變換法在全等三角形解題中的運(yùn)用

西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 李佳潔 湯 強(qiáng)

1 引言

全等三角形的證明作為幾何研究領(lǐng)域重要的一個(gè)分支[1]，對(duì)學(xué)生邏輯思維和抽象轉(zhuǎn)換能力有較高的要求.隨著新課程改革，中考中出現(xiàn)的有關(guān)全等三角形證明的考題難度也在逐步提高，對(duì)題干信息的提取不僅僅局限于直接觀察可得出，很多時(shí)候需要對(duì)圖形進(jìn)行變換，方可得到所需要的證明條件.因此，如何變換圖形，轉(zhuǎn)變已知條件為新的條件，成為學(xué)生在證明兩個(gè)三角形全等的難點(diǎn).本研究將以“變換法在全等三角形解題中的運(yùn)用”為主題，針對(duì)初中生解全等三角形過程中可能會(huì)運(yùn)用到的變換法進(jìn)行系統(tǒng)整理歸納，并提出這些變換法對(duì)不同題型的應(yīng)對(duì)策略，更好地幫助學(xué)生證明三角形全等[2].

2 變換法之一：軸對(duì)稱變換

軸對(duì)稱變換即將一個(gè)圖形沿一條直線翻折得到它的關(guān)于軸對(duì)稱的圖形.通過軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形全等，并且二者的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸上任一點(diǎn)的距離相等[3].

例1如圖1，在等腰直角三角形ABC中,AC⊥BC,AC=BC,線段BD為∠CBA的角平分線，問：線段BC，CD與AB有什么關(guān)系？

圖1

分析：該問題中，由已知條件“線段BD平分∠CBA”引導(dǎo)學(xué)生想到軸對(duì)稱變換，以BD為軸翻折△BCD使得C點(diǎn)與BA邊上的點(diǎn)E重合，連接DE,從而由軸對(duì)稱變換可得BC=BE，DE=CD，△BED≌△BCD，∠BED=90°；已知△ABC是等腰直角三角形，由其性質(zhì)可得∠A=45°，DE=AE，等價(jià)代換有AE=CD，因此得到結(jié)論：BC+CD=AB.我們發(fā)現(xiàn)該題還可以運(yùn)用截長補(bǔ)短來證明，但顯然用截長補(bǔ)短的方法沒有軸對(duì)稱變換構(gòu)造出的條件多，因此選擇軸對(duì)稱變換法極大地提高了解題效率.

結(jié)論：AB=BC+CD.

證明：如圖2,已知線段BD平分∠CBA，將CB沿角平分線翻折后，令C落在線段AB上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，由翻折可知△BED≌△BCD.

圖2

∴CB=EB，∠CBD=∠EBD，

CD=DE，∠C=∠BED=90°.

∵△ABC是等腰直角三角形,AC⊥BC，

∴∠A=45°.

∴△ADE是等腰直角三角形,

∴AE=DE=CD.

又AB=BE+AE=BC+CD,

∴AB=BC+CD.

因此，線段BC，CD之和等于AB的長度.

3 變換法之二：中心對(duì)稱變換

平面內(nèi)使任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,A′的連線段都通過一個(gè)點(diǎn)O，且被這一點(diǎn)所平分，則該變換叫做中心對(duì)稱變換(也稱作反射或點(diǎn)對(duì)稱).關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，二者的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心且被對(duì)稱中心平分，并且對(duì)應(yīng)線段平行且相等.

例2△ABC中,AC=5,AB=7,求△ABC的中線AO的取值范圍.

分析：凡是題干中出現(xiàn)“中線”“某線段2倍”這樣的字眼，除了會(huì)想到用截長補(bǔ)短法，我們還可以運(yùn)用圖形的中心對(duì)稱變換，如圖3,將△ACO以點(diǎn)O為中心作中心對(duì)稱變換，得到△EBO，則有△EBO≌△ACO，BE=AC.由三角形的性質(zhì)定理可知，在△ABE中，AB-BE

圖3

解：將△ACO以點(diǎn)O為中心作中心對(duì)稱變換得到△EBO，則△ACO≌△EBO.

于是AC=BE,AO=OE.

又在△ABE中，AB-BE

所以AB-AC<2AO

即2<2AO<12.

因此，1

4 變換法之三：旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換作為一種重要的解題方法，通過將圖形繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)與之全等的圖形.借用旋轉(zhuǎn)變換的全等性，極大程度簡化了解題步驟.

例3如圖4，在ABCD中，A，E，D三點(diǎn)共線且AB=AE，過點(diǎn)E作直線EF，在直線EF上取一點(diǎn)G，使得∠BGE=∠BAE，連接GA，BG.FE與DC相交時(shí),∠BAE=90°,求線段EG，AG，BG之間的數(shù)量關(guān)系.

圖4

證明：如圖5，將△AGE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABQ.

圖5

∴△AEG≌△ABQ,

∴∠GAQ=90°，

AQ=AG，

EG=QB,∠AEG=∠ABQ.

∵∠BGE=∠BAE=90°,

∴∠AEG+∠ABG=180°.

∴∠ABQ+∠ABG=180°.

∴Q，B，G三點(diǎn)共線.

又∵QG=QB+BG=EG+BG,

5 變換法之四：平移變換

平移變換通過對(duì)平面圖形按一定方向進(jìn)行平移，得到新的圖形，二者之間的對(duì)應(yīng)邊存在平行關(guān)系，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線也都平行.平移變換在初中幾何解題中更多是對(duì)于平移變換思想的運(yùn)用，如下題.

例4如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，判斷AD+AE與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖6

分析：通過連接AC,將梯形的問題轉(zhuǎn)化為等邊三角形問題.利用平移變換作平行線，根據(jù)已知條件和平行的相關(guān)性質(zhì)定理，以及結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，通過證明三角形全等解決問題.

結(jié)論：BC=AD+AE.

證明：連接AC，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F.

∵AB=BC，∠B=60°,EF∥BC,

∴△ABC與△AEF均為等邊三角形.

∴∠AEF=∠AFE=∠EAF=60°，∠EFC=120°，AE=AF=EF.

圖7

又∵∠DEC=60°,

∴∠AED=∠FEC.

又∵AD∥BC,

∴∠EAD=120°.

∴∠EAD=∠EFC.

又∵AE=EF，

∠AED=∠FEC,

∴△ADE≌△FCE.

∴AD=FC.

∴BC=AD+AE.

6 結(jié)論

綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)，在全等三角形的解題過程中變換法相比截長補(bǔ)短、倍長中線等方法具有極大的優(yōu)勢，其中最明顯的就是可以直接得出變換后的圖形與原圖形全等，從而簡化解題步驟，使學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維更加清晰化.此外，在面對(duì)圖形錯(cuò)綜復(fù)雜、條件繁多的情況時(shí)，通過變換法可以使題中隱蔽的條件關(guān)系明朗起來，更容易找到解題途徑.因此，巧用變換法證明三角形全等對(duì)學(xué)生而言是十分重要的.