用磁標(biāo)勢(shì)求解正方形邊界區(qū)域內(nèi)外感生電場(chǎng)的分布

姜付錦 鄧 峰

（1.黃陂一中試題研究中心，湖北 武漢 430300；2.北京理工大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100089）

1 參考文獻(xiàn)［1］中的問(wèn)題

如圖1所示，設(shè)想圓弧所在圓周是由同樣導(dǎo)體制成的閉合電路，設(shè)整個(gè)圓周產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E周，圓弧l產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E弧，則根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有

圖1

由于圓周的對(duì)稱(chēng)性，每段等長(zhǎng)的圓弧所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)都必然相等，所以

為了尋求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與扇形面積之間的關(guān)系，對(duì)（2）式作一個(gè)等效變換，

所以

（4）式表明，處于變化磁場(chǎng)中的一段圓弧形導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小等于圓弧所對(duì)應(yīng)的扇形面積與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積.當(dāng)然，需要注意的是：（4）式結(jié)論成立的前提是磁場(chǎng)必須是“無(wú)限大”的磁場(chǎng)，與磁感應(yīng)強(qiáng)度是否均勻變化無(wú)關(guān).

2 圓柱形邊界形成的感生電場(chǎng)

若磁場(chǎng)的邊界是圓柱形，圓柱半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化率為，則由法拉第電磁感應(yīng)定律可得周?chē)臻g感生電場(chǎng)強(qiáng)度為［2］

如圖2所示，感生電場(chǎng)線(xiàn)是與圓柱同心的一系列圓周，當(dāng)r增大時(shí)感生電場(chǎng)強(qiáng)度先增大，后變小.當(dāng)圓弧形導(dǎo)體放在這樣的感生電場(chǎng)中，且圓弧圓心與圓柱的軸重合時(shí)，（4）式正確，并且與邊界是否無(wú)限大無(wú)關(guān)，與磁感應(yīng)強(qiáng)度是否均勻變化無(wú)關(guān)；若圓弧形導(dǎo)體的圓心與圓柱的軸不重合，即便是無(wú)限大邊界磁場(chǎng)，根據(jù)參考文獻(xiàn)［3，4］中的方法與思想可以證明（4）式有待商榷.這是因?yàn)楫?dāng)扇形的兩個(gè)半徑與所處位置的感生電場(chǎng)線(xiàn)不垂直時(shí)，電路的有效面積不等于扇形面積.為了使圓弧形導(dǎo)體產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于扇形面積與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積，則扇形的兩個(gè)半徑必須與所處位置的感生電場(chǎng)線(xiàn)垂直.

圖2 圓柱形邊界感生電場(chǎng)線(xiàn)

3 正方形邊界形成的感生電場(chǎng)

圖3

（9）式是對(duì)邊界內(nèi)、外的區(qū)域都統(tǒng)一成立.

若已知矩形的邊界和磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率，利用（9）式可以求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量表達(dá)式，但是這個(gè)積分非常復(fù)雜，可以用數(shù)學(xué)軟件來(lái)運(yùn)算，可以參看參考文獻(xiàn)［5］中的表達(dá)式，這里不再贅述.

3.1 感生電場(chǎng)線(xiàn)方程的推導(dǎo)

設(shè)感生電場(chǎng)線(xiàn)方程為y=y（x），根據(jù)參考文獻(xiàn)［6］的思想與方法得

（11）式是對(duì)邊界內(nèi)、外區(qū)域都適用.這表明邊界內(nèi)、外的電場(chǎng)線(xiàn)方程在形式上是統(tǒng)一的.感生電場(chǎng)線(xiàn)方程可由（11）式確定，但是（11）式的積分非常復(fù)雜，這是因?yàn)楦猩妶?chǎng)線(xiàn)方程不是顯函數(shù)，而是隱函數(shù).我們可以換一種思路，對(duì)整個(gè)感生電場(chǎng)，一般不能引入標(biāo)量勢(shì)，但對(duì)于對(duì)邊界外的區(qū)域，由于感生電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度處處為0，

類(lèi)似磁場(chǎng)在無(wú)電流分布的區(qū)域可以引入磁標(biāo)勢(shì)一樣［7］，可以引入標(biāo)量勢(shì)A，得

正方形邊界內(nèi)外形成的感生電場(chǎng)線(xiàn)是二維曲線(xiàn)簇，可以根據(jù)解析函數(shù)的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)簇在空間處處正交的性質(zhì)，將A作為解析函數(shù)的實(shí)部，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)而求虛部E，即得電場(chǎng)線(xiàn)方程.

