開展“問題串”教學(xué)培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的策略探究

姚昌萍

摘 要：邏輯推理能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)。隨著素質(zhì)教育的深入開展，如何高效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和發(fā)展其數(shù)學(xué)思維成為一個(gè)主要的教學(xué)目標(biāo)，很多老師對此也是八仙過海各顯神通。問題是思維的鑰匙，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過設(shè)置“問題串”，可以將學(xué)生的思維串聯(lián)起來，極大地優(yōu)化學(xué)生的思維培養(yǎng)，提升學(xué)生的思維本領(lǐng)。筆者在平時(shí)的教學(xué)中，通過設(shè)置“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生自主思考大膽猜想，驗(yàn)證自己的推理，對培養(yǎng)學(xué)生的自驅(qū)性和邏輯推理能力起到了積極的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：啟發(fā)式教學(xué);初中數(shù)學(xué);邏輯推理

中圖分類號：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）02-0080-04

數(shù)學(xué)是一門抽象思維與邏輯思維并行的學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，離不開學(xué)生的邏輯思維，尤其是數(shù)學(xué)解題，更需要我們引導(dǎo)學(xué)生針對數(shù)學(xué)問題，展開邏輯分析，從而高效解決問題。邏輯推理能力在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，不僅可以助力學(xué)生加深對課程的理解，還可以使他們在解題時(shí)通過邏輯推理得到新的思路，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。而具有啟發(fā)性的“問題串”可以吸引學(xué)生深度融入數(shù)學(xué)問題情境之中，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理方面有著十分積極的效果。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)巧妙設(shè)置問題形式，通過設(shè)置層層深入、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”，引發(fā)學(xué)生的思維，帶領(lǐng)學(xué)生自主思考，從而領(lǐng)略數(shù)學(xué)邏輯之美。

一、 追根溯源，挖掘“問題串”設(shè)置的價(jià)值和意義

數(shù)學(xué)課堂是思維火花不斷迸發(fā)的所在，如果在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生思維的火苗不能被引燃，學(xué)生探究的意識被扼殺，這樣的數(shù)學(xué)課堂必然是死氣沉沉，毫無活力，學(xué)生懨懨欲睡，絲毫無快樂可言。而點(diǎn)燃學(xué)生思維火苗，讓學(xué)生全身心投身課堂需要我們教師設(shè)計(jì)既能引發(fā)學(xué)生共鳴，更能開啟學(xué)生思維的問題，從而不斷打開學(xué)生思維的閘門，讓課堂充滿生機(jī)與活力。設(shè)置“問題串”，觸發(fā)學(xué)生的思維靈感既是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)，更是組織課堂的重要方式。學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的引導(dǎo)下才會(huì)步入新知探究的縱深，才會(huì)在數(shù)學(xué)課堂上與教師的思維同頻共振。當(dāng)學(xué)生真正踏入數(shù)學(xué)的內(nèi)在，感悟到數(shù)學(xué)世界的奧秘，他們才會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)科的無盡魅力。

二、 提綱挈領(lǐng)，探析“問題串”的設(shè)計(jì)原則

“問題串”教學(xué)的主要目的是帶動(dòng)學(xué)生自主思考，主動(dòng)推理，優(yōu)化學(xué)生的思維，它能將支離破碎的數(shù)學(xué)問題通過“問題串”進(jìn)行整合串聯(lián)，讓學(xué)生的思維在層層深入、逐步遞進(jìn)的過程中得以優(yōu)化。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用“問題串”教學(xué)，能夠有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率。當(dāng)然，“問題串”的設(shè)計(jì)必須要有足夠的吸引力，能夠?qū)⒄n堂的注意力吸引到問題思考中，此外，要想培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，必須突出“問題串”中的“串”字，也就是提出一系列具有思考漸進(jìn)梯度的問題，在思考問題的過程中潛移默化地提高同學(xué)們的邏輯推理能力。

