咖啡館、散步和數(shù)學(xué)家

林革

很長一段時間里，咖啡館是歐洲城市里最早的、也是唯一供各階層人們自由來往聚會的場所。除了彌漫著咖啡誘人的香氣，這里更有一種悠然自得的氛圍，令人們的身心得以放松，科學(xué)和藝術(shù)的靈感在咖啡的香氣里不斷閃現(xiàn)。

蘇格蘭咖啡館位于19世紀30年代波蘭的利維夫市（現(xiàn)烏克蘭的利沃夫市）的里沃夫大學(xué)附近。這個原本普通的咖啡館，由于數(shù)學(xué)家的經(jīng)常光臨而逐漸成為學(xué)術(shù)沙龍之所，見證了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些重要分支的發(fā)展，曾被譽為“數(shù)學(xué)家的搖籃”。

波蘭杰出的數(shù)學(xué)家巴拿赫和烏拉姆就是這家咖啡館的?？汀０湍煤赵尾ㄌm數(shù)學(xué)會主席，以他的名字命名的巴拿赫空間、巴拿赫平均數(shù)、巴拿赫點陣、巴拿赫定理在數(shù)學(xué)界享有盛譽，他領(lǐng)導(dǎo)的里沃夫數(shù)學(xué)學(xué)派風(fēng)靡全球，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。而烏拉姆這位出色的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，曾與馮·諾依曼都參與了美國陸軍部研制原子彈的計劃，還參與研究核能推動的航天飛機。他是美國總統(tǒng)科學(xué)顧問委員會的顧問。

當(dāng)時在里沃夫大學(xué)擔(dān)任教授的巴拿赫，最喜歡的事就是邀自己的學(xué)生烏拉姆和幾個志同道合的人，跑到附近的蘇格蘭咖啡館，邊喝咖啡邊討論數(shù)學(xué)問題，聊得興起時甚至?xí)诘昀镒鲜畮讉€鐘頭。他們自由地探討與爭執(zhí)，并隨手把交流的數(shù)學(xué)心得寫在大理石桌面上，但這顯然不是可靠的保存方式，以至于一些數(shù)學(xué)家抱怨重要的“思想火花”在蘇格蘭咖啡館被發(fā)現(xiàn)又被遺忘。于是，有心的巴拿赫將一本筆記本存放在咖啡館的老板那里，每當(dāng)他們來店里，老板便將本子連同咖啡一并送上。大家在討論中覺得某個問題有價值，就會把它記錄在筆記本上。

據(jù)統(tǒng)計，1935—1941年，這本筆記本總共記錄了193個高深的數(shù)學(xué)題目，迄今為止大約還有四分之一的問題未獲得解答。有趣的是，店主還與前來邊喝咖啡邊討論數(shù)學(xué)問題的人做了約定，誰證明或解答了某個問題，便可獲得軟糖或蛋糕一塊，當(dāng)然也少不了魚子醬和啤酒。

數(shù)學(xué)家巴拿赫（左）和烏拉姆（右）

這種獨特的、無拘無束的、暢所欲言的學(xué)術(shù)氛圍，讓許多參與者印象深刻，后來移居美國的烏拉姆到了晚年，仍對當(dāng)時在咖啡館探討數(shù)學(xué)問題的場景念念不忘。

無獨有偶，波蘭另一位著名的數(shù)學(xué)家斯坦因豪斯，工作之余也喜歡和幾位同行到蘇格蘭咖啡館討論數(shù)學(xué)問題。斯坦因豪斯經(jīng)常發(fā)表一些獨到的見解，并能對他人提出的問題給出精彩的解答。著名的“斯坦因豪斯戰(zhàn)斧圖”就是在蘇格蘭咖啡館里誕生的。

如圖1所示，陰影部分由4段以已知正方形邊長的一半為半徑的圓弧圍成，它的形狀就像一把戰(zhàn)斧。比較有趣的是，這把戰(zhàn)斧（陰影部分）的面積恰好是正方形面積的一半，通過割補法（圖2）可以巧妙地證明這個結(jié)論。有興趣的讀者不妨探究一番！

斯坦因豪斯圖形

數(shù)學(xué)家希爾伯特（上）和閔可夫斯基（下）

而散步似乎也能與喝咖啡產(chǎn)生同樣的效果，主角則是德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特和閔可夫斯基。希爾伯特和閔可夫斯基先后進入哥尼斯堡大學(xué)，兩個才華橫溢、志趣相投的年輕人很快結(jié)識，并成為終生的摯友。1884年，25歲的數(shù)學(xué)家胡爾維茨來到哥尼斯堡大學(xué)擔(dān)任副教授，共同的愛好把他們?nèi)司o密地結(jié)合在一起。每天下午5點整，他們都會準時在校園的蘋果樹下集合，一起散步，討論當(dāng)下的一些數(shù)學(xué)問題，時而低頭苦思，時而滔滔不絕，時而爭執(zhí)辯論……正是在這種信馬由韁、各抒己見的交流中，思維互相碰撞產(chǎn)生靈感的火花，讓三位年輕人互相促進、收益良多，為今后的成就奠定了堅實的基礎(chǔ)。以至于希爾伯特成了數(shù)學(xué)大家后，仍堅持和幾個志同道合的同行或喜歡的學(xué)生按約定的時間和地點進行“數(shù)學(xué)散步”。

在閔可夫斯基去世后的紀念演說中，希爾伯特曾動情地回憶他們的這種已經(jīng)成為習(xí)慣的“數(shù)學(xué)散步”：“它像一個盛開著鮮花的園林?；▓@里有被人踏過的路，空閑時你可以循著它去觀花賞景，悠然自得而不用費力，當(dāng)一旁有一個情趣相投的朋友時更是如此。但是，我們還喜歡去尋找那深藏不露的小徑，去發(fā)現(xiàn)更多出人意料的、大飽眼福的景色。當(dāng)一個人向另一個人指出這種奇景時，我們共同贊美它，真是其樂無窮?！?/p>

盡管數(shù)學(xué)家的做法不能成為我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的主要途徑，但“咖啡館數(shù)學(xué)沙龍”和“數(shù)學(xué)散步”的方式仍能給予我們啟示：在輕松和諧的氛圍中自由討論各自感興趣的知識或問題，交流各自學(xué)習(xí)的方法和體會，也許會收獲意想不到的效果。