通過(guò)一題多解 培養(yǎng)關(guān)鍵能力*

?福建省泉州師范學(xué)院附屬中學(xué) 莊惠強(qiáng)

1 引言

教育部于2022年4月頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)指出：初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)包括運(yùn)算能力、幾何直觀與空間觀念等.運(yùn)算能力方面要求學(xué)生能選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題,通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展[1].

“關(guān)鍵能力”指的是學(xué)生在運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中所需要的主要學(xué)科能力,包括邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力五個(gè)方面[2].在培養(yǎng)五大關(guān)鍵能力的過(guò)程中,針對(duì)不同的素材,教師要有所側(cè)重.本文中結(jié)合一題多解案例,闡述如何培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解能力.

2 通過(guò)一題多解培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的案例解析

2.1 案例呈現(xiàn)

如圖1,已知AB=8,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以AP，BP為邊,在線段AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE,點(diǎn)P,C,E在同一條直線上,∠DAP=60°,M，N分別是對(duì)角線AC，BE的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M，N之間距離的最小值.

圖1

2.2 培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的解析

2.2.1 提升整體思維,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界 教師要時(shí)時(shí)刻刻、事事處處站在系統(tǒng)的高度講授知識(shí),讓知識(shí)總是以“系統(tǒng)中的知識(shí)”的面目出現(xiàn)在學(xué)生面前[3].

教師要提升學(xué)生的整體思維,概括解題的一般方法,幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).當(dāng)學(xué)生具備解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),就能高屋建瓴、整體把握主要矛盾,用數(shù)學(xué)的眼光觀察問(wèn)題.初中階段,與計(jì)算線段長(zhǎng)度或角的度數(shù)相關(guān)的的通性通法如圖2所示，包括四種情況.

圖2

通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光,可以從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式, 提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性,形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)；形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與想象力,主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng), 發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)[1].

本案例中,線段MN是一條獨(dú)立的線段,要計(jì)算它的長(zhǎng)度,通性方法沒(méi)有用武之地.從整體眼光來(lái)看,把線段MN“置于三角形中”,就能運(yùn)用以上四種方法計(jì)算,因此把眼光重點(diǎn)放在如何構(gòu)造三角形上.這種結(jié)構(gòu)化思維,能幫助學(xué)生撥去迷霧,理清思路.

2.2.2 揭示思維過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界 在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力.數(shù)學(xué)的思維體現(xiàn)為能根據(jù)已知事實(shí)或原理,合乎邏輯地推出結(jié)論,構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系；能夠運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算、形式推理等數(shù)學(xué)方法,分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題[1].

(1)加強(qiáng)通性意識(shí),揭示思維過(guò)程

因?yàn)橹苯侨切蔚慕桥c角、邊與邊、邊與角的關(guān)系非常穩(wěn)固,方便計(jì)算邊的長(zhǎng)度或角的大小,所以首選構(gòu)造直角三角形.

解法一：如圖3,分別過(guò)點(diǎn)M，N作MG⊥AB，NH⊥AB,垂足為G，H,過(guò)點(diǎn)M作MI⊥NH于點(diǎn)I.

圖3

在Rt△MIN中,因?yàn)椤螹IN=90°,且

所以，可得

這種思維完全符合學(xué)生的認(rèn)知水平,符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,學(xué)生容易接受、易于找到思維的入口,從“獨(dú)立”到“聯(lián)系”，化“未知”為“已知”.把線段的長(zhǎng)度“置于三角形中”計(jì)算,這種思維增強(qiáng)了學(xué)生的整體意識(shí),教會(huì)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維.

(2)梳理解法聯(lián)系,尊重思維差異

教師要著眼于知識(shí)間的聯(lián)系和規(guī)律,使學(xué)生從系統(tǒng)的高度去把握知識(shí),進(jìn)行思考,做到八方聯(lián)系,渾然一體[3].

解法一是通性通法,優(yōu)點(diǎn)是容易“切題”,缺點(diǎn)是要作三條輔助線、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大.留給學(xué)生充足的時(shí)間,讓學(xué)生展開(kāi)討論交流,學(xué)生的思維差異就會(huì)顯現(xiàn)出來(lái).

如圖4,連結(jié)MP，NP.因?yàn)椤螦PC+∠BPE=180°,又易得MP是∠APC的角平分線,NP是∠BPE的角平分線,所以∠MPN=90°,即△MPN是直角三角形.與解法一相比,雖然都是構(gòu)造直角三角形,但是用這種方法構(gòu)造的直角三角形,圖形簡(jiǎn)潔,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,計(jì)算容易,其優(yōu)越性不言而喻.善于發(fā)現(xiàn)并挖掘圖形的特殊特征,是學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”的體現(xiàn),通過(guò)計(jì)算將已知條件約簡(jiǎn),把條件向前推進(jìn)一大步,經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的批判性思維.

圖4

解法二：如圖4，連結(jié)MP，NP,則PM⊥AC，PN⊥BE.

