基于直線積分邊界元法的溫度應(yīng)力研究

劉彪 高宇 李通盛 程勇剛 王橋 周偉

摘要： 邊界元法作為一種半解析解的數(shù)值計算方法，除了在同自由度下能夠獲得相對更高的精度以外，更為突出的優(yōu)點(diǎn)是降維，只需要對研究域的邊界進(jìn)行離散。但是在進(jìn)行溫度應(yīng)力問題求解時，積分方程中會出現(xiàn)域積分。為了保證邊界元法降維的優(yōu)點(diǎn)，基于散度定理提出將直線積分法的域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。邊界積分可以用帶積分點(diǎn)的邊界單元來計算。每個積分點(diǎn)可以構(gòu)造一條積分線，由積分線上的線積分計算域積分。同時為了獲得更高的精度，可以利用背景單元網(wǎng)格將積分線切割成更多的子線進(jìn)行計算。最后通過一個矩形梁的熱彈性分析和一個重力壩的溫度應(yīng)力分析驗(yàn)證了所提方法的有效性和精度。

關(guān) 鍵 詞： 直線積分邊界元法; 降維; 域積分; 熱應(yīng)力

中圖法分類號： ?TV311

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ?A

DOI： 10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.03.027

?? 0 引 言

對于混凝土結(jié)構(gòu)而言，無論是施工期還是運(yùn)行期，溫度應(yīng)力自始至終是一個關(guān)鍵的影響因素? [1-4] ，如若處理不當(dāng)，極有可能產(chǎn)生溫度裂縫，進(jìn)而影響大壩結(jié)構(gòu)安全，因此進(jìn)行混凝土壩內(nèi)部的溫度應(yīng)力模擬分析是極為必要的。當(dāng)前，有限元法（FEM）是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法，也是進(jìn)行壩體力學(xué)分析的主流計算手段。而相較于有限元法，邊界元法具有模型重建容易、只需要對邊界進(jìn)行離散化計算等優(yōu)點(diǎn)? [5-8] 。

但是當(dāng)考慮溫度應(yīng)力時，在邊界方程中會出現(xiàn)域積分，進(jìn)而使得邊界元法失去了只需離散計算邊界的優(yōu)點(diǎn)。為此，許多學(xué)者開展了研究。最為直接的方法是利用直接域積分法? [9] ，直接對研究域進(jìn)行單元劃分，但是邊界元法因此失去了只要對邊界進(jìn)行離散計算的優(yōu)點(diǎn)。因而找出能保留邊界元法優(yōu)點(diǎn)的計算方法成為了研究的重點(diǎn)。比如雙互易法（Dual Reciprocity Method，DRM）? [10-12] ：在DRM中，非齊次項(xiàng)可以用一系列函數(shù)進(jìn)行逼近擬合，比如徑向基函數(shù)（Radial Basic Function，RBF），然后利用第二互易將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分，只需要邊界上和域內(nèi)點(diǎn)的信息即可進(jìn)行計算。但是該方法的精度較大程度上取決于域內(nèi)點(diǎn)的位置和分布以及用來擬合逼近非齊次項(xiàng)的函數(shù)的種類。另外還有多互易法（Multiple Reciprocity Method，MRM）? [13] ，該方法多次應(yīng)用互易定理到一系列高階基本解上，進(jìn)而將域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。除此之外，特殊解法（Particular Solution Method，PSM）也是一種有效的計算方法，通過構(gòu)造特殊解來擬合逼近。此外，高效偉教授提出了一種新的計算方法：徑向積分法（Radial Integration Method，RIM），該方法可以對徑向積分法中的徑向積分進(jìn)行直接計算或者和徑向基函數(shù)耦合進(jìn)行計算。

本文采用了一種新的直線積分法（Line Integration Method，LIM）處理域積分? [14-15] 。直線積分法基于散度定理將域積分轉(zhuǎn)化為包含一維線積分的邊界積分，只需要對邊界進(jìn)行離散，首先通過邊界單元和八叉樹構(gòu)建積分線，然后對一維積分線的結(jié)果進(jìn)行求和即可得到最終結(jié)果。

