指向思維進(jìn)階的數(shù)學(xué)問題鏈設(shè)計(jì)與實(shí)施

江慶君 唐恒鈞

摘 ?要：數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分. 如何促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要問題. 數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階表現(xiàn)出逐漸深化的過程，指向數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的教學(xué)設(shè)計(jì)則需要有稚化思維. 作為實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階的一個(gè)重要途徑，問題鏈教學(xué)需要通過稚化思維加以設(shè)計(jì)，并通過深化邏輯鏈加以呈現(xiàn).

關(guān)鍵詞：思維進(jìn)階;問題鏈教學(xué);深化;稚化

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一直以來都是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，在當(dāng)前發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的課程改革背景下顯得更為重要. 有研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，而且處于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系中的較高層次. 數(shù)學(xué)問題鏈倡導(dǎo)通過主干問題驅(qū)動學(xué)生深入思考、建構(gòu)知識，在解決問題的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考中的基本思維方法，因此可以作為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要抓手. 那么，如何設(shè)計(jì)并實(shí)施指向?qū)W生思維進(jìn)階的數(shù)學(xué)問題鏈呢？本文將在討論以思維進(jìn)階為目標(biāo)的教與學(xué)雙重邏輯的基礎(chǔ)上，闡述問題鏈的設(shè)計(jì)與實(shí)施方法，以期為相應(yīng)的教學(xué)提供參考.

一、數(shù)學(xué)思維進(jìn)階及其教學(xué)的基本認(rèn)識

1. 深化：數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的顯著特點(diǎn)

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階有賴于學(xué)生深入地參與數(shù)學(xué)活動. 學(xué)生需要在數(shù)學(xué)問題提出與解決的過程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維并逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展往往不是一蹴而就的，需要經(jīng)歷較長的過程. 例如，學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識總是需要經(jīng)歷從具體函數(shù)的學(xué)習(xí)到某一類函數(shù)的研究再到對研究與思考函數(shù)的一般框架與方法的認(rèn)識這樣一個(gè)發(fā)展過程. 也正因?yàn)槿绱?，學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階體現(xiàn)出從具體到抽象、從簡單到綜合等不斷深化的特點(diǎn).

首先，需要讓學(xué)生在經(jīng)歷從具體到抽象的過程中深化抽象思維. 舉例而言，如果直接讓學(xué)生研究“點(diǎn)到直線的距離”這個(gè)一般問題，學(xué)生可能會感到無從下手，但是如果先讓學(xué)生從研究點(diǎn)到坐標(biāo)軸（或平行于坐標(biāo)軸的直線）的距離這樣具體、特殊的問題入手，就能為學(xué)生研究一般位置關(guān)系的點(diǎn)到直線的距離問題提供知識與思路方法上的雙重基礎(chǔ)，而且還能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思考的一般方法. 也就是說，當(dāng)面對一般問題時(shí)，可以先考慮具體的特殊問題，并在解決特殊問題的過程中獲得解決一般問題的思路及方法.

其次，需要讓學(xué)生在經(jīng)歷從簡單到綜合的過程中深化綜合思維. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所面臨的數(shù)學(xué)問題往往呈現(xiàn)了不斷綜合的變化過程，這也符合學(xué)生思維發(fā)展的基本邏輯. 學(xué)生處理綜合性的數(shù)學(xué)問題總是以處理簡單問題為基礎(chǔ). 換言之，如果學(xué)生不具備處理簡單問題的思維能力，也無法處理由這些簡單問題構(gòu)成的綜合問題. 因此，數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的學(xué)習(xí)需要為學(xué)生提供從簡單問題逐漸轉(zhuǎn)向綜合問題的學(xué)習(xí)活動.