（一）設(shè)置懸念，有探索性

“問題串”教學(xué)的基礎(chǔ)就是提出一系列的具有啟發(fā)性、探索性的問題，通過問題在課堂中設(shè)置懸念，營造出一種自主探究的氛圍。數(shù)學(xué)知識，零散繁雜，交錯(cuò)勾連，不僅對學(xué)生知識間的融會(huì)貫通的能力要求較高，更需要學(xué)生針對問題展開細(xì)致的分析，并進(jìn)而科學(xué)求解。這就需要學(xué)生能夠抓住問題的細(xì)枝末節(jié)，展開主動(dòng)思考推理，深化對新知的理解，從而找準(zhǔn)突破口。因此，設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、逐漸深入的“問題串”，可以讓學(xué)生的邏輯思維能力得到極大的發(fā)展。當(dāng)然，在設(shè)置“問題串”的過程中，要難易適度，如果設(shè)置的問題太過簡單，學(xué)生不經(jīng)思考就能給出答案，那就失去了啟發(fā)式教學(xué)的效果;而問題太難，脫離學(xué)生實(shí)際，學(xué)生久久思索也不能求解，則不僅使得問題失去了應(yīng)有的意義，更會(huì)導(dǎo)致學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的信心。因此，教師務(wù)必要通過適當(dāng)?shù)摹皢栴}串”，設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的積極探索。

比如，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，為了帶動(dòng)同學(xué)們主動(dòng)探究一次函數(shù)的斜率k和截距b對函數(shù)性質(zhì)的影響，提出問題：請同學(xué)們根據(jù)描點(diǎn)畫圖的方法繪出y1=2x+1、y2=2x和y3=x三條直線，并觀察三者的異同之處，之后請同學(xué)們回答斜率k和截距b對函數(shù)特性的影響。同學(xué)們畫圖之后發(fā)現(xiàn)，直線y1和y2平行，但是兩者的位置不一樣，y1在y2的上方，y2和y3同樣經(jīng)過零點(diǎn)，但是兩者不重合，y2比y3的傾斜度要高很多。之后請同學(xué)們根據(jù)這些現(xiàn)象推理斜率和截距的特征可以得出直線解析式中的斜率影響直線的傾斜度，而截距b決定直線在豎直方向上的位置，相當(dāng)于y=kx這條直線沿著縱軸向上或著向下移動(dòng)b的絕對值大小。

“問題串”的設(shè)置可以將學(xué)生的思維一步步引入縱深，使得課堂始終彌漫著智慧的火花。教學(xué)中，教師通過設(shè)置“問題串”，提出具有探索性的問題，既可以有效地帶動(dòng)課堂的自主氣氛，創(chuàng)設(shè)出有懸念的教學(xué)氛圍，使同學(xué)們在自主探究的過程里獲得新知，更能助推學(xué)生永遠(yuǎn)沉浸在思維的海洋，引發(fā)學(xué)生的深度思考。學(xué)生這種主動(dòng)學(xué)習(xí)的經(jīng)歷對于提升他們的邏輯推理能力有著十分積極的作用，同時(shí)還可以幫助同學(xué)們養(yǎng)成自主分析的習(xí)慣，讓他們在日后的學(xué)習(xí)中掌握更多的主動(dòng)性。

（二）講究梯度，有漸進(jìn)性

“問題串”方式還需要具備的主要性質(zhì)包括問題的連續(xù)性和漸進(jìn)性，要突出“串”字的作用。在使用“問題串”教學(xué)時(shí)不僅要有懸念，還需要保證提出的問題有作用，如果問題之間沒有漸進(jìn)的作用，那么就會(huì)導(dǎo)致多個(gè)問題是獨(dú)立的，無法引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)有連續(xù)性的推理，還會(huì)失去學(xué)生的注意力。

