淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)四個(gè)要點(diǎn)

薛少滿

摘 要：數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來(lái)，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。對(duì)于不同的數(shù)學(xué)概念，我們教師如何采取不同教學(xué)方法，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中讓學(xué)生更好地正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，這是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;概念教學(xué);橢圓概念

數(shù)學(xué)來(lái)之于生活而又高于生活，所以數(shù)學(xué)概念具有抽象性與具體性。中學(xué)數(shù)學(xué)概念無(wú)論如何抽象，實(shí)際都有它的具體內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)原型。在教學(xué)中，要注意學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與動(dòng)手操作能力的培養(yǎng)。下面以《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)課為例，淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)四個(gè)要點(diǎn)。

一、概念的引入

概念的引入，通常有兩類：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程引入，一類是從解決實(shí)際問題出發(fā)的引入?！皺E圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)課，著重從實(shí)際問題引入，通過創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，讓他們?cè)谟H自體驗(yàn)實(shí)踐中形成數(shù)學(xué)概念。教師根據(jù)學(xué)生情況可以創(chuàng)造不同實(shí)踐，供參考實(shí)踐活動(dòng)一：通過傳統(tǒng)作圖方法展示橢圓作圖過程，也就是在黑板上固定兩個(gè)小鐵釘設(shè)為點(diǎn)F1和F2，一根無(wú)彈性細(xì)繩繞在一支粉筆（M點(diǎn)）上。拿著粉拉直細(xì)繩，在黑板上畫出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，即可得到橢圓，并且通過變動(dòng)兩個(gè)小鐵釘?shù)奈恢?，或者改變?xì)繩長(zhǎng)度，可以得到不同離心率的橢圓。優(yōu)點(diǎn)：這種“傳統(tǒng)”的引入方法，具有極強(qiáng)的生命力，說(shuō)明其存在的合理性。缺點(diǎn)：體現(xiàn)不出與已學(xué)的圓之間的關(guān)系。

實(shí)踐活動(dòng)二：在現(xiàn)代教學(xué)中，多媒體已經(jīng)深入課堂，教師可通過信息技術(shù)展示橢圓的生成過程，下邊以“幾何畫板”為例展示，如圖1：

構(gòu)造步驟：

（1）作一半徑為2a的圓，在圓上取一點(diǎn)B，P，連結(jié)OB、OP;

（2）在線段上取一點(diǎn)A（點(diǎn)A為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)），連結(jié)AP;

（3）作AP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)M;

（4）把點(diǎn)M定義為動(dòng)點(diǎn)P的“跟蹤點(diǎn)”，即可得點(diǎn)M的軌跡為橢圓。

繪圖原理：圖中|MO|+|MA|=|MO|+|MP|=2a，滿足橢圓定義，同時(shí)可改變點(diǎn)A在線段OB的位置，得到不同離心率的橢圓。

優(yōu)點(diǎn)：可以通過動(dòng)畫直觀生動(dòng)地突出突橢圓軌跡的生成過程，同時(shí)移動(dòng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合就是圓，與B重合時(shí)就是線段OB;缺點(diǎn)：學(xué)生只能坐著看教師的整個(gè)操作過程，被動(dòng)接受橢圓的概念。

實(shí)踐活動(dòng)三：每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張圓形紙片，做一個(gè)折紙游戲，要求如下：

（1）在圓形紙片內(nèi)取異于圓心F1的定點(diǎn) F2;

（2）將圓形紙片的邊緣向內(nèi)折疊，使圓形紙片的通過定點(diǎn)F2，或者說(shuō)使原紙片邊 緣上的一點(diǎn)A與點(diǎn)F2：重合（圖2）;

（3）每取一次點(diǎn)A就得到一條折痕;

（4）通過不斷地操作，使折痕足夠密集（圖3、圖4）。

優(yōu)點(diǎn)：有一定的新意，能有效激發(fā)學(xué)生的探究熱情;缺點(diǎn)：折痕只能得到一個(gè)近似的橢圓，教師還要對(duì)這個(gè)游戲進(jìn)行有效抽象。

不管進(jìn)行怎樣的實(shí)踐活動(dòng)，教師首先對(duì)自己所教學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行學(xué)情分析，選擇適合他們思維起點(diǎn)的實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)行有效教學(xué)。

二、概念的形成

通過創(chuàng)設(shè)一種活動(dòng)情境，實(shí)踐活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生親自實(shí)驗(yàn)或通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（如“幾何畫板”）對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，然后再通過理性分析與理解概念的形成?；貧w《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一節(jié)，通過實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生已對(duì)橢圓有了一定的感知認(rèn)識(shí)，教師可再設(shè)置一定的思考問題，讓學(xué)生在思考中慢慢形成概念，橢圓的定義可以與以前已學(xué)圓的概念類比，設(shè)計(jì)問題。圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓。

