遞歸均值調(diào)整模式下資產(chǎn)價格泡沫檢驗量分布與實證研究

江海峰，胡根華

(安徽工業(yè)大學商學院，安徽 馬鞍山 243032)

理論研究表明，資產(chǎn)價格泡沫往往成為金融危機爆發(fā)的風向標、誘因和推手[1]。鑒于其危害性，各國政府都把嚴防資產(chǎn)價格泡沫作為工作重點，而檢驗資產(chǎn)價格是否存在泡沫成為理論工作者的研究議題。資產(chǎn)價格泡沫經(jīng)典計量檢驗方法主要有方差邊界檢驗、兩步法檢驗和單整、協(xié)整檢驗[2-4]。經(jīng)典計量檢驗存在明顯不足，方差邊界檢驗功效低下、不適用于單整序列；兩步法檢驗具有較大水平扭曲且缺乏穩(wěn)健性；單整、協(xié)整檢驗結論具有不確定性，且不適用于檢驗周期性特征泡沫[5]。鑒于此，Phillips等[6-7]基于不同資產(chǎn)價格和回報率關系研究泡沫成分對資產(chǎn)價格數(shù)據(jù)生成的影響，提出兩種資產(chǎn)價格泡沫檢驗方法，稱為PWY(Phillips,Wu,Yu)檢驗和PSY(Phillips,Shi,Yu)檢驗，分別使用SADF(super augumented dickey fuller)和GSADF(general super augumented dickey fuller)檢驗量。基于數(shù)據(jù)生成視角不但能檢驗和追蹤資產(chǎn)價格泡沫演化過程，也能重構泡沫測度體系進行預警，更能考察宏觀政策和經(jīng)濟環(huán)境變化對資產(chǎn)價格泡沫演化的影響，為防范和治理泡沫提供政策抓手，該方法被相關機構用于資產(chǎn)價格泡沫行為的早期預警，如達拉斯聯(lián)邦儲備銀行、香港貨幣當局、哥倫比亞中央銀行等使用PSY 檢驗分別監(jiān)測全球23 個主要房地產(chǎn)市場以及各自所在國和地區(qū)的房地產(chǎn)市場運行態(tài)勢，甚至是新冠病毒日新增確診病例特征研究[8-11]。

雖然該方法被廣泛使用，但仍有進一步改進的余地。一是考察數(shù)據(jù)生成特點對檢驗量分布的影響，如Phillips等[12]、Harvey等[13]、Pedersen等[14]分別討論漂移項類型、擾動項異方差性和自相關性如何影響檢驗量分布。二是檢驗方法的改進，如Whitehouse[15]將GLS估計方法引入到PWY檢驗模式中，提出GLS-PWY檢驗量，發(fā)現(xiàn)該檢驗量可提高檢驗功效；Harvey等[16-17]提出加權最小二乘法和秩檢驗模式PWY檢驗量，并使用Bootstrap方法構建聯(lián)合檢驗量，但該檢驗量分布中含有未知參數(shù)。為使分布不受未知參數(shù)影響，Kurozumi等[18]采用時間轉換方法改造檢驗量，研究表明，轉換后檢驗量分布與經(jīng)典PWY檢驗量分布相同，且功效優(yōu)勢明顯。

PWY 與PSY 檢驗屬于遞歸單位根檢驗，因此經(jīng)典單位根檢驗有關優(yōu)良性質(zhì)會在PWY 和PSY 檢驗得到傳承，這為改進已有檢驗量提供思路。如Whitehouse[15]的GLS-PWY 檢驗模式源于Elliott 等[19]的GLS-ADF檢驗，Kurozumi 等[18]的時間轉方法來自Cavaliere 等[20]的研究。實際上單位根檢驗中還有一種遞歸均值調(diào)整檢驗模式，Dong等[21]、江海峰等[22]研究發(fā)現(xiàn)，該檢驗模式在一定條件下較經(jīng)典ADF檢驗有功效優(yōu)勢。文獻梳理顯示，尚沒有文獻考察遞歸均值調(diào)整方法與PWY和PSY相結合的檢驗。鑒于此，從理論分布、仿真模擬和實證研究3 個角度考察遞歸均值調(diào)整模式，為便于敘述，僅以PWY 檢驗模式為代表，但相關結論可推廣到PSY檢驗模式。本研究豐富了現(xiàn)有資產(chǎn)價格泡沫檢驗理論，也為實證研究提供一種新檢驗方法。