2. 稚化：數(shù)學(xué)思維進(jìn)階教學(xué)設(shè)計(jì)需遵循的邏輯

既然學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階需要經(jīng)歷逐漸深化的過程，那么教學(xué)設(shè)計(jì)要如何為學(xué)生的思維進(jìn)階提供這樣的學(xué)習(xí)路徑呢？具體而言，教師應(yīng)該如何找到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階的關(guān)鍵點(diǎn)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動呢？

雖然當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)課堂生成，課堂預(yù)設(shè)與生成之間的關(guān)系如何處理也曾一度成為討論的熱點(diǎn)，但是就總體而言，學(xué)校中的數(shù)學(xué)教學(xué)還是以預(yù)設(shè)為主. 這也就是說，每一節(jié)課都應(yīng)該有需要達(dá)成的核心目標(biāo)，課堂教學(xué)是在這一核心目標(biāo)的指引下得以展開的.

那么，立足學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)階這一目標(biāo)而言，教學(xué)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要任務(wù)就是確定思維進(jìn)階目標(biāo)與學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“原點(diǎn)”，并尋找兩者之間的連接路徑及關(guān)鍵點(diǎn). 逆向的稚化思維是這種教學(xué)設(shè)計(jì)所要遵循的邏輯，即從目標(biāo)出發(fā)確立教學(xué)的終點(diǎn)，進(jìn)而通過問題的不斷還原，使綜合性問題分解為簡單問題、抽象問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為具體問題，并在還原的過程中不斷與學(xué)生在這一問題上的思維“原點(diǎn)”進(jìn)行比對與評估，進(jìn)而確立適切學(xué)生思維“原點(diǎn)”的教學(xué)起點(diǎn).

以“點(diǎn)到直線的距離”這一問題為例，其核心目標(biāo)是：在知識層面獲得點(diǎn)到直線的距離公式，在方法層面學(xué)會利用解析法研究幾何問題，即將幾何性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)化、坐標(biāo)化處理. 在問題的稚化還原過程中，首先，將文字問題轉(zhuǎn)化為符號化表述，即研究點(diǎn)[Px0，y0]到直線[y=kx+b]（或[x=a]）的距離;其次，將一般化的點(diǎn)或直線還原為具體的點(diǎn)或直線;最后，還原到坐標(biāo)平面上的特殊點(diǎn)或平行于坐標(biāo)軸的特殊直線. 問題稚化還原到何種程度，要以學(xué)情為依據(jù). 例如，如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，就可以還原到具體點(diǎn)或具體直線;如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱，就需要還原到特殊點(diǎn)或特殊直線.

二、從稚化到深化：數(shù)學(xué)問題鏈設(shè)計(jì)與實(shí)施的方法

基于上述分析，在設(shè)計(jì)指向思維進(jìn)階的數(shù)學(xué)問題鏈時(shí)，需要采用從稚化到深化的轉(zhuǎn)變過程. 換言之，數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)需要借助稚化思維，由目標(biāo)問題出發(fā)逆向探尋支撐起目標(biāo)問題的思維階梯;再利用深化邏輯，順向組織思維階梯并問題化，形成能為學(xué)生思維進(jìn)階提供脈絡(luò)化探索路徑的數(shù)學(xué)問題鏈.

下面將以高考中常出現(xiàn)的絕對值函數(shù)為例，更具體地闡述上述觀點(diǎn).

1. 用稚化思維逆向?qū)ふ宜季S階梯

絕對值函數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，但是對于學(xué)生而言有一定的難度. 出現(xiàn)困難的原因：一是學(xué)生對絕對值概念的理解不到位，無法靈活應(yīng)用概念進(jìn)行解題;二是學(xué)生缺乏直觀想象素養(yǎng)，無法將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為有價(jià)值的函數(shù)圖象信息解決問題;三是學(xué)生對較復(fù)雜的絕對值函數(shù)缺乏分解能力，導(dǎo)致面對問題時(shí)無從下手.

例如，2016年高考數(shù)學(xué)天津卷文科第20題的第（3）小題就是一道含參數(shù)的絕對值函數(shù)最值問題，屬于較難題. 學(xué)生面對該題時(shí)常會采用分類討論的方法去絕對值符號，但是分類的復(fù)雜性和分類后的求最值讓學(xué)生最終陷入了困境.

目標(biāo)問題：設(shè)函數(shù)[fx=x-13-ax-b]，[x∈R]，其中[a，b∈R]. 設(shè)[a>0]，函數(shù)[gx=fx]，求證：[gx]在區(qū)間[-1，1]上的最大值不小于[14].