所以，在Rt△MPN中,由∠MPN=90°,可得

挖掘圖形的特征,找出題目的“個(gè)性”,推導(dǎo)出更進(jìn)一步的結(jié)論,為后續(xù)的運(yùn)算求解打下基礎(chǔ).要尊重學(xué)生的思維差異,對(duì)于有奇思妙想的學(xué)生要給予充分的肯定,對(duì)于常規(guī)思維的學(xué)生,也要給予鼓勵(lì),肯定他們思維的價(jià)值,培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)信心.

2.2.3 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界 初中階段,數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為模型意識(shí)、模型觀念和應(yīng)用意識(shí).引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造三角形的中位線模型,讓學(xué)生從通性通法轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)模型.

根據(jù)布魯姆認(rèn)知理論,回憶、理解與應(yīng)用屬于低階思維,分析、評(píng)價(jià)與創(chuàng)造屬于高階思維.本案例中點(diǎn)M，N分別是兩條線段的中點(diǎn),讓人自然聯(lián)想到構(gòu)造數(shù)學(xué)模型——三角形的中位線.但是線段MN卻不在一個(gè)三角形中,沒(méi)辦法直接利用三角形中位線的性質(zhì)解題.連結(jié)PD，PF,根據(jù)菱形的性質(zhì),對(duì)角線的中點(diǎn)也是對(duì)角線的交點(diǎn),構(gòu)造△PDF,則線段MN是△PDF的中位線,這種思維屬于高階思維的范疇.

如圖5,連結(jié)PD，PF.因?yàn)镸，N分別是對(duì)角線AC，BE的中點(diǎn),所以點(diǎn)P，M，D三點(diǎn)共線,點(diǎn)P，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線.

圖5

空間觀念有助于理解物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu),根據(jù)物體之間的位置關(guān)系,感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律.幾何直觀體現(xiàn)在能根據(jù)圖形的特征,數(shù)形結(jié)合構(gòu)建直觀模型,把握問(wèn)題的本質(zhì),明晰思維的路徑[1].

3 一題多解培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的策略

培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，鼓勵(lì)多種解法,發(fā)展思維的流暢性；鏈接不同解法,啟發(fā)思維的靈活性；鼓勵(lì)自創(chuàng)解法,促進(jìn)思維的獨(dú)特性[4].基本策略概括如下.

(1)注重提升整體觀念,讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光

解題教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)通性通法,找出具有相同性質(zhì)題目解法的“最大公因數(shù)”,即尋找解題的“共性”,讓學(xué)生解題時(shí)有“法”可依、有“章”可循.通過(guò)解題提升學(xué)生的整體觀念,幫助學(xué)生總結(jié)運(yùn)算求解過(guò)程中常用的方法,幫助學(xué)生尋找解題的一般路徑.解題過(guò)程貌似只是考查個(gè)別題目的解法,實(shí)則是考驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的總體把握.厘清概念,準(zhǔn)確運(yùn)用運(yùn)算法則,迅速找到解題方向、理清解題思路,熟練應(yīng)用解題技巧,讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光.

(2)注重把握特殊性質(zhì),讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的思維

林崇德先生認(rèn)為：思維品質(zhì)包括敏捷性、靈活性、創(chuàng)造性、批判性與深刻性[5].在強(qiáng)調(diào)通性通法的同時(shí),也應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確捕捉信息的能力,如代數(shù)式之間的聯(lián)系、幾何圖形中隱含特殊的性質(zhì),都可能為解題提供良好的切入點(diǎn),讓學(xué)生從“有聯(lián)系的程序”入手,發(fā)展到“做數(shù)學(xué)”.這是一個(gè)從“共性”的總體指導(dǎo),到尋找題目“個(gè)性”的過(guò)程,在這個(gè)過(guò)程中,主要就是引導(dǎo)學(xué)生“有邏輯地思考”,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),從而讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的思維.

(3)注重?cái)?shù)學(xué)思想指導(dǎo),讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

數(shù)學(xué)的解題,離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的指引,方程思想、函數(shù)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想等能讓學(xué)生擁有科學(xué)的指導(dǎo)思想.如，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解題最重要的方法之一,“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”,數(shù)形結(jié)合,能夠讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的熟練切換.模型思想,能讓學(xué)生建構(gòu)獨(dú)特的知識(shí)體系,讓學(xué)生更好地解題.因此，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的模型思想、應(yīng)用意識(shí),讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的語(yǔ)言.

4 結(jié)束語(yǔ)

解題教學(xué)與知識(shí)教學(xué)不同,主要按運(yùn)用已有的知識(shí)體系解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)范式進(jìn)行[6].這種范式要求學(xué)生有大局觀，能把握“共性”,又要細(xì)致入微把握事物的“個(gè)性”,在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行發(fā)散性思維,在基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的幫助下提高解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)的本質(zhì)就是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思維.通過(guò)一題多解,教師講課可以做到“少而精”,學(xué)生練習(xí)“時(shí)間足、手段廣”,在提高學(xué)生運(yùn)算求解能力的同時(shí),也會(huì)帶動(dòng)邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)建模能力與創(chuàng)新能力的提高,從而全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.