1 考慮溫度應(yīng)力的邊界積分方程結(jié)合前人研究，可知控制方程為

λ+μ u? j，ji +μu? i，jj - λ 1+v? ν βθ? ，i? ?y? =0 i，j=1，2; y ∈ Ω? ?（1）

式中：Ω為研究域，其邊界為Γ; μ和λ為拉梅常數(shù);ν代表泊松比;θ代表溫度場;β 為熱膨脹系數(shù)。

1.1 位移積分方程

結(jié)合貝蒂互易定理，通過推導(dǎo)可以得到正則化的位移積分方程? [16] ：

c? ij? ?x? u i? x? = ∫? Γ U? ij? ?x ， y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -??

∫? Γ T? ij? ?x ， y? u j? y? ?d? Γ? ?y? -

∫? Ω U? ij，j? ?x ， y?? λ 1+v? v βθ? y? ?d? Ω? ?y?? （2）

式中： U? ij? ?x ， y? 和T? ij? ?x ， y? ?為開爾文基本解，具體表達(dá)為

U? ij? ?x ， y? = 1 2A 1μr? h-1? ?A 2δ? ij? ?h-2 ?ln? ?1 r? +h-1 +r? ，i r? ，j?? T? ij? ?x ， y? = -1 A 1r h {r? ，k n k[A 3δ? ij +3r? ，i r? ，j ]-A 3 r? ，i n j-r? ，j n i???? （3）

以及

A 1=4 π h 1-ν ?A 2=3-4ν A 3=1-2ν i，j=1，2 h=1?? （4）

式中：? x = x? x 1，x 2 和 y=y y 1，y 2 分別為源點(diǎn)和場點(diǎn);r 為2點(diǎn)之間的距離。

r? ，i = ?r ?x i? （5）

式（5）代表 r對x i 求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù)，以及kronecker符號 δ? ij? 為

δ? ij =? 1，i=j 0，i≠j?? （6）

此外，

U? ij，j? ?x ， y? = ??-1 ???h+1 A 3r? ，i? A 1μr h? （7）

式（2）可以整理為以下形式：

c? ij? ?x? u i? x? =∫? Γ U? ij? ?x ， y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -

∫? Γ T? ij? ?x ， y? u j? y? ?d? Γ ??y? -∫? Ω? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?? （8）

其中，

c? ij? ?x? =?? 1 2 δ? ij ，邊界點(diǎn) δ? ij ， 域內(nèi)點(diǎn)? ??（9）

Φ? i? x ， y? = -2 1+ν r? ，i? A 1r h? （10）

顯而易見，式（8）中出現(xiàn)了一個域積分：

D 1=∫? Ω Φ i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y? ??（11）

1.2 內(nèi)部應(yīng)力積分方程

結(jié)合高效偉教授編著的《高等邊界元法》，可得內(nèi)部應(yīng)力積分方程：

σ? ij? ?x? =βθ? y? ∫? Γ r? ，m n m ln? r r ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Γ? ?y? +

∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y? -∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y? +

∫? Γ U? ijk? ?x ， y? t k? y? ?d? Γ -∫? Γ? Τ?? ijk? ?x ， y? u k? y? ?d? Γ -δ? ij bβθ? y?? （12）

其中，

Ψ?? ij? ?x ， y? = -4μ 1+ν? δ? ij - h+1 r? ，i r? ，j? ?A 1r? h+1? ?（13）

b= μ h+2? 1+ν? 3 1-ν?? （14）

U? ijk? ?x ， y? =? 1 A 1r h? A 3 δ? ki r? ，j +δ? kj r? ，i -δ? ij r? ，k? + ????h+1 r? ，i r? ，j r? ，k? ?（15）

T? ijk? ?x ， y? = 2μ A 1r? h+1? ??h+1 r? ，m n m A 3δ? ij r? ，k +? ??v δ? ik r? ，j -δ? jk r? ，i? - h+3 r? ，i r? ，j r? ，k? + A 3? h+1 n kr? ，i r? ，j +n jδ? ik +n iδ? jk? + ν h+1? n ir? ，j r? ，k +n jr? ，i r? ，k? -? A 2-2 n kδ? ij? ?（16）

