“湊”達到基本不等式中“定”的條件,從“和定”轉化為“積定”.

環(huán)節(jié)3漸入佳境.

問題4設a>0,b>0，a+b=1，則

( )

(2020年全國數(shù)學新高考卷Ⅰ第11題)

問題5設5x2y2+y4=1(其中x,y∈R)，則x2+y2的最小值是______．

(2020年江蘇省數(shù)學高考試題第12題)

環(huán)節(jié)4引申拓展.

問題6設正數(shù)a,b滿足4a2+b2=1，則2a+b的取值范圍是______.

思路14a2+b2=(2a+b)2-4ab，然后運用“基本不等式”解決.

思路2設2a+b=t，則b=t-2a，代入已知轉化為關于b的一元二次方程，根據(jù)判別式Δ≥0，求出范圍.

評注通過“微專題”復習，有效提升了學生對此類問題的處理能力，提升了學生運用轉化與化歸等思想方法的能力.對典型問題進行一題多變，有利于學生突破教材的禁錮，引領學生由“變”的現(xiàn)象中揭示“不變”的規(guī)律，由“不變”的本質(zhì)中尋找“變”的規(guī)律，從不同的背景中掌握通性通法發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，從而厘清了知識與方法間的聯(lián)系，提高復習的針對性、有效性，提升了學生的思維深度，發(fā)展了邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

2 圍繞“高頻點”，生成“微專題”

高考“高頻點”是高中數(shù)學的核心知識，是考查數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.因此教師應圍繞“高頻點”生成微專題，引導學生回歸教材,梳理微專題中所涉及的知識與方法，并通過對數(shù)學問題的挖掘，抓住其精髓,深度領悟數(shù)學問題背后深層次的數(shù)學思想方法，進而形成對此類問題更為全面、深刻的認識，從而“潤物細無聲”地將數(shù)學學科核心素養(yǎng)融入其中.綜觀近幾年的高考試題,不難發(fā)現(xiàn)“圓錐曲線離心率范圍問題”是命題的高頻點，教師可聚焦此類“高頻點”，圍繞回歸教材、變式訓練、鏈接高考、深化思維等設置微專題，引導學生探尋破題思路，提升解題能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

案例2以“圓錐曲線離心率范圍問題”切入的“微專題”.

此類問題往往靈活多變，條件隱蔽，綜合性強，是近幾年高考的“高頻點”，需要學生借助圖形的幾何特征對題目進行分析,從而找到問題解決的“鑰匙”，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)1回歸教材，反思感悟.

問題1如何計算圓錐曲線的離心率？

問題2求解圓錐曲線離心率范圍問題的關鍵是什么？

探究a,b,c之間的不等關系.

問題3從哪幾個方面尋求a,b,c之間的不等關系？

從已知出發(fā)；從橢圓與雙曲線自身的性質(zhì)出發(fā)；從圓錐曲線的幾何特征出發(fā).

環(huán)節(jié)2變式訓練，由特殊到一般.

思路1運用三角形三邊的關系確立不等式.

思路2運用焦半徑性質(zhì)確立不等關系.

環(huán)節(jié)3鏈接高考，深化思維.

(2018年全國數(shù)學高考卷Ⅱ理科試題第12題改編)

(2021年全國數(shù)學高考乙卷理科試題第12題改編)

評注學生的關鍵能力是在掌握“四基”的基礎上，經(jīng)過遷移，并進一步概括化、系統(tǒng)化而獲得提升的[2].“圓錐曲線離心率范圍問題”微專題承載著激活知識梳理、完備學生知識體系、培育其數(shù)學核心素養(yǎng)的功效.因此教師應從學生原有的認知基礎出發(fā)，貼近其最近發(fā)展區(qū)設置微專題，精心設計問題串，構建解決某一類問題的“路線圖”，引導學生在新情境的問題解決過程中獲得數(shù)學體驗，掌握研究問題的一般數(shù)學方法，使解決問題的能力達到一個新的高度.