1 數(shù)據(jù)生成過程與相關結論

1.1 數(shù)據(jù)生成過程

為考察遞歸均值調(diào)整模式PWY 檢驗量分布，給出本文研究的數(shù)據(jù)生成過程，綜合Harvey 等[13]的PWY設置，設數(shù)據(jù)生成過程為：

1.2 相關結論

2 模型估計與檢驗量分布

2.1 模型估計與檢驗量構建

建立如式(2)的帶常數(shù)項回歸模型

采用遞歸均值調(diào)整估計模式得到的回歸模型為

故當r∈(τ10,τ20]時結論成立。其他情況也可以類似證明。

2.2 遞歸均值調(diào)整檢驗量分布

特別地，當原假設H0：c1=c2= 0成立時有

該結論直接由連續(xù)映射定理得到。采用蒙特卡洛模擬方法可得到式(5)不同有限樣容量T和窗寬r0組合下對應顯著性水平的臨界值，該臨界值既可用于實證研究，也可用于水平模擬和功效研究。

3 蒙特卡洛模擬研究

使用蒙特卡洛模擬考察檢驗水平和檢驗功效，先獲取特定顯著性水平與有限樣本容量T和窗寬r0組合的臨界值。參照PWY 的參數(shù)選取，選擇樣本容量T分別為100，200 和400，窗寬r0分別為0.2，0.3 和0.4，取d=η= 1，模擬次數(shù)為10 000 次，表1 為顯著性水平分別為0.90，0.95 和0.99 臨界值模擬結果。表1 顯示：固定樣本容量和顯著性水平，臨界值隨窗寬r0的增大而下降，這與經(jīng)典PWY臨界值變化規(guī)律相同；固定窗寬和顯著性水平，臨界值隨樣本容量增大而下降，這與經(jīng)典PWY臨界值變化規(guī)律相反；相比較而言，當樣本容量、窗寬和顯著性水平都相同時，遞歸均值調(diào)整模式下臨界值均小于經(jīng)典PWY 檢驗對應的臨界值，這源于遞歸均值調(diào)整模式可提高估計精度，且精度隨樣本容量的增大而提高。

表1 3種有限樣本和窗寬組合下臨界值模擬結果Tab.1 Simulation results of critical values under three finite sample and window width combinations

為考察遞歸均值調(diào)整模式檢驗方法的合理性，從檢驗水平和檢驗功效兩個方面比較遞歸均值調(diào)整檢驗模式和經(jīng)典PWY 檢驗效果，模擬使用表1 的臨界值，取顯著性水平為0.95，模擬次數(shù)仍為10 000 次?？紤]檢驗水平時，數(shù)據(jù)生成過程式(1)的參數(shù)c1=c2=0；考慮檢驗功效時，考慮3 種數(shù)據(jù)生成過程。第一種是c1≠0,c2=0，表示僅有單位根過程和泡沫過程的2種數(shù)據(jù)生成過程。第二種是c1≠0,c2≠0，這又分兩種情況：數(shù)據(jù)生成包括單位根過程、泡沫生成過程和泡沫破滅過程共3 種數(shù)據(jù)生成過程；在前3 個過程的基礎上加上單位根過程共4 種數(shù)據(jù)生成過程，每個過程持續(xù)時間長短可通過改變τ10，τ20和τ30的設置實現(xiàn)。首先考慮第一類數(shù)據(jù)生成過程，設置τ10=0.5，τ20=τ30=1，即只有單位根過程和泡沫生成兩個數(shù)據(jù)的生成過程，兩個過程各占1/2 樣本容量，表2～4 分別為窗寬為0.2，0.3 和0.4 時3 種樣本容量下的模擬結果。其中：c1為零表示數(shù)據(jù)生成只有單位根過程，對應水平檢驗。c1取其他值對應功效檢驗模擬結果，共設置16種取值。表2～4顯示，當c1=0時，3 種樣本容量模擬檢驗水平都在5%左右，這與95%顯著性水平下的臨界值相吻合，說明遞歸均值調(diào)整檢驗模式和經(jīng)典PWY檢驗一樣，具有滿意的檢驗水平。

表2 r0=0.2，c2=0 時水平和功效檢驗模擬結果單位：%Tab.2 Simulation results of size and power for r0=0.2 and c2=0unit：%

表4 r0=0.4，c2=0 時水平和功效檢驗模擬結果單位：%Tab.4 Simulation results of size and power for r0=0.4 and c2=0unit：%