而當(dāng) x ∈Γ時，邊界面力方程為

c? ij? ?x? ??t ??j? x? =c? ij? ?x? σ? ij? ?x? n j? x?? （17）

同樣可以觀察出，式（12）中出現(xiàn)兩項(xiàng)域積分

D 2=∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y?? （18）

D 3=∫? Ω βθ ?x? ?Ψ?? ij? ?x ， y? ?d? Ω? ?y?? （19）

2 直線積分邊界元法

2.1 基礎(chǔ)理論

本節(jié)首先介紹退到直線積分法的一些基本定理，詳細(xì)的論證過程參見文獻(xiàn)[15]。

理論1：假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù)，定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域，函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù)，并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn) y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，定義函數(shù)F? y? ?為

F? y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? ?d t （20）

其中，? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 為有限函數(shù)， t t，y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn)，并且設(shè)

F?? y? =F? y? ??e ??1， y? y 1，y 2 ∈ Ω? ?（21）

式中：? F?? y? 為對于y 1∈ Ω? 是連續(xù)可微的，? e ??1是笛卡爾坐標(biāo)系中的單位基向量且? e ??1= 1，0 ?，并且

d? F （ y ） ?d y 1 =f（ y ）? e ???l?SymbolQC@· F （ y ）=f（ y ）??? y ∈ Ω? ?（22）

理論2：假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù)，定義矩形域B為包含域 Ω? 的一個研究域，函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù)，并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn)y y 1，y 2 ∈ Ω?? ，可得

F? y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? ?d t （23）

其中，? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 且為有限函數(shù)，? t? t，y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

進(jìn)而可以得到

∫? Ω f（ y ） d? Ω （ y ）=∮? Γ F（ y ）n 1（ y ） d? Γ （ y ） （24）

式中： n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

理論3： 假設(shè)研究域 Ω 為一個有界平面區(qū)域，具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ，假設(shè)f y 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù)，定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域，函數(shù)g y 為f y 在域B上的延續(xù)，并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。函數(shù) k? x ， y? ?為以域B內(nèi)點(diǎn) x 為中心的弱奇異核函數(shù)，對于任意點(diǎn)y y 1，y 2 ∈ Ω?? ，可得

F? x ， y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t，y 2? k? x ， t? t，y 2? ?d t （25）

其中? y? y 1，y 2 ∈ Ω? ，a=y y 1，y 2 且為有限函數(shù)， t? t，y 2 為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

進(jìn)而可以得到

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=∮? Γ F（ x ， y ）n 1（ y ） d? Γ （ y ） （26）

式中： n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

2.2 直線積分法

利用理論3，可以將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分。簡單起見，將所有的積分起始點(diǎn)定在邊界同一個平面上? y 1=c ，也就是說，a y 2 =c，c 可為任意常數(shù)值。當(dāng)將邊界離散化為 N 個單元時，式（26）則轉(zhuǎn)化為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? N ?i=1? ∫?? Γ? i F（ x ， y ）n 1（ y ） d? Γ? i（ y ）? （27）

其中，? Γ? i為第i 個邊界單元，并且有

F? x ， y? y 1，y 2? = ∫?? y 1? cg? t? t，y 2? k? x ， t? t，y 2? ?d t? （28）

通過高斯積分法即可計算每個單元上的積分，但是在式（26）中仍然存在弱奇異積分。并且事實(shí)上，式（26）中的積分仍為由邊界單元和平面? y 1=c ?構(gòu)成的區(qū)域的域積分。此時積分可以分為兩種：常規(guī)積分和弱奇異積分。一般而言，對于單元 E ，產(chǎn)生弱奇異積分是因?yàn)榉e分點(diǎn)處在由該單元構(gòu)成的積分域，因而積分線和單元 E 會出現(xiàn)一個交點(diǎn)，即為弱奇異積分的積分點(diǎn)，該弱奇異積分可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法消除。這樣式（26）中的域積分可表達(dá)為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? M ?i=1? F i? x ， y ?i n i 1? y ?i w i? （29）

以及

F i? x ， y ?i y i 1，y i 2? = ∫?? y? i? 1? cg? t? t，y i 2? k? x ， t? t，y i 2? ?d t? （30）

