一道不等式證明的探究

?福建省莆田第六中學(xué) 李德琳

我們熟知的重要不等式結(jié)論“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”，經(jīng)常巧妙設(shè)置于題中，是破解一些與不等式有關(guān)的問題比較常用的重要結(jié)論.創(chuàng)設(shè)數(shù)列不等式的證明問題，是高考數(shù)學(xué)中比較常見的一類綜合交匯題，合理融合函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式及其證明等眾多知識，實現(xiàn)命題的綜合性、交匯性與創(chuàng)新性，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題[陜西省咸陽市2022年高考模擬檢測(二)數(shù)學(xué)(理科)試題·21]已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

此題以含參函數(shù)所對應(yīng)的不等式恒成立來巧妙創(chuàng)設(shè)情境，進而確定對應(yīng)參數(shù)的取值范圍，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建重要不等式結(jié)論“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”，進而通過合理代換，結(jié)合放縮處理與變形，巧妙證明對應(yīng)的數(shù)列不等式.

2 問題破解

方法1：分類討論法+裂項法1.

當(dāng)k≤0時，f′(x)>0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

因為f(1)=-k+1>0，所以f(x)≤0不恒成立.

所以實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

當(dāng)n≥3時，

解后反思：解決與含參函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可以借助參數(shù)的不同取值情況加以分類討論；而證明不等式時，利用(1)中重要不等式結(jié)論加以轉(zhuǎn)化，通過合理放縮，借助裂項求和來轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)對應(yīng)不等式的證明與應(yīng)用.

方法2：分離參數(shù)法+裂項法2.

若x∈(0，1)，則g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；若x∈(1，+∞)，則g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

于是gmax(x)=g(1)=1.

結(jié)合f(x)≤0恒成立，可得k≥1.

所以實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

解后反思：解決與含參函數(shù)有關(guān)的不等式問題，通過分離參數(shù)，借助構(gòu)建函數(shù)，通過確定函數(shù)的最值得以解決參數(shù)的取值范圍問題，也是解決此類問題比較常見的一種技巧方法；不等式證明中的不同放縮尺度以及對應(yīng)的裂項求和處理，都是解決問題的重點，關(guān)鍵是合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化.

3 變式拓展

保持創(chuàng)新問題背景，借助不同數(shù)列不等式的給出，通過不同類型的參數(shù)代換處理，實現(xiàn)不同數(shù)列不等式的證明問題，拓展思維，倡導(dǎo)應(yīng)用.

變式1已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

令x=n2(n∈N*，n>1)，代入lnx

變式2已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

不妨令

變式3已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

解析：(1)同原問題中的解析(1)，可得k≥1，所以實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞).

(2)證明：由(1)知，當(dāng)k=1時，有不等式lnx≤x-1對任意x∈(0，+∞)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈(1，+∞)，lnx

③

另一方面，令x=n2(n∈N*，n>1)，代入不等式lnx

④

解后反思：根據(jù)重要不等式結(jié)論“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”的分析與求解，再結(jié)合所要證明的數(shù)列不等式的形式，抓住數(shù)列中相關(guān)項的結(jié)構(gòu)特征，合理引入?yún)?shù)進行代換處理，結(jié)合不等式的性質(zhì)以及所要證明的不等式結(jié)構(gòu)的特征，巧妙放縮與轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)數(shù)列不等式的證明與應(yīng)用.

4 教學(xué)啟示

(1)記憶二級結(jié)論，掌握基本方法.

重要不等式結(jié)論“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”或“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”，是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用中比較常見的二級結(jié)論，特別在一些小題(選擇題或填空題)中，結(jié)合指數(shù)式或?qū)?shù)式的特征結(jié)構(gòu)，利用相應(yīng)的二級結(jié)論合理放縮，巧妙化歸轉(zhuǎn)化，使問題的求解更加直接、便捷，是破解一些與不等式有關(guān)的問題比較常用的重要結(jié)論與技巧策略.

(2)巧妙參數(shù)代換，合理放縮處理.

涉及此類數(shù)列不等式的證明與應(yīng)用，其實質(zhì)就是巧妙利用重要不等式結(jié)論“ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立”或“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立”，借助結(jié)論實質(zhì)結(jié)合數(shù)列不等式中相關(guān)的項加以合理參數(shù)代換，對比所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征與結(jié)論，合理放縮處理，巧妙變形轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)不等式的證明.