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    用Mathematica軟件探究大小恒定有心力作用下物體的運(yùn)動(dòng)

    2022-04-18 06:15:00呂俊君
    物理教師 2022年3期
    關(guān)鍵詞:原題拉力半徑

    呂俊君

    (九江市同文中學(xué),江西 九江 332000)

    題.如圖1所示,質(zhì)量為m的物體被經(jīng)過(guò)光滑小孔的輕繩牽引,在光滑水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng).拉力為F時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R,當(dāng)拉力增大為6F時(shí),物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng),此時(shí)半徑為,則拉力對(duì)物體做的功為

    圖1 原題圖

    從解析推知命題者的意圖是考查“圓周運(yùn)動(dòng)”和“動(dòng)能定理”,看似無(wú)懈可擊.但筆者對(duì)該題的情境提出質(zhì)疑:“拉力從F增加到6F后,物體真的做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)嗎?這一情境是否真實(shí)?如果不是圓周運(yùn)動(dòng),物體在什么范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)呢?軌跡又是什么形狀?”針對(duì)這些問(wèn)題筆者進(jìn)行了探究.

    1 建立平面極坐標(biāo)系探究物體的運(yùn)動(dòng)范圍

    如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力的作用線始終通過(guò)某一個(gè)定點(diǎn),我們就說(shuō)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力是有心力,而這個(gè)定點(diǎn)則叫做力心[1].在該題情境中,無(wú)論拉力大小如何變化,拉力的方向始終指向定點(diǎn)(即光滑小孔),所以物體受到的力為有心力,在平面極坐標(biāo)系下研究比較方便.

    如圖2所示建立平面極坐標(biāo)系,取小孔為極點(diǎn)O,物體做曲線運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí),位矢為r.i為沿位矢方向的單位矢量,j為垂直位矢方向的單位矢量,將速度v分解成i和j方向的兩個(gè)分量,有

    圖2

    在方程(7)中,有心力為引力時(shí)F(r)取負(fù)值,為斥力時(shí)F(r)取正值.原題情境中,物體在拉力F作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),初始條件為

    2 物體的軌道微分方程

    通過(guò)前面的探究已經(jīng)得到了物體的運(yùn)動(dòng)范圍,但物體的運(yùn)動(dòng)軌跡究竟是什么形狀?我們還需要獲得r,θ的關(guān)系式,即軌道方程,并在極坐標(biāo)下作出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡.

    (16)式正是所求的軌道微分方程,叫做比耐公式.在原題情境中,F(xiàn)(r)為引力,取F(r)=-6F,并將(10)式代入(16)式得到物體的軌道微分方程為

    3 用Mathematica軟件探究物體的運(yùn)動(dòng)軌跡

    物體軌跡的微分方程是變系數(shù)常微分方程,[2]十分復(fù)雜,沒(méi)有辦法獲得其解析解.但我們可以借助Mathematica軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解.為了計(jì)算方便,取半徑R=1 m進(jìn)行分析,代入(18)式得

    打開(kāi) Mathematica軟件,新建文檔,對(duì)方程(19)求數(shù)值解,輸入如下命令:

    其中NDSolveValue表示求數(shù)值解,PolarPlot表示繪出極坐標(biāo)圖,{x,0,2Pi}表示極角的范圍,這里表示的是0-2π.如果要研究0-4π,則將命令行改為{x,0,4Pi}.隨后框選命令行內(nèi)容,選擇“計(jì)算單元”,即可作出運(yùn)動(dòng)軌跡圖像.

    筆者分別在極角為0-2π,0-4π,0-8π,0-100π這四種情況下作出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖3、圖4、圖5、圖6所示.

    圖3 極角0-2π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

    圖4 極角0-4π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

    圖5 極角0-8π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

    圖6 極角0-100π范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡

    從圖中發(fā)現(xiàn),物體轉(zhuǎn)動(dòng)1圈過(guò)程中,軌跡顯然不是圓形,且不能回到出發(fā)點(diǎn),只能回到距離極點(diǎn)大約0.5 m的位置;當(dāng)物體轉(zhuǎn)了2圈時(shí),依舊無(wú)法回到出發(fā)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)軌跡看似凌亂,無(wú)規(guī)律可循;當(dāng)物體轉(zhuǎn)了4圈時(shí),逐漸顯示出運(yùn)動(dòng)的范圍以及運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性;當(dāng)物體轉(zhuǎn)了50圈時(shí),能夠明顯看出物體在一定范圍內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng).我們通過(guò)Mathematica軟件獲取坐標(biāo)的功能得知距離極點(diǎn)的最近距離約為0.333,最遠(yuǎn)距離為1.00,印證了本文第1節(jié)中“物體在距離極點(diǎn)與R的范圍之間做曲線運(yùn)動(dòng)”這一結(jié)論.

    4 結(jié)論

    通過(guò)極坐標(biāo)系下的定量計(jì)算和Mathematica軟件作出運(yùn)動(dòng)軌跡,我們得出結(jié)論:“原題中拉力變?yōu)?F后物體做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)這一條件不符合實(shí)際情境.事實(shí)上物體在距離極點(diǎn)與R范圍內(nèi)做往復(fù)的曲線運(yùn)動(dòng),拉力6F時(shí)而做正功,時(shí)而做負(fù)功.故原題的情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)均不合理.”

    在命制試題的過(guò)程中,應(yīng)該保證情境的真實(shí)性與可靠性,條件之間也應(yīng)該彼此自洽,不能為了刻意考查某個(gè)知識(shí)點(diǎn)而隨意編造.

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