式中：?? y ??i y i 1，y i 2 為第i個邊界積分點(diǎn)，M為積分點(diǎn)的總個數(shù)，w i和n i 1為第i個積分點(diǎn)的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。通過將每個單元內(nèi)積分點(diǎn)產(chǎn)生的直線上的一維線積分相加即可得到域積分的結(jié)果。

為了提高式（29）的計算效率，本文進(jìn)一步采用了背景網(wǎng)格將積分線劃分為子線段，式（29）則可寫為

∫? Ω f（ y ）k（ x ， y ） d? Ω （ y ）=? M ?i=1? n i 1（ y ）w i∫? L i g（ y ）k（ x ， y ） d y 1 （31）

式中： M為子積分線段集的總數(shù)，L i為第i個子積分線，w i和n i 1為第i個子積分線段L i的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。

采用背景網(wǎng)格的具體方式為，構(gòu)造一個能夠包含研究域的最小正方形，保證所有邊界節(jié)點(diǎn)和積分線包含于該正方形，定義該最小正方形為0級根網(wǎng)格，然后利用四叉樹將根網(wǎng)格劃分為四個等大小的子網(wǎng)格，定義為1級背景網(wǎng)格。按這種方式繼續(xù)劃分下去，從 L級網(wǎng)格得到L+1的背景網(wǎng)格，當(dāng)?shù)趎 級子背景網(wǎng)格包含的積分線的數(shù)量不大于預(yù)設(shè)的數(shù)量時，即可停止劃分。對于未能包含于一個子網(wǎng)格的積分線進(jìn)行分段，保證所有積分線僅存在于一個子網(wǎng)格中，最后，刪除不包含單元節(jié)點(diǎn)和積分線的子網(wǎng)格。沒有下一級子網(wǎng)格的背景網(wǎng)格稱為葉子。這些由四叉樹構(gòu)造的葉子即可對子積分線進(jìn)行積分計算。

2.3 直線積分邊界元法

直線積分邊界元法為直線積分法和邊界元法的結(jié)合，相較于傳統(tǒng)的邊界元法，在面對域積分時，仍能夠保持降維的優(yōu)點(diǎn)。本文邊界積分方程中出現(xiàn)的域積分式（11），（18）和式（19）可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為以下形式：

D 1 =∫? Ω? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?????? ??=? M ?i=0 ?n i 1（ y ）w i∫? L i? Φ? i? x ， y? βθ? y? ?d y 1 （32）

D 2 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? y? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1（ y ）w iJac i∫? L i? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? y? ?d y 1 （33）

D 3 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? x? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1（ y ）w i∫? L i? Ψ?? ij? ?x ， y? βθ? x? ?d y 1 （34）

顯然，本文出現(xiàn)的域積分在直線積分邊界元法的轉(zhuǎn)化下，都變成了包含一維線積分的邊界積分。

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的有效性和精度，本文采用兩個例子進(jìn)行驗(yàn)證。第一個例子為一個承受溫度應(yīng)力的矩形梁，并已知其解析解，進(jìn)而可以驗(yàn)證本文所采用方法的精度。第二個例子為一個混凝土重力壩，計算結(jié)果將與有限元法模擬結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證本方法在考慮溫度應(yīng)力的大壩靜力分析中的有效性。

3.1 矩形梁的熱彈性分析計算

如圖1所示，該矩形梁的長度 L 為5，寬度 W 為3，彈性模量 E 為12 000 MPa，泊松比 ν 為0.25，熱膨脹系數(shù) k 為0.000 015 K? -1 。三邊鉸支，一邊自由，溫度場呈二次函數(shù)分布，具體表達(dá)式為

θ y =s 2y 2+s 1y+s 0 （35）

式中： s 0=0，s 1=-50，s 2=50 。

相應(yīng)的位移和應(yīng)力的解析解為

u y（y）= 1+v 1-v k? 1 3 s 2 y 3+ （ W 2 ）? 3 +

1 2 s 1 y 2- （ W 2 ）? 2 +s 0 y+ W 2???? （36）

σ? xx =- E 1-v kθ （37）

本算例中將梁的邊界離散為僅80個單元，并將利用直線積分邊界元法進(jìn)行計算得到的結(jié)果與解析解進(jìn)行對比。選取了直線 x =0上的9個內(nèi)部點(diǎn)作為對比，具體結(jié)果分別列于表1和表2。結(jié)合圖2和圖3，可見數(shù)值解與解析解高度吻合，進(jìn)而證明了直線積分邊界元法的有效性和高精度。