比如，在講解反比例函數(shù)性質(zhì)時(shí)結(jié)合實(shí)際問題：某條公路長度為1000公里，一輛車的速度是v，通過這條路所用的時(shí)間是t。提出問題，如何用含有v的式子表示t？根據(jù)表達(dá)式分析，當(dāng)v變大或者變小時(shí)t會(huì)怎么變化，時(shí)間t是不是關(guān)于車速v的函數(shù)？能否給出幾個(gè)生活中常見的反比例性質(zhì)的函數(shù)？這三個(gè)問題就是具有梯度的連續(xù)性問題，首先同學(xué)們根據(jù)路程=速度×?xí)r間的關(guān)系就可以得出t=1000v，之后列出幾個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)v變大后t減小，反之亦反，根據(jù)函數(shù)的定義，這明顯的是一個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系。最后同學(xué)們通過總結(jié)出的這一數(shù)據(jù)變換關(guān)系就可以得出反比例函數(shù)的主要特性，引申思考可以提出當(dāng)總預(yù)算一定時(shí)，購物數(shù)量和單價(jià)同樣是反比例關(guān)系。

學(xué)生的認(rèn)知過程是螺旋式遞進(jìn)的過程，在此過程中，教師需要做好設(shè)計(jì)引導(dǎo)，給學(xué)生呈現(xiàn)起點(diǎn)較小的問題，并逐步遞進(jìn)，將學(xué)生逐步引向縱深。通過設(shè)置具有梯度的一串連續(xù)問題不僅可以設(shè)置充分的懸念，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)的探究問題的原理，還能夠充分發(fā)揮教師在教學(xué)中的引領(lǐng)作用，確保同學(xué)們的推理思路在正確的道路上，帶動(dòng)起邏輯推理能力的發(fā)展，真正起到發(fā)展學(xué)生邏輯思維的效果。

三、 條分縷析，探析“問題串”的常見結(jié)構(gòu)

為了讓“問題串”教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力方面發(fā)揮出應(yīng)有的作用，就要保證提出的“問題串”具有條理清晰的邏輯關(guān)系，也就是說，問題之間要具備可推理性，這樣才能使學(xué)生發(fā)揮自己的推理能力，讓“問題串”發(fā)揮其應(yīng)有的作用。常見的問題結(jié)構(gòu)包括對比結(jié)構(gòu)和遞進(jìn)結(jié)構(gòu)，這兩種結(jié)構(gòu)的問題可以理清知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠條理清晰的完成推導(dǎo)，讓學(xué)生在對問題的梳理與解決中發(fā)展自身的邏輯思維。

（一）對比結(jié)構(gòu)，展示形成過程

邏輯推理是根據(jù)已知信息和一些數(shù)學(xué)推導(dǎo)去推理出新的結(jié)論，這一能力都會(huì)體現(xiàn)在定理、公式或者結(jié)論的推導(dǎo)過程中。因此，在學(xué)習(xí)新知時(shí)，最好是引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的推導(dǎo)，直觀地體驗(yàn)結(jié)論的形成過程?；趯Ρ冉Y(jié)構(gòu)提出的“問題串”就能夠通過對比突出展示的重點(diǎn)，使推理過程更清晰，鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力。

比如，在講解八年級下冊的10.5小節(jié)，探索三角形相似的條件時(shí)，設(shè)置對比結(jié)構(gòu)的問題引出相似三角形的條件。提出問題一：如果△ABC≌△DEF，那么△ABC和△DEF是否相似？這個(gè)問題對比了全等和相似的條件性質(zhì)，若△ABC≌△DEF，那么三個(gè)角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)的比例都是1，所以全等必然相似。問題二：如果三個(gè)角對應(yīng)相等不能確定全等，能否確定相似？我們已知全等的條件不包括三個(gè)角相等，但是如果三個(gè)角都相等的話，卻可以得出三角形相似，這是與全等的一處差異。三個(gè)角對應(yīng)相等，雖然不能得到一個(gè)確定的三角形，但能保證三條邊的比例對應(yīng)相等，因此可以斷定其相似。

