誤差傳遞公式的教學(xué)探索

蔡 丹 楊 濤 陳國華

（桂林電子科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院 廣西·桂林 541004）

0 前言

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，最終的測(cè)量目標(biāo)都是間接測(cè)量量。間接測(cè)量的結(jié)果是由直接測(cè)量結(jié)果按照一定的表達(dá)式計(jì)算出來的。因此，直接測(cè)量結(jié)果的誤差（或不確定度）就必然影響到間接測(cè)量結(jié)果，這種影響的大小也可以通過相應(yīng)的表達(dá)式計(jì)算出來，即誤差傳遞公式（注：誤差傳遞公式（error propagation formula）是2019年經(jīng)全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)審定發(fā)布的物理學(xué)名詞）。

誤差傳遞公式是誤差分析的基礎(chǔ)，同時(shí)也是教學(xué)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。理工類專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的目標(biāo)不應(yīng)局限于僅僅掌握相關(guān)的實(shí)驗(yàn)操作技能以及正確的測(cè)量數(shù)據(jù)方法，還應(yīng)該能夠正確的進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和誤差分析，給出合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，明確主要誤差的來源。從而在后續(xù)的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行誤差分配，正確選擇儀器。

1 學(xué)情分析

大部分國內(nèi)高校開設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程在第一次授課時(shí)，都會(huì)專門安排一節(jié)緒論課，對(duì)物理實(shí)驗(yàn)中的基本操作常識(shí)、儀器用法和誤差理論進(jìn)行講解。由于誤差傳遞公式是誤差分析必不可少的工具，也被放到了緒論課中。但在后續(xù)進(jìn)入具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之后，教師們一般都不會(huì)再花時(shí)間對(duì)相應(yīng)實(shí)驗(yàn)中所用的誤差計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)或解釋。因此，如何在上緒論課時(shí)就將這個(gè)貫穿始終的知識(shí)點(diǎn)講解明白，就顯得十分的重要。

然而筆者在多年教學(xué)過程中感受到，很多學(xué)生并沒有很好的理解和掌握誤差傳遞公式，即便記住了公式卻也“知其然，不知其所以然”。相應(yīng)的，在學(xué)生所上交的實(shí)驗(yàn)總結(jié)報(bào)告中，誤差分析部分通?？偸峭瓿傻米畈焕硐氲牟糠帧？梢?，如何改進(jìn)教學(xué)方法，使學(xué)生學(xué)得好，教師容易教，便是迫切需要解決的問題。

本校選修大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的通常都是大一下學(xué)期及大二上學(xué)期的理工科專業(yè)學(xué)生，筆者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在講解緒論課時(shí)大多數(shù)專業(yè)的學(xué)生正在或者剛剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于多變量微積分的章節(jié)。俗話說：“數(shù)理不分家”，于是筆者嘗試在講解誤差傳遞公式時(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)與物理實(shí)驗(yàn)更緊密的聯(lián)系起來，讓學(xué)生從多個(gè)角度去認(rèn)識(shí)和理解誤差傳遞公式，從而更好的掌握這個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

物理學(xué)中物理規(guī)律一般都可用數(shù)學(xué)形式表示，即所謂“公式”，但它又與純數(shù)學(xué)公式有所不同。數(shù)學(xué)公式不一定有物理意義，而有物理意義的定律、定理，就一定能寫出數(shù)學(xué)公式。物理規(guī)律是自然界萬事萬物遵守的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律用公式寫出來，就成為定量科學(xué)。規(guī)律寫不出，或無法寫出一個(gè)具體的數(shù)學(xué)公式，只能語言講解時(shí)，就是定性科學(xué)。現(xiàn)在的物理學(xué)中，仍然有很多定性而沒有達(dá)到定量的程度。

常用的系統(tǒng)誤差傳遞公式及適用條件實(shí)驗(yàn)中總是伴隨著誤差的存在。由于某些儀器的零點(diǎn)不準(zhǔn)、不等臂，理論公式的近似，某些實(shí)驗(yàn)條件的不滿足和各種儀表的接入誤差等原因，都可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。在計(jì)算時(shí)，一般采用系統(tǒng)誤差的傳遞公式，我們不著急按照教材推導(dǎo)誤差傳遞公式，而是首先通過一個(gè)簡單的例子來說明，直接測(cè)量的誤差（或不確定度）是為何，以及如何傳遞到間接測(cè)量的結(jié)果上。

在高等數(shù)學(xué)中，微分代表的是變量的變化量。而在物理實(shí)驗(yàn)中，某個(gè)變量在一定的范圍之內(nèi)變化又可以理解為其真實(shí)值存在著一定的不確定度，或者說誤差。因此，我們將上式中的微分號(hào)d替換為代表不確定度的，即

如此，我們就建立了一種把直接測(cè)量的不確定度與間接測(cè)量的不確定度相關(guān)聯(lián)的表達(dá)式，也即誤差傳遞公式。但是，若用上式進(jìn)行不確定度的計(jì)算，可能會(huì)因?yàn)橛叶烁黜?xiàng)之間正負(fù)抵消，導(dǎo)致對(duì)測(cè)量結(jié)果不確定度的估計(jì)過于樂觀。因此，很多教材中將誤差傳遞公式定義為：

可見，R和h的不確定度都會(huì)對(duì)V的測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響，而兩者的影響力取決于各自偏導(dǎo)數(shù)的大小。

以上推導(dǎo)過程與間接測(cè)量的計(jì)算表達(dá)式無關(guān)，可以概況為三步，即：第一步，計(jì)算全微分；第二步，微分換成不確定度；第三步，改寫為“方和根”。利用同樣的思路，也可以得到計(jì)算相對(duì)不確定度的表達(dá)式。

[例2]已知x、y和z為直接測(cè)量量，W為間接測(cè)量量，且滿足。

首先對(duì)函數(shù)f兩邊取自然對(duì)數(shù)，即：

把微分號(hào)d替換為不確定號(hào)，即：

最后改寫為“方和根”，即

3 結(jié)語

數(shù)理結(jié)合的教學(xué)設(shè)計(jì)，在一定程度上降低了學(xué)生對(duì)于誤差傳遞公式的理解難度。問卷調(diào)查顯示，超過80%的學(xué)生表示理解并容易接受上述“三步走”的推導(dǎo)過程。對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)，采用新教法授課的學(xué)生，其實(shí)驗(yàn)總結(jié)報(bào)告中誤差分析部分的正確率有了明顯的提高。當(dāng)然，學(xué)生的學(xué)情、課程設(shè)置、課程要求等都是動(dòng)態(tài)變化的，需要在教學(xué)過程中不斷地進(jìn)行探索和創(chuàng)新。