Caputo型分數階q-微分方程的初值問題

劉彥芝， 楊 艷， 黨云貴，2*

(1.呂梁學院數學系， 山西 呂梁 033000；2.湖北大學數學與統(tǒng)計學學院應用數學湖北省重點實驗室， 武漢 430062)

近年來，分數階微分方程因其在物理控制理論、工程學、生物學等各個領域的廣泛應用而備受關注.大部分學者所研究的分數階微分方程側重于Caputo導數和Riemann-Liouville導數這兩個方面[1-8]，而對于分數階q-微分方程的研究相對較少.事實上，在量子物理、光譜分析和動力系統(tǒng)等方面，q-微積分都發(fā)揮著極其重要的作用.近年來，q-微積分也愈來愈多地應用于工程學和經濟學中.基于此，本文研究如下具有Caputo導數的分數階q-微分方程初值問題，

(1)

其中，「α?為不小于α的最小整數．

眾所周知，(1)等價于q-Volterra積分方程[10]

(2)

分數階微分方程的解在初始點附近具有弱奇異性，這個問題已經成為分數階微分方程數值分析中主要的關注點[3-8].在方程(1)中也具有類似的弱奇異性，文獻[11]詳細地討論了方程(1)解的正則性問題.文獻[12]利用q-beta函數給出Caputo型分數階q-微分方程解的存在性理論并提出循環(huán)方法解決此類問題.文獻[10]提出了分數階q-微分方程的一種新的解法并研究其收斂性，且在截斷誤差的分析中要求方程的解在整個閉區(qū)間上足夠光滑.本文則討論當方程的解不夠光滑時相應數值方法的誤差估計.參考關于非線性分數階常微分方程解的正則性常用的一些假定[6，11]，提出

|g'(t)|≤Ctα-1， |g″(t)|≤Ctα-2.

(3)

1 預備知識

本節(jié)主要介紹q-微積分的相關定義及引理，且文中出現的q均為同一個數．

定義1[13]對任意t，s∈，(t-s)υ的q-模擬冪為

定義2[13]q-Γ函數定義如下：

Γq(δ)=(1-q)1-δ(1-q)(δ-1)，

這里(1-q)(δ-1)指的是(1-q)1-δ的q-模擬冪．

定義3[13]函數g在[0，t]上的q-積分和q-導數分別定義如下：

定義4[13]設g為定義在[0，+∞)上的函數，g的δ階Riemann-Liouville型q-積分定義如下：

引理1[11]設α∈(0，1)∪(1，2)，0≤s≤t≤1，則有

2 主要結論

本節(jié)將通過逼近方程(2)右端的積分項，得出求解方程(2)的預估-校正格式并進行詳細的誤差估計．

2.1 基于變步長的預估-校正格式

令0=t0

(4)

步長τk=tk-tk-1，易得

τk≤rTN-rkr-1.

(5)

為方便起見，在計算中不妨假定T=1．

由(2)得到在點t=tn，n=0，1，…，N-1，有

(6)

在(6)式中，用P0(s)逼近等式右端項f(s，y(s))，可得

其中，

P0(s)=f(tk-1，y(tk-1))，s∈[tk-1，tk]，

k=1，2，…，n．

在(6)式中，用P1(s)逼近f(s，y(s))，可得

其中，

k=1，2，…，n，

Bk=tkAk(tkqm-tk-1)-

tk-1Ak-1(tk-1qm-tk-1)，

Ck=tk+1Ak+1(tk+1qm-tk+1)-tkAk(tkqm-tk+1)，

k=1，2，…，n-1．

設yj≈y(tj)，其中j=0，1，…，n.定義如下預估-校正格式：

(7)

2.2 誤差分析

1) 若0<α<1，有

2) 若1<α<2，有

I1≤CN-2．

證明由于

由假定1可得

注意到

|an，n|≤

Cnr(α-1)N-r(α-1)N-rnr-1=Cnrα-1N-rα，

(8)

結合引理1、引理2，有

從而

I1≤

若0<α<1，有

若1<α<2，注意到r(α+1)-2>-1，有

1) 若0<α<1，有

2) 若1<α<2，有

|y(tn)-yn|≤CN-2．

證明

對于I1，存在ξk∈(tk-1，tk)，k=1，2，…，n，滿足

由假定1、引理1、引理2及(5)式，得

若0<α<1，有

(9)

若1<α<2，注意到r(α+1)-2>-1，則有

(10)

對于I2，由注2得

對于I3，

因此，

(11)

下面用數學歸納法證明.首先考慮0<α<1的情形，此時，再分三種情形來討論．

Case1rα>1．

假設存在常數C0>0滿足

|y(tj)-yj|≤C0N-2，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

下證 |y(tn)-yn|≤C0N-2．

事實上，由式(8)、(9)、引理3、注1及注2可得

|y(tn)-yn|≤CN-2+

CN-2+CC0TαN-2+CN-2+TαN-1C0N-2.

(12)

Case2rα<1．

假設存在常數C0>0滿足

|y(tj)-yj|≤C0N-2rα，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

類似Case 1，可得|y(tn)-yn|≤C0N-2rα．

Case3rα=1．

同理可得|y(tn)-yn|≤C0N-2lnN．

下面再考慮1<α<2的情形.假設存在常數C0>0滿足

|y(tj)-yj|≤C0N-2，

j=0，1，2，…，n-1；n=1，2，…，N，

同上可得

|y(tn)-yn|≤C0N-2．

綜上，定理1得證．

3 數值算例

考慮初值問題

(13)

其中，α∈(0，1)∪(1，2).該方程的精確解為y=tα．

對于不同的α∈(0，1)∪(1，2)，選擇r=1(等步長情形)和r=2(變步長情形)以及不同的N=16×2l，l=1，2，3，4，5.計算格式(7)的誤差及收斂階，結果見表1和表2．

表1 誤差和收斂階(q=0.4，α=0.6)

表2 誤差和收斂階(q=0.4，α=1.5)