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    反射光線沿原路返回兩平面鏡夾角個(gè)數(shù)分析

    2022-04-18 06:15:06王偉民辛存良
    物理教師 2022年3期
    關(guān)鍵詞:入射光平面鏡鏡面

    王偉民 辛存良

    (1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 阜陽 236652;2.山東省陽谷縣西湖中學(xué),山東 聊城 252311)

    從一道幾何光學(xué)題目說起:

    例1.如圖1所示,平面鏡OM與ON的夾角為θ,一條平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射后,能夠沿著原來的光路返回,則兩面鏡子之間的夾角θ不可能是

    圖1

    (A)30°. (B)20°. (C)10°. (D)1°.

    分析:如圖2所示,我們作出光線經(jīng)兩個(gè)平面鏡多次反射的光路圖——圖2中作出了3次反射的情形,看下可否通過這3次反射相關(guān)線條之間的角度關(guān)系,來總結(jié)從開始到最終每次反射后反射光線與平面鏡夾角的變化規(guī)律.由于圖2中兩平面鏡的夾角比較大(作圖時(shí)兩個(gè)平面鏡間的夾角設(shè)置很小時(shí),兩平面鏡之間的區(qū)域較為狹窄,作多次反射的光路圖不方便),所以,光線在兩個(gè)平面鏡內(nèi)經(jīng)過為數(shù)不多的幾次反射后,最后可視為射線的反射光線可能就不再與平面鏡相交了.當(dāng)然,如果兩個(gè)平面鏡的夾角足夠小,開始的入射光線與平面鏡的夾角也足夠小,那么,當(dāng)入射光線射向其中的一個(gè)平面鏡時(shí),理論上我們可以作出任意多次數(shù)反射的光路圖.

    圖2

    由光的反射定律“反射角等于入射角”可知,每次反射時(shí),反射光線和對應(yīng)的入射光線與鏡面的夾角相等,結(jié)合“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”這一規(guī)律(三角形內(nèi)角和定理的推論)可知,圖2中,光線第1次沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡上的B點(diǎn)發(fā)生反射時(shí),反射光線BC與鏡面OM的夾角為θ,接下來,光線BC射向平面鏡ON并發(fā)生第2次反射時(shí),對應(yīng)的反射光線CD與平面鏡ON的夾角為2θ,再次射向平面鏡OM上的D點(diǎn)發(fā)生第3次反射時(shí),反射光線DE與平面鏡OM的夾角為3θ,……,根據(jù)這一變化規(guī)律將問題推廣至一般情形,便可總結(jié)出下面的結(jié)論——在對應(yīng)反射光線與入射點(diǎn)右側(cè)平面鏡的夾角不大于直角時(shí),從第一次反射算起,光線發(fā)生第n次反射時(shí),反射光線與過對應(yīng)入射點(diǎn)的平面鏡的夾角為nθ.

    解析:要使平行于平面鏡ON的光線AB經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射后,能夠沿著原來的光路返回,從開始入射考慮,隨著反射次數(shù)遞增,對應(yīng)反射光線與平面鏡夾角逐漸增大的過程中,必須滿足某次入射光線是沿著垂直于平面鏡方向入射,這次反射對應(yīng)的反射光線與平面鏡的夾角為90°.不妨設(shè)這次反射是第n次反射,由上述分析可知nθ=90°,因?yàn)閚是正整數(shù),所以,兩平面鏡夾角θ必須為90的因數(shù),而例1給出的4個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)的度數(shù),(A)、(C)、(D)選項(xiàng)對應(yīng)的角度,都能夠去整除90°,都滿足要求,只有(B)選項(xiàng)對應(yīng)的度數(shù)20°不能整除90°,所以,本題的正確選項(xiàng)是(B).

    對例1而言,入射光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向射入,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后,最終的反射光線是沿原路返回的,不用說這條反射光線是沿著平行于其中一個(gè)平面鏡的方向射出,我們不禁要問,入射光線平行于平面鏡,最終的反射光線也平行于其中一個(gè)平面鏡的“特殊”光學(xué)現(xiàn)象,只有光線沿原路返回這唯一的情形嗎?

    例2.兩個(gè)相交平面鏡鏡面相對,夾角為θ,在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi),一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個(gè)平面鏡,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后,最終恰好沿著與一個(gè)平面鏡平行的方向射出,若θ的度數(shù)為整數(shù),則滿足條件的θ的個(gè)數(shù)為

    (A)12. (B)14. (C)16. (D)18.