進(jìn)一步地，為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的精確性以及收斂性，現(xiàn)在將梁模型的邊界分別劃分為8，12，20，28，40，80，160，320個單元，并且利用以下公式計算樣本點(diǎn)的相對誤差

R=? ??N ?i=1??? u e i-u n i ??2 / ??N ?i=1 ???u e i ??2?? （38）

式中： u e i和u n i分別代表解析解和數(shù)值結(jié)果，N 代表邊界離散單元個數(shù)。

具體計算結(jié)果如表3所列。顯然，隨著邊界離散單元個數(shù)的增加，相對誤差逐漸減小，并且在單元數(shù)僅為8，相對誤差就達(dá)到了0.96%，足以見本文方法的精度之高。

3.2 受溫度荷載的大壩模型

重力壩模型具體幾何尺寸如圖4所示。泊松比為0.3，彈性模量為35 000 MPa，熱膨脹系數(shù)為 0.000 015 K? -1 ，大壩底部為完全約束，其余邊界自由。并且假設(shè)壩體承受65 ℃的高溫沖擊。

為了驗(yàn)證本文方法的正確性，在該數(shù)值模型的結(jié)果對比中，選取了在直線 x =3上的21個內(nèi)部點(diǎn)，采用有限元模型與直線積分邊界元法計算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖5所示。計算所得的應(yīng)力值 s? xx? 與有限元計算方法高度相符，證明了本文方法的正確性。

4 結(jié) 論

邊界元法的主要優(yōu)勢是可以將研究問題降低一維，并且已經(jīng)成功地應(yīng)用于靜力學(xué)分析。本文的主要研究內(nèi)容是利用邊界元法進(jìn)行熱應(yīng)力問題數(shù)值分析。但是由于考慮了溫度對應(yīng)力場的影響，在熱應(yīng)力的邊界積分方程中出現(xiàn)了域積分項(xiàng)，為此本文提出采用一種新的直線積分邊界元法。該方法將直線積分法和邊界元法相結(jié)合，能夠?qū)⒂蚍e分轉(zhuǎn)化為包含一維積分的邊界積分，進(jìn)而延續(xù)了邊界元法只需對邊界進(jìn)行離散的優(yōu)勢。為了驗(yàn)證本文方法的正確性，首先利用一個有解析解的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了驗(yàn)證對比，驗(yàn)證了本文方法的高度精確性。此外，本文還將其運(yùn)用到大壩結(jié)果的熱應(yīng)力分析當(dāng)中去，通過與有限元法的對比，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的可行性。

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（編輯：鄭 毅）

Thermal stress analysis based on line integration boundary element method

LIU Biao 1，GAO Yu 2，LI Tongsheng 2，WANG Qiao 1，ZHOU Wei 1

（ 1.School of Water Resources and Hydropower Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，China; 2.Datang Xuanwei Hydropower Development Co.，Ltd.，Qujing 655400，China ）

Abstract：

As a semi-analytical method，boundary element method （BEM） has the advantage of dimension reduction，which means this method only need to disperse the boundary for the research field.However，when it comes to solving the thermo-elastic problems，the domain integral will appear in the boundary integral equations.In order to ensure the advantage of BEM，the line integration method （LIM） is used to transform the domain integral into the boundary integral based on the divergence theorem.The boundary integral can be calculated by the boundary element with integral points.An integral line can be constructed for each integral point，and the domain integral can be calculated by the line integral on the integral line.In order to obtain higher accuracy，the integral line can be cut into sub-lines by using the background cell.This method feasibility and accuracy is proved by a thermal-elastic analysis of a rectangular beam and thermal stress analysis of a gravity dam.

Key words：

line integration boundary element method;dimension reduction;domain integrals;thermal stress