設(shè)感生電場(chǎng)線(xiàn)曲線(xiàn)族等值方程為

由解析函數(shù)柯西 黎曼條件［8］

（17）式曲線(xiàn)簇等值方程表示邊界外部電場(chǎng)線(xiàn)方程.

正如（9）、（11）兩式的分析，邊界內(nèi)、外的電場(chǎng)線(xiàn)方程是統(tǒng)一的，因此（17）式也可以表示邊界內(nèi)部感生電場(chǎng)線(xiàn)方程.

設(shè)磁場(chǎng)矩形邊界為-a≤x≤a，-b≤y≤b，則（9）式積分可變?yōu)?/p>

（20）式曲線(xiàn)簇等值方程為正方形邊界形成的感生電場(chǎng)線(xiàn)方程.

3.2 正方形邊界內(nèi)外感生電場(chǎng)線(xiàn)

研究發(fā)現(xiàn)：（20）式不定積分結(jié)果有解析解，但是相當(dāng)復(fù)雜，可以用數(shù)學(xué)軟件來(lái)計(jì)算.若k=2πT／s，a=b=1 m，則正方形邊界內(nèi)外感生電場(chǎng)線(xiàn)如圖4所示.

圖4 正方形邊界內(nèi)外感生電場(chǎng)線(xiàn)

圖4是由（20）式數(shù)值模擬出的正方形邊界內(nèi)外的感生電場(chǎng)線(xiàn)分布圖（圖4中黑色邊框?yàn)榇艌?chǎng)的邊界）.可以看出，正方形邊界內(nèi)部越靠近邊界，感生電場(chǎng)線(xiàn)越類(lèi)似變形的正方形，靠近中心的感生電場(chǎng)線(xiàn)為圓周，正方形邊界外的感生電場(chǎng)線(xiàn)類(lèi)似一系列同心圓［5，9］；若圓弧形導(dǎo)體（圖4中虛線(xiàn)部分）的兩個(gè)半徑與所處位置的感生電場(chǎng)線(xiàn)垂直，則導(dǎo)體上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為扇形面積 與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積；若不垂直，則導(dǎo)體上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)并非正比于扇形的面積，導(dǎo)體上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用感生電場(chǎng)強(qiáng)度沿導(dǎo)體的定積分來(lái)計(jì)算［3，4］，限于篇幅這里不再贅述.

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析不難發(fā)現(xiàn)，若圓弧形導(dǎo)體處在圓柱形邊界的感生電場(chǎng)中，且圓弧的圓心與圓柱軸重合，則導(dǎo)體上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為扇形面積與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積；若圓弧形導(dǎo)體處在正方形邊界的感生電場(chǎng)中，且圓弧形導(dǎo)體的兩個(gè)半徑與所處位置的感生電場(chǎng)線(xiàn)垂直，則導(dǎo)體上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為扇形面積與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積；若扇形的兩個(gè)半徑與所處位置的感生電場(chǎng)線(xiàn)不垂直，則導(dǎo)體上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不等于扇形面積與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化率的乘積，導(dǎo)體上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可以用感生電場(chǎng)強(qiáng)度沿導(dǎo)體的定積分來(lái)計(jì)算.若磁場(chǎng)邊界是正方形，則空間產(chǎn)生的感生電場(chǎng)強(qiáng)度和感生電場(chǎng)線(xiàn)方程都有解析解，電場(chǎng)線(xiàn)方程偏離圓周曲線(xiàn)方程.