    分析:能夠發(fā)現(xiàn),例1給出的物理情形滿足例2所給問題的要求——光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向入射,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后沿原路返回,最終的反射光線一定平行于其中的一個(gè)平面鏡,但是這一情形并非滿足例2所給問題的所有情形.還有一種情形是光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后,最終的反射光線不沿原路返回但卻仍然與其中一個(gè)平面鏡平行的情況.如圖3所示,光線AB沿平行于平面鏡ON的方向射向平面鏡OM上的B點(diǎn),由例1所給問題的分析可知,從剛開始入射算起隨著反射次數(shù)的遞增,反射光線與平面鏡所夾的銳角也依次遞增,圖3所示情形中,如果兩個(gè)平面鏡上連續(xù)兩次反射的入射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離恰好相等,不妨設(shè)這相鄰兩次反射的入射點(diǎn)分別為E和F(即圖3中OE=OF),則有∠OEF=∠OFE,由于對稱,光線EF射向平面鏡OM發(fā)生反射,之后經(jīng)兩個(gè)平面鏡多次反射的光路圖跟之前光沿A-B-C-D-E路徑的光路圖關(guān)于∠MON的平分線對稱,因此,最終的反射光線必然沿平行于平面鏡ON的方向射出(圖3中未畫出與入射光線EF對應(yīng)的后續(xù)多次反射的光路圖).

    圖3

    解析:最終的反射光線沿原路返回時(shí),光線在兩個(gè)平面鏡之間反射次數(shù)n與兩個(gè)平面鏡的夾角θ滿足等式nθ=90°,所以,θ的度數(shù)應(yīng)該是90的約數(shù),而90的約數(shù)有12個(gè),所以,對應(yīng)的角θ的度數(shù)也有12個(gè),分別是1°,2°,3°,5°,6°,9°,10°,15°,18°,30°,45°,90°.

    當(dāng)最終的反射光線不是沿原路返回但又平行于其中的一個(gè)平面鏡時(shí),對應(yīng)光路圖的前半部分如圖3所示,完整光路圖如圖4所示.圖4中,設(shè)OE=OF,并設(shè)反射角∠OEF=nθ,則∠MFE=nθ,故有180°-nθ=nθ,所以180°=(2n+1)θ,2n+1為奇數(shù),θ度數(shù)為整數(shù),而180的奇數(shù)約數(shù)(除1外)有5個(gè),分別是3,5,9,15和45,所以,對應(yīng)的θ的度數(shù)也為5個(gè),分別是60°,36°,20°,12°,2°,由于2°與光線沿原路返回時(shí)得出的角度情形重復(fù)了,所以,滿足條件的θ的總數(shù)應(yīng)為16個(gè),即本題的正確選項(xiàng)為選項(xiàng)(C).

    圖4

    對例2給出的問題而言,如果兩個(gè)平面鏡的夾角度數(shù)不受“是整數(shù)”這一條件的制約,假如夾角可以是任意度數(shù)的話,那么,入射光線沿平行于一個(gè)平面鏡的方向射入,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射,最終的反射光線沿平行于其中的一個(gè)平面鏡射出對應(yīng)的兩個(gè)平面鏡夾角的度數(shù),不再是有限的幾個(gè),而是有無數(shù)個(gè).當(dāng)然,跟例2所給的條件對比,如果兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)的限制條件改變,那么,問題的答案也會隨之變化.

    例3.兩個(gè)相交平面鏡鏡面相對,夾角為θ,在兩鏡面之間垂直于兩鏡面的平面內(nèi),一條光線沿著與某平面鏡平行的方向射向另一個(gè)平面鏡,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射后,最終的反射光線恰好沿原路返回,若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍,則滿足條件的θ的個(gè)數(shù)為

    (A)12. (B)24. (C)36. (D)48.

    分析:能夠發(fā)現(xiàn),與例2相比,例3僅僅是將其中的一個(gè)限制條件“若θ的度數(shù)為整數(shù)”更改為“若θ的度數(shù)為0.02°的整數(shù)倍”,其他條件沒有任何的變化,所以,例3的解題思路和方法與例2相同.

    解析:當(dāng)入射光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡多次反射之后,最終的反射光線沿原路返回時(shí),由以上分析可知,光線在兩個(gè)平面鏡之間總的反射次數(shù)n與兩個(gè)平面鏡夾角θ之間的關(guān)系式為nθ=90°,因?yàn)棣鹊亩葦?shù)為0.02°的整數(shù)倍,所以,可設(shè)θ=0.02°k(k為正整數(shù)),則有n0.02°k=90°,所以nk=4500,將4500分解質(zhì)因數(shù)得4500=22×32×53,由“因數(shù)個(gè)數(shù)定理”可得,4500的因數(shù)的個(gè)數(shù)等于分解質(zhì)因數(shù)表達(dá)式中各質(zhì)因數(shù)指數(shù)與1的和的乘積,大小為(2+1)(2+1)(3+1)=36,所以,本題的正確選項(xiàng)為(C).

    兩個(gè)鏡面相對的相交平面鏡,在垂直于兩個(gè)鏡面的平面內(nèi),光線沿平行于一個(gè)鏡面的方向射向另一個(gè)平面鏡,經(jīng)過兩個(gè)平面鏡的多次反射,如果最終的反射光線是沿原路返回,那么,對兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)取值的限制條件不同,滿足反射條件的兩個(gè)平面鏡夾角的個(gè)數(shù)也不盡相同.根據(jù)不同的限制條件,利用三角形內(nèi)角和定理的推論、因數(shù)個(gè)數(shù)定理等數(shù)學(xué)知識并結(jié)合光的反射定律,可以確定滿足條件的兩個(gè)平面鏡夾角度數(shù)的個(gè)數(shù).

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