教學(xué)中，可以將這樣重要的但學(xué)生又存在困難的問題作為問題鏈教學(xué)的目標(biāo)問題. 具體設(shè)計(jì)中還可以進(jìn)一步搜尋相似的問題. 例如，2016年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)考題第18題（選擇題的壓軸題）就是與目標(biāo)問題相近的含參數(shù)的絕對值函數(shù)最值問題. 據(jù)此設(shè)置問題：已知函數(shù)[fx=][2x-ax-b]，對于任意的正實(shí)數(shù)[a]和實(shí)數(shù)[b]，總存在[x0∈1，2]，使得[fx0≥m]，求[m]的取值范圍.

與目標(biāo)問題相比，盡管具體函數(shù)不同，但絕對值內(nèi)均可以分解為“一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)”和“一個(gè)含參數(shù)的一次函數(shù)”的差值. 于是，絕對值函數(shù)的幾何意義都可以轉(zhuǎn)化為：對于閉區(qū)間內(nèi)的任意[x]，兩個(gè)函數(shù)值間的距離. 進(jìn)而，問題就轉(zhuǎn)變?yōu)椋哼@個(gè)距離在函數(shù)定義域上的最大值隨參數(shù)的變化而變化，求其最小值. 上述解題思路即所謂“鉛錘距離”的方法.

如果直接將該方法教給學(xué)生，雖然學(xué)生以后能應(yīng)用這種方法解題，但是學(xué)生對如何想到該方法缺乏體驗(yàn)，也限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展. 如果讓學(xué)生直接探索上述兩個(gè)問題，對學(xué)生的思維又提出了很大的挑戰(zhàn). 因此，需要以上述問題為目標(biāo)問題，逆向?qū)ふ宜季S階梯. 具體地，可以從簡化函數(shù)和減少參數(shù)個(gè)數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)行稚化，即將目標(biāo)問題中的第一個(gè)函數(shù)由三次函數(shù)和分式函數(shù)簡化為二次函數(shù)和一次函數(shù).

2. 用深化邏輯鏈架構(gòu)數(shù)學(xué)問題鏈

按上述思路將起點(diǎn)問題確立為正比例函數(shù)與常數(shù)（參數(shù)）的差值，降低對學(xué)生起點(diǎn)思維的要求，以便為所有學(xué)生參與思考問題提供機(jī)會.

問題1：函數(shù)[fx=x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當(dāng)[b]變化時(shí)，求[gb]的最小值.

針對問題1，學(xué)生在課堂上提出了三種典型的思路.

生1：利用分類討論來做，分[b>0]，[b<0]，[b=0]三種情況，然后根據(jù)分段函數(shù)求最小值.

生2：利用絕對值的性質(zhì)來做，[gb=f1，f-1max=][b-1， b+1max≥1].

生3：利用距離的定義來做，在數(shù)軸上標(biāo)出[x]和[b].

在問題1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步延伸出問題2，試圖讓學(xué)生的思路由“數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)間的距離”深化為“平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)函數(shù)值間的距離”.

問題2：函數(shù)[fx=3x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當(dāng)[b]變化時(shí)，求[gb]的最小值.

師：剛才生3將絕對值看作數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)的距離，如果我們根據(jù)他的思路繼續(xù)來解題會怎么樣呢？

生4：絕對值內(nèi)可以看作是兩個(gè)函數(shù)值的差，即[y1=3x，y2=b]，如圖1所示.

師：這個(gè)絕對值被稱為兩個(gè)函數(shù)的“鉛錘距離”.

問題2將學(xué)生的思維從一維數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離拓展到二維平面直角坐標(biāo)系上兩個(gè)函數(shù)值的差，問題的本質(zhì)和方法建構(gòu)的角度均是一致的，這為學(xué)生提供了思維進(jìn)一步拓展的脈絡(luò). 教師需要在問題2結(jié)束后組織討論該方法的核心，即通過構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)將絕對值看成這兩個(gè)函數(shù)值的差. 這樣的討論有助于學(xué)生產(chǎn)生新的疑問，即問題2中適用的方法是否適用于其他類似的問題. 從而給學(xué)生提供機(jī)會自己構(gòu)建問題進(jìn)行求解，如將構(gòu)造的一次函數(shù)變成二次函數(shù). 教師也可以沿著這種思路構(gòu)建以下問題.