對比不僅可以促使學(xué)生深度融入問題之中，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，更能讓學(xué)生在對比中發(fā)展自身的能力，升華學(xué)生的綜合素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過新舊知識的對比，能夠十分清晰地展現(xiàn)出新知識的異同，找出彼此之間存在的差異，從而抓住本質(zhì)。為此，我們教師要充分引導(dǎo)學(xué)生對比分析，通過邏輯推理快速得出結(jié)論，并且?guī)ьI(lǐng)同學(xué)們主動(dòng)地去探究思考，幫助他們在自主思考中得出結(jié)論，深化理解，提高課堂教學(xué)有效性。

（二）遞進(jìn)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)深度思考

由簡到繁的推導(dǎo)思路是大多數(shù)數(shù)學(xué)邏輯推理的原則，因此，要想通過“問題串”引導(dǎo)學(xué)生由易到難進(jìn)行深度思考，就要設(shè)置一串具有遞進(jìn)結(jié)構(gòu)的問題。也就是說，前一個(gè)問題要給后面的問題做下鋪墊，這樣才能讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度推理，鍛煉其邏輯推理能力。

比如，在講解七年級下冊的9.3節(jié)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，提出遞進(jìn)式“問題串”。問題1：已知光速為3×108m/s，太陽光照自太陽達(dá)到地面需要5×102s，請同學(xué)們列出數(shù)學(xué)式計(jì)算地日之間的路程。第一道問題比較簡單，兩者距離是（3×108）×（5×102）m。問題2：上式應(yīng)該利用哪種運(yùn)算法則計(jì)算？如何計(jì)算？這一題就涉及了本節(jié)的重點(diǎn)，（3×108）×（5×102）=（3×5）×（108×102）=1.5×1011，在計(jì)算中用到了交換律以及同底數(shù)冪乘法。問題3：如果用字母a、b、c表示上式為ac8·bc2，該如何計(jì)算？能否總結(jié)出多項(xiàng)式乘法的規(guī)律？最后這個(gè)問題切中了主題，將數(shù)學(xué)式抽象為了多項(xiàng)式，并總結(jié)出其計(jì)算規(guī)律。

初中學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)需要我們教師在平時(shí)的教學(xué)中，潛移默化，潤物無聲，在點(diǎn)滴之間培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯能力。在這個(gè)例子中三個(gè)問題由淺入深，首先用一個(gè)比較簡單的路程計(jì)算問題列出一個(gè)含有同底數(shù)冪的數(shù)學(xué)算式，之后將數(shù)學(xué)算式抽象為代數(shù)表達(dá)的多項(xiàng)式，并且按照數(shù)學(xué)式計(jì)算的規(guī)律得出代數(shù)式的計(jì)算結(jié)果，一步一步的推理得到了多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算方法。

四、 切中肯綮，探析“問題串”的提出策略

“問題串”教學(xué)固然對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有很大的意義，但是問題的提出策略也十分重要。不顧時(shí)機(jī)，盲目武斷的給出問題，不能運(yùn)用最佳的呈現(xiàn)策略，則“問題串”的效果必然大打折扣，直接弱化數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。總之，“問題串”中的問題必須切中要點(diǎn)、直指要害，才能發(fā)揮出問題啟發(fā)式教學(xué)的作用，而且要找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，恰當(dāng)呈現(xiàn)，這樣才能在學(xué)生的思維最佳處起到推波助瀾的功效，引導(dǎo)學(xué)生探究得出正確的答案。

（一）遷移發(fā)散，引導(dǎo)演繹推理

演繹推理是指從已經(jīng)具備的公式、定理等進(jìn)行遷移發(fā)散，最后得到新結(jié)果的一種推理方法。這種推理方法可以助力同學(xué)們發(fā)散思維，對提升同學(xué)們對已學(xué)內(nèi)容的運(yùn)用能力有著十分積極的作用。因此，在設(shè)定“問題串”時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮問題切入的角度，推動(dòng)同學(xué)們演繹推理。

