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    一道不等式證明的探究

    2022-04-16 17:28:04福建省莆田第六中學(xué)李德琳
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
    關(guān)鍵詞:實數(shù)變式結(jié)論

    ?福建省莆田第六中學(xué) 李德琳

    我們熟知的重要不等式結(jié)論“ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”“l(fā)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”,經(jīng)常巧妙設(shè)置于題中,是破解一些與不等式有關(guān)的問題比較常用的重要結(jié)論.創(chuàng)設(shè)數(shù)列不等式的證明問題,是高考數(shù)學(xué)中比較常見的一類綜合交匯題,合理融合函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式及其證明等眾多知識,實現(xiàn)命題的綜合性、交匯性與創(chuàng)新性,倍受各方關(guān)注.

    1 問題呈現(xiàn)

    問題[陜西省咸陽市2022年高考模擬檢測(二)數(shù)學(xué)(理科)試題·21]已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

    (1)若f(x)≤0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

    此題以含參函數(shù)所對應(yīng)的不等式恒成立來巧妙創(chuàng)設(shè)情境,進而確定對應(yīng)參數(shù)的取值范圍,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建重要不等式結(jié)論“l(fā)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”,進而通過合理代換,結(jié)合放縮處理與變形,巧妙證明對應(yīng)的數(shù)列不等式.

    2 問題破解

    方法1:分類討論法+裂項法1.

    當(dāng)k≤0時,f′(x)>0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    因為f(1)=-k+1>0,所以f(x)≤0不恒成立.

    所以實數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).

    (2)證明:由(1)知,當(dāng)k=1時,有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    所以x∈(1,+∞),lnx

    當(dāng)n≥3時,

    解后反思:解決與含參函數(shù)有關(guān)的不等式問題,可以借助參數(shù)的不同取值情況加以分類討論;而證明不等式時,利用(1)中重要不等式結(jié)論加以轉(zhuǎn)化,通過合理放縮,借助裂項求和來轉(zhuǎn)化,實現(xiàn)對應(yīng)不等式的證明與應(yīng)用.

    方法2:分離參數(shù)法+裂項法2.

    若x∈(0,1),則g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;若x∈(1,+∞),則g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

    于是gmax(x)=g(1)=1.

    結(jié)合f(x)≤0恒成立,可得k≥1.

    所以實數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).

    (2)證明:由(1)知,當(dāng)k=1時,有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    所以x∈(1,+∞),lnx

    解后反思:解決與含參函數(shù)有關(guān)的不等式問題,通過分離參數(shù),借助構(gòu)建函數(shù),通過確定函數(shù)的最值得以解決參數(shù)的取值范圍問題,也是解決此類問題比較常見的一種技巧方法;不等式證明中的不同放縮尺度以及對應(yīng)的裂項求和處理,都是解決問題的重點,關(guān)鍵是合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化.

    3 變式拓展

    保持創(chuàng)新問題背景,借助不同數(shù)列不等式的給出,通過不同類型的參數(shù)代換處理,實現(xiàn)不同數(shù)列不等式的證明問題,拓展思維,倡導(dǎo)應(yīng)用.

    變式1已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

    (1)若f(x)≤0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

    解析:(1)同原問題中的解析(1),可得k≥1,所以實數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).

    (2)證明:由(1)知,當(dāng)k=1時,有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    所以x∈(1,+∞),lnx

    令x=n2(n∈N*,n>1),代入lnx

    變式2已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

    (1)若f(x)≤0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

    解析:(1)同原問題中的解析(1),可得k≥1,所以實數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).

    (2)證明:由(1)知,當(dāng)k=1時,有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    所以x∈(1,+∞),lnx

    不妨令

    變式3已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

    (1)若f(x)≤0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

    解析:(1)同原問題中的解析(1),可得k≥1,所以實數(shù)k的取值范圍是[1,+∞).

    (2)證明:由(1)知,當(dāng)k=1時,有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0,+∞)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

    所以x∈(1,+∞),lnx

    另一方面,令x=n2(n∈N*,n>1),代入不等式lnx

    解后反思:根據(jù)重要不等式結(jié)論“l(fā)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”的分析與求解,再結(jié)合所要證明的數(shù)列不等式的形式,抓住數(shù)列中相關(guān)項的結(jié)構(gòu)特征,合理引入?yún)?shù)進行代換處理,結(jié)合不等式的性質(zhì)以及所要證明的不等式結(jié)構(gòu)的特征,巧妙放縮與轉(zhuǎn)化,從而實現(xiàn)數(shù)列不等式的證明與應(yīng)用.

    4 教學(xué)啟示

    (1)記憶二級結(jié)論,掌握基本方法.

    重要不等式結(jié)論“ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”或“l(fā)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”,是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中比較常見的二級結(jié)論,特別在一些小題(選擇題或填空題)中,結(jié)合指數(shù)式或?qū)?shù)式的特征結(jié)構(gòu),利用相應(yīng)的二級結(jié)論合理放縮,巧妙化歸轉(zhuǎn)化,使問題的求解更加直接、便捷,是破解一些與不等式有關(guān)的問題比較常用的重要結(jié)論與技巧策略.

    (2)巧妙參數(shù)代換,合理放縮處理.

    涉及此類數(shù)列不等式的證明與應(yīng)用,其實質(zhì)就是巧妙利用重要不等式結(jié)論“ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”或“l(fā)nx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”,借助結(jié)論實質(zhì)結(jié)合數(shù)列不等式中相關(guān)的項加以合理參數(shù)代換,對比所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征與結(jié)論,合理放縮處理,巧妙變形轉(zhuǎn)化,從而實現(xiàn)不等式的證明.

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