問題3：函數(shù)[fx=x2-2x-b，x∈-1，1，b∈R]，記[fx]的最大值為[gb]，當(dāng)[b]變化時(shí)，求[gb]的最小值.

該問題構(gòu)造了函數(shù)[y1=x2-2x]和函數(shù)[y2=b]. 學(xué)生經(jīng)過畫圖均能解決問題3，如圖2所示. 在此基礎(chǔ)上，又延伸出問題4.

問題4：函數(shù)[fx=x2-ax-b，x∈-1，1，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

在課堂上，問題4會出現(xiàn)兩種構(gòu)造方法：一種是[y1=x2]，[y2=ax+b];另一種是[y1=x2-ax]，[y2=b]. 并且學(xué)生很快能發(fā)現(xiàn)第二種構(gòu)造方法會導(dǎo)致兩個(gè)函數(shù)都有參數(shù)，很難再利用之前的“鉛錘距離”方法求解. 利用第一種方法畫出圖3即可求解. 這一問題讓學(xué)生直觀地體會到要將參數(shù)控制在其中一個(gè)函數(shù)中的重要性.

前述問題鏈將問題集中在一個(gè)對稱區(qū)間的定義域上，并由一次函數(shù)與參數(shù)差值的絕對值最值問題類比推廣到二次函數(shù)與一次函數(shù)差值的絕對值最值問題. 在問題的提出上體現(xiàn)了類比這一重要的思維方法;在解決問題的方法上則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型的思想. 沿著這條思路，學(xué)生至少能從兩個(gè)角度做出進(jìn)一步推廣：在非對稱區(qū)間的定義域上，上述方法是否依然可行？對于其他函數(shù)組合，上述方法是否依然可行？在上述思路的驅(qū)動下，便會產(chǎn)生以下具體問題.

問題5：函數(shù)[fx=x2-ax-b，x∈0，1，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

問題6：函數(shù)[fx=x-ax-b，x∈0，4，a，b∈R]，記[fx]的最大值為[Ma，b]，求[Ma，b]的最小值.

問題7：已知函數(shù)[fx=2x-ax-b]，對于任意的正實(shí)數(shù)[a]和實(shí)數(shù)[b]，總存在[x0∈1，2]，[fx0≥m]，求[m]的取值范圍.

問題5是對定義域類型的拓展，為問題6的研究提供了基礎(chǔ). 問題7在形式上與問題5相近，但是在問題表述上需要進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)換. 上述問題的研究為目標(biāo)問題的探索提供思路，使更多學(xué)生能夠思考并解決該問題.

三、結(jié)語

陶西平指出，教育必須改變單純重視知識和技能傳授的做法，要高度重視學(xué)生的社會責(zé)任感和能力的培養(yǎng)，而思維能力就是各項(xiàng)能力的基礎(chǔ). 思維進(jìn)階的課堂就是要激發(fā)學(xué)生探究的興趣和熱情，使學(xué)生自覺成為學(xué)習(xí)的主體;不要把思維進(jìn)階變成純方法的機(jī)械訓(xùn)練，使學(xué)生處于被動地位. 問題是驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)思考、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探索興趣與熱情的重要載體. 問題鏈因其強(qiáng)調(diào)為學(xué)生提供思維脈絡(luò)而成為促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階的重要途徑. 但是在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中如何架構(gòu)與應(yīng)用問題鏈，使之能有效促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階，這就需要在問題鏈設(shè)計(jì)中從目標(biāo)問題出發(fā)，借助稚化思維，逆向探尋導(dǎo)向目標(biāo)問題的問題序列，在問題鏈的實(shí)施過程中則需要借助深化邏輯鏈，為學(xué)生提供逐步深入的問題脈絡(luò).

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