考察檢驗功效時，表2 反映出4 點結論。第一，樣本容量越小，遞歸均值調(diào)整模式檢驗功效越明顯。第二，當c1較小時，遞歸均值調(diào)整模式檢驗功效占優(yōu)程度隨樣本增大而呈現(xiàn)擴大趨勢。第三，當遞歸均值調(diào)整模式檢驗功效占優(yōu)時，其最大占優(yōu)程度高于經(jīng)典PWY 檢驗的最大占優(yōu)程度，如樣本為100時，遞歸均值調(diào)整最大占優(yōu)程度為2.43%，對應c1=0.018，PWY 檢驗的最大占優(yōu)僅為1.07%，對應c1=0.040；樣本分別為200 和400 時，遞歸均值調(diào)整模式最大占優(yōu)程度分別為3.39%和3.58%，對應c1=0.010 和c1=0.005，經(jīng)典PWY 檢驗占優(yōu)程度僅為0.56%和0.50%，對應c1=0.020 和c1=0.013。第四，隨著c1增大，經(jīng)典PWY 檢驗功效優(yōu)于遞歸均值調(diào)整模式的檢驗功效，但兩者差異微乎其微，特別樣本較大時，差異幾乎可忽略。上述結論同樣適用于表3，4 的模擬結果。固定c1時，無論是遞歸均值調(diào)整檢驗還是經(jīng)典PWY 檢驗模式，每種樣本容量下檢驗功效隨著窗寬r0增大而增大。

表3 r0=0.3，c2=0 時水平和功效檢驗模擬結果單位：%Tab.3 Simulation results of size and power for r0=0.3 and c2=0unit：%

表5 為具備3 種或4 種數(shù)據(jù)生成過程功效模擬結果，限于篇幅，文中設置泡沫生成和破滅參數(shù)c1=c2=0.010。第一個單位根生成持續(xù)時間占整個數(shù)據(jù)生成過程的30%，即τ10=0.3。τ20=0.4,0.5,0.6,0.7,0.8，表明泡沫生成過程結束時間點分別位于全部樣本40%，50%，60%，70%和80%的位置，而泡沫持續(xù)時間取決于τ20與τ10的差值。τ30=0.9,1.0，當τ30取0.9 時表示有泡沫破滅和第二個單位根過程，泡沫破滅經(jīng)歷時間取決于τ30與τ20的差值，而第二個單位根過程持續(xù)時間只占總樣本時間的10%，表示有4種數(shù)據(jù)生成過程。τ30取1.0表明該數(shù)據(jù)生成沒有第二個單位根過程，是3種數(shù)據(jù)生成過程的組合。

表5顯示：當r0,τ10,τ20,τ30固定時，遞歸均值調(diào)整和經(jīng)典PWY 檢驗模式下的檢驗功效隨樣本容量增加而增加，如r0=0.2,τ10=0.3,τ20=0.4,τ30=1.0 時，遞歸均值調(diào)整模式和經(jīng)典PWY 檢驗在樣本容量為100，200 和400 下的功效分別為3.57%，4.01%，6.84%和3.60%，4.96%，8.25%；隨著泡沫持續(xù)時間增大，3 種檢驗模式的檢驗功效也增大，如當樣本容量為100，τ30=0.9，τ20從0.4增大到0.5，0.6，0.7和0.8時，遞歸均值調(diào)整檢驗模式和經(jīng)典PWY 檢驗功效分別為3.92%，5.01%，6.32%，7.46%，9.59%與3.87%，4.71%，5.53%，6.67%，8.19%，如果取τ30=1.0，該結論仍成立，符合理論預期，另對3種樣本容量和窗寬取值都成立；在絕大數(shù)場合下，固定其他參數(shù)，2種檢驗模式的功效隨著r0的增加而增加，如當樣本容量為100，τ10=0.3,τ20=0.5,τ30=0.9，r0從0.2增加至0.3 和0.4 時，遞歸均值調(diào)整檢驗模式和經(jīng)典PWY 檢驗的功效分別為5.01%，5.15%，5.43%與4.71%，4.91%，5.04%；當參數(shù)設置相同時，遞歸均值調(diào)整檢驗模式功效均大于經(jīng)典PWY檢驗功效。與表2～4的結果相比較，當數(shù)據(jù)生成過程種類越多時，遞歸均值調(diào)整模式檢驗功效優(yōu)勢越明顯。

表5 c1=c2=0.01 時不同窗寬和時點組合下的功效模擬結果單位：%Tab.5 Simulation results of power for c1=c2=0.01 under different window width and time combinations unit:%