3 挖掘教材“生長點”，生成微專題

編擬微專題不能只局限于知識的歸納整理，更要用數(shù)學思想方法引領微專題教學.課堂教學是預設與生成的和諧融合，高三復習教學也是如此.因此在“微專題”復習的設置與教學過程中，應考慮學生思維的多向性、過程的開放性等特點，引導學生深度參與，不斷探詢再生性知識的“生長點”.通過教師睿智的追問與引導，激發(fā)學生的思維，促進其更深度地思考問題，并生成深層次的認知，使學生的思維實現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

案例3一道教材習題切入的“微專題”.

環(huán)節(jié)1課本溯源.

問題1已知圓x2+y2-6x+5=0,過原點的直線與該圓交于點A,B，求弦AB中點M的軌跡方程.

(人教A版高中《數(shù)學(選修2-1)》第37頁A組習題第4題)

評注問題1起點低，有多種解決問題的思路，教師引導學生多方位、多角度進行探究.

思路1(直接法)如圖1，設圓x2+y2-6x+5=0的圓心為C，則點C的坐標為(3,0).

圖1

設M(x,y)，若直線AB與x軸不重合，由CM⊥AB,得

整理得

x2+y2-3x=0(其中x≠3,x≠0).

若直線AB與x軸重合，則M與圓心C重合，滿足題意.

因此所求軌跡的方程為

思路3(幾何法)若直線AB與x軸不重合，無論弦AB怎樣變化，由△OCM為直角三角形，可得

|OM|2+|CM|2=|OC|2,

即

x2+y2+(x-3)2+y2=9，

即

x2+y2-3x=0(其中x≠3,x≠0).

下同思路1.

(1+k2)x2-6x+5=0，

則

當k≠0時，消去k，得

x2+y2-3x=0.

當k=0時，M(3,0),滿足上式.

由Δ=16-20k2≥0，得

從而

故點M的軌跡方程為

環(huán)節(jié)2由特殊到一般.

問題2過點P(m,n)的直線和⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2交于點A,B，求弦AB中點的軌跡方程.

性質(zhì)1已知⊙C:(x-a)2+(y-b)2=r2，過點P(m,n)的直線與C交于點A,B，設M為弦AB的中點，那么當點P在⊙C外時，點M的軌跡是⊙C1在⊙C內(nèi)之部分；當點P在⊙C內(nèi)(點P與點C不重合)時，點M的軌跡是⊙C1,其中⊙C1的方程為

環(huán)節(jié)3引申推廣.

問題3若問題2推廣到橢圓、雙曲線和拋物線，則點M的軌跡如何？

學生參與的積極性很高，經(jīng)過探究，得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)5經(jīng)過一定點的直線與圓錐曲線相交，這條弦中點的軌跡是與原曲線類型相同、形狀相似的曲線(其曲線是原曲線內(nèi)的部分)

評注從一道平淡的課本習題出發(fā)，引導學生積極參與、主動探究，由特殊到一般，深挖題目的“生長點”，并進行引申推廣，以小見大.在解決問題的過程中，學生品嘗到了成功的愉悅，催生了深度學習的智慧，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題、探究問題的能力，使學習過程成為提升核心素養(yǎng)的豐富載體[3].

總之，教師應基于微專題“切口小、定位準、形式多”等特點，選擇經(jīng)典問題，及時彌補學生所暴露出的問題.同時，教師在設計微專題時，應重視數(shù)學知識與思想方法的整合、串聯(lián)，由易到難，由表及里、循序漸進地引導學生深度參與，經(jīng)歷回歸基礎、邏輯推理、抽象概括等活動過程，使學生由“見山是山”的淺層學習達到“見山不是山”，再上升到“見山還是山”的深層境界，從而讓數(shù)學核心素養(yǎng)在高三復習教學中真正落地生根.