比如，在講解平方公式時(shí)，可以利用生活情景展開“問題串”進(jìn)行講解。問題1：一個(gè)邊長a的正方形邊長增加b，它的面積如何表示？一個(gè)邊長為a+b的正方形的面積為（a+b）2。問題2：該圖形的面積能不能用分割圖形的方式表達(dá)？此時(shí)在黑板上繪制圖形引導(dǎo)學(xué)生思考，原圖形邊長為a，增加b后相當(dāng)于在圖形右側(cè)和上側(cè)各補(bǔ)上一塊長寬分別為a和b的矩形，在右上角加上了一塊邊長b的正方形，因此圖形的面積可以表示成a2+2ab+b2。問題3：根據(jù)以上推導(dǎo)能否得出完全平方公式？根據(jù)不同方式表達(dá)的面積相等的原理，可以知道（a+b）2=a2+2ab+b2。

學(xué)生思維能力的發(fā)展不是一朝一夕之功，不僅需要投注相應(yīng)的時(shí)間，更需要我們教師在細(xì)致了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上，通過多種方式，整合多種資源，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維本領(lǐng)。本課教學(xué)中，在講解新知時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，對簡單的問題遷移發(fā)散得到新的思路，根據(jù)問題串一步一步地演繹不同思路之間的聯(lián)系，就能最終演繹得出新的結(jié)論。并且在演繹的過程中，同學(xué)們還可以養(yǎng)成發(fā)散思維的習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)演繹推理能力。

（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)合情推理

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，它的任何推理都是合情合理的，因此，指?dǎo)學(xué)生的合情推理技巧是十分必要的。合情推理的原則是在有一定依據(jù)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測，因此基于合情推理的問題串必須找到學(xué)生已有的認(rèn)知點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，大膽的合情推理。

比如，在講解多邊形內(nèi)角和時(shí)，提出“問題串”：問題1：三角形和四邊形的內(nèi)角和是多少？兩者的內(nèi)角和分別是180°和360°。問題2：有什么方法可以證明四邊形的內(nèi)角和是360°？這個(gè)問題可以指導(dǎo)學(xué)生任意找出一張四邊形的紙片，然后動(dòng)手操作，沿著一條對角線將四邊形對折再隔開，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)隔開后的圖形變成了兩個(gè)三角形，得出四邊形內(nèi)角和是360°。問題3：同學(xué)們有沒有辦法求五邊形的內(nèi)角和呢？此時(shí)同學(xué)們會(huì)大膽猜想五邊形內(nèi)角和應(yīng)該是540°，因?yàn)槿绻麑φ蹆纱蔚脑挄?huì)得到3個(gè)三角形。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，設(shè)置一系列具有連續(xù)性、設(shè)定猜想依據(jù)的“問題串”，可以帶領(lǐng)學(xué)生由簡到難進(jìn)行合情猜想，在指揮學(xué)生動(dòng)手操作得到一定的依據(jù)之后，再引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，就能靈活地運(yùn)用合情推理，助力學(xué)生邏輯推理能力的提升。這樣的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生由動(dòng)手實(shí)踐到自主分析，進(jìn)而內(nèi)化新知，達(dá)到培養(yǎng)邏輯思維本領(lǐng)的目的。

綜上所述，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開“問題”，缺乏“問題”的課堂其教學(xué)效果是無法想象的。有了問題，學(xué)生的思維才會(huì)被激活，才能引發(fā)學(xué)生的自我思考。數(shù)學(xué)課堂在問題的牽引下，也才會(huì)逐漸彰顯出原本的味道，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力。所以，我們數(shù)學(xué)教師要精心設(shè)計(jì)點(diǎn)亮數(shù)學(xué)課堂的“問題串”，通過探索性、層次性的“問題串”，不斷點(diǎn)燃學(xué)生的探究好奇，引發(fā)學(xué)生的大膽質(zhì)疑，學(xué)生才能合情推理，展開演繹推理，讓數(shù)學(xué)課堂不斷迸發(fā)智慧的火花，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力在課堂上得以提升。

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