4 實證研究

為考察遞歸均值調(diào)整檢驗模式的適用性，并與經(jīng)典SADF和GSADF檢驗相比較，選擇PSY實證數(shù)據(jù)，為標準普爾500 價格指數(shù)，起止時間為1973 年1 月至2018 年7 月，圖1 為該價格指數(shù)時序圖[7]。圖1 顯示，該價格指數(shù)在1995—2001 年前后呈現(xiàn)激增過程，說明可能存在泡沫。接下來進行泡沫檢驗，取最小窗寬r0=0.4，為增強檢驗結論的可信性引入PSY 檢驗模式，表6 為3 種檢驗量檢驗結果。表6 顯示，GSADF 檢驗量、RSADF 檢驗量和SADF檢驗量值分別為2.928，2.631 和2.335，都大于0.95顯著性水平各自對應的臨界值，3種檢驗量都證實該序列存在泡沫。

圖1 標普500價格指數(shù)時序圖Fig.1 Time series plot for S&P 500 price index

圖2～4為泡沫演變動態(tài)過程。

圖2 價格指數(shù)GSADF檢驗效果Fig.2 GSADF test effect for S&P 500 price index

圖3 價格指數(shù)RSADF檢驗效果Fig.3 RSADF test effect for S&P 500 price index

以圖2對應的GSADF 為例，最上端曲線為價格指數(shù)序列，對應右邊縱軸；下端變化頻繁的曲線為GSADF檢驗量在r2∈[0.4,1.0]時點對應的值；中間變化平緩的曲線是0.95 顯著性水平臨界值序列，由模擬獲得這兩個曲線對應左端縱軸。泡沫發(fā)生起點定義為檢驗量值首次超過臨界值對應的時點，泡沫破滅點為泡沫發(fā)生后檢驗量值首次低于臨界值所對應的時點。圖2～4顯示，3種檢驗量都表明價格指數(shù)序列存在一個完整泡沫周期，表6 最后兩列為泡沫起止時期識別結果。表6 顯示，GSADF 和SADF 檢驗量對價格激增變化反應分別過于敏感和遲鈍，而RSADF 檢驗量反應相對穩(wěn)重，起點識別結果位于GSADF 和SADF 檢驗量識別結果之間；泡沫終點識別幾乎相同。由此表明，遞歸調(diào)整的RSADF檢驗也能很好地識別是否存在泡沫并給出泡沫發(fā)生起止期識別的穩(wěn)健結果。

圖4 價格指數(shù)SADF檢驗效果Fig.4 SADF test effect for S&P 500 price index

表6 標準普爾500指數(shù)價格序列3種泡沫檢驗結果Tab.6 Results of three kinds of bubbles for S&P 500 price index

5 結論

以PWY檢驗為研究對象，將遞歸均值調(diào)整檢驗方法融入PWY 檢驗量構造中，在SADF 檢驗量基礎上構造資產(chǎn)價格泡沫RSADF 檢驗量，得到以下主要結論：

1)理論研究表明，遞歸均值調(diào)整RSADF 檢驗量在大樣本下收斂到維納過程的泛函，但與已有泡沫檢驗量分布不同，因此需使用蒙特卡洛模擬方法獲得臨界值。

2)臨界值模擬表明，當參數(shù)相同時，遞歸均值調(diào)整RSADF檢驗量臨界值大于經(jīng)典SADF檢驗量臨界值，且與SADF臨界值變化規(guī)律既有共性也有其特殊性。

3)檢驗水平模擬顯示，遞歸均值調(diào)整RSADF 檢驗量也有滿意的檢驗水平。檢驗功效模擬顯示，當樣本容量較小和激增程度較弱時，RSADF 檢驗量較SADF 檢驗量有明顯功效優(yōu)勢；當樣本容量較大或者激增程度較大時，SADF 檢驗量功效較RSADF 檢驗量有微弱優(yōu)勢，但這種優(yōu)勢最終隨樣本容量增大或激增程度增大而相差無幾；當數(shù)據(jù)生成過程表現(xiàn)為3種或4種過程時，RSADF檢驗量的功效較SADF檢驗量全面占優(yōu)。

4)實證研究表明，遞歸均值調(diào)整RSADF 檢驗量既能檢驗泡沫的存在性，也能識別出泡沫發(fā)生的起止時期，且與已有檢驗量結果相比具有穩(wěn)健性。

和經(jīng)典SADF 檢驗量一樣，遞歸均值調(diào)整RSADF 檢驗量臨界值也受到樣本容量和模擬隨機性影響，為避免這種影響，可使用Bootstrap方法構造檢驗臨界值，限于篇幅，本文不再贅述。