問題一：通過一個(gè)定點(diǎn)可作得一個(gè)圓，作得一個(gè)橢圓，通過幾個(gè)定點(diǎn)？

問題二：圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，那橢圓上的點(diǎn)也有類似的特點(diǎn)嗎？

問題三：當(dāng)橢圓的兩個(gè)定點(diǎn)慢慢靠近的時(shí)候，橢圓的形狀有什么變化？

問題四：當(dāng)兩定點(diǎn)重合一起時(shí)得到一個(gè)什么圖形？

問題五：剛才作出橢圓圖形的時(shí)候，我們觀察到繩子的長(zhǎng)度比兩定點(diǎn)的距離大，如果繩子長(zhǎng)度等于兩定點(diǎn)距離長(zhǎng)時(shí)能作出一個(gè)橢圓嗎？如果不能，只能作出什么圖形？

問題六：如果繩子小于兩定點(diǎn)距離長(zhǎng)時(shí)能作出什么圖形？

衡量一名學(xué)生是否掌握一個(gè)概念的本質(zhì)不在于能否用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言將數(shù)學(xué)概念表達(dá)出來(lái)，而是要真正理解概念的內(nèi)涵和外延。因此，在概念的教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生反思概念形成的過程，深刻理解概念的本質(zhì)特征。上述通過層層設(shè)問，學(xué)生通過思考，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，到底滿足怎么樣條件的情況才能得到一個(gè)橢圓，從而形成橢圓概念。

三、概念的概括

通過實(shí)例或?qū)嵺`活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)行討論，從而形成概念。因此，數(shù)學(xué)概念的形成實(shí)質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象的共同本質(zhì)特征的過程。再看《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一節(jié)，橢圓的概念是發(fā)生式定義，教師還要對(duì)橢圓概念概括，明確概念，完善概念。

（一）給出課本橢圓概念的描述：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距”。

（二）總結(jié)問題探究：

（1）若常數(shù)大于|F1F2|， 則點(diǎn)M的軌跡是（橢圓）;

（2）若常數(shù)等于|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是（ 線段）;

（3）若常數(shù)小于|F1F2|，則點(diǎn)M的軌跡是（不存在）。

（三）進(jìn)行橢圓的軌跡方程的推導(dǎo)（數(shù)學(xué)運(yùn)算也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種）：

（1）建系;（2）設(shè)點(diǎn)：M（x，y）;（3）列式;（4）代坐標(biāo);（5）化簡(jiǎn)，整理。

在概念的概括過程中，除了理解橢圓概念，還要掌握橢圓方程，而橢圓的軌跡方程的推導(dǎo)有些費(fèi)時(shí)間，但提高運(yùn)算能力，這也是學(xué)好圓錐曲線的重要部分。有個(gè)別教師可能為了省時(shí)，跳過推導(dǎo)，直接給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)推導(dǎo)運(yùn)算量大，教師可以根據(jù)學(xué)生的情況，進(jìn)行引導(dǎo)式推導(dǎo)，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力，使學(xué)生掌握求軌跡方程類問題的推理能力。

四、概念的應(yīng)用

學(xué)生對(duì)概念理解與否，最后還要做相關(guān)習(xí)題來(lái)方法檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)才能了解學(xué)生掌握知識(shí)的情況，通過運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，才能使學(xué)生更深刻理解所學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。而教師選取合適、典型的習(xí)題也是一節(jié)課的關(guān)鍵。

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一節(jié)，根據(jù)教學(xué)要求：（1）理解橢圓概念和會(huì)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）能利用橢圓概念解決一些簡(jiǎn)單的問題。選取課本例題：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（-2，0），（2，0），并經(jīng)過，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過分析，可引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法解答。法一：可由橢圓定義先求出2a，又已知c，故可求出方程;法二：由焦點(diǎn)坐標(biāo)知道a、b關(guān)系，再將已知點(diǎn)代入橢圓方程。設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)橢圓概念理解掌握情況，以及兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式的判別。堂上學(xué)生練習(xí)：

設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)是否會(huì)求兩種橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

恩格斯說(shuō)過：“在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系?！睌?shù)學(xué)就是由概念與命題組成的邏輯體系，而數(shù)學(xué)概念就是整個(gè)邏輯體系里面的細(xì)胞，只有教師重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，才能使這些細(xì)胞賦予生命。

參考文獻(xiàn)：

[1]李一鳴.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018-12.

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