• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于直線積分邊界元法的溫度應(yīng)力研究

    2022-04-16 10:48:06劉彪高宇李通盛程勇剛王橋周偉
    人民長江 2022年3期
    關(guān)鍵詞:積分法元法邊界

    劉彪 高宇 李通盛 程勇剛 王橋 周偉

    摘要: 邊界元法作為一種半解析解的數(shù)值計算方法,除了在同自由度下能夠獲得相對更高的精度以外,更為突出的優(yōu)點(diǎn)是降維,只需要對研究域的邊界進(jìn)行離散。但是在進(jìn)行溫度應(yīng)力問題求解時,積分方程中會出現(xiàn)域積分。為了保證邊界元法降維的優(yōu)點(diǎn),基于散度定理提出將直線積分法的域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。邊界積分可以用帶積分點(diǎn)的邊界單元來計算。每個積分點(diǎn)可以構(gòu)造一條積分線,由積分線上的線積分計算域積分。同時為了獲得更高的精度,可以利用背景單元網(wǎng)格將積分線切割成更多的子線進(jìn)行計算。最后通過一個矩形梁的熱彈性分析和一個重力壩的溫度應(yīng)力分析驗(yàn)證了所提方法的有效性和精度。

    關(guān) 鍵 詞: 直線積分邊界元法; 降維; 域積分; 熱應(yīng)力

    中圖法分類號: ?TV311

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: ?A

    DOI: 10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.03.027

    ?? 0 引 言

    對于混凝土結(jié)構(gòu)而言,無論是施工期還是運(yùn)行期,溫度應(yīng)力自始至終是一個關(guān)鍵的影響因素? [1-4] ,如若處理不當(dāng),極有可能產(chǎn)生溫度裂縫,進(jìn)而影響大壩結(jié)構(gòu)安全,因此進(jìn)行混凝土壩內(nèi)部的溫度應(yīng)力模擬分析是極為必要的。當(dāng)前,有限元法(FEM)是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法,也是進(jìn)行壩體力學(xué)分析的主流計算手段。而相較于有限元法,邊界元法具有模型重建容易、只需要對邊界進(jìn)行離散化計算等優(yōu)點(diǎn)? [5-8] 。

    但是當(dāng)考慮溫度應(yīng)力時,在邊界方程中會出現(xiàn)域積分,進(jìn)而使得邊界元法失去了只需離散計算邊界的優(yōu)點(diǎn)。為此,許多學(xué)者開展了研究。最為直接的方法是利用直接域積分法? [9] ,直接對研究域進(jìn)行單元劃分,但是邊界元法因此失去了只要對邊界進(jìn)行離散計算的優(yōu)點(diǎn)。因而找出能保留邊界元法優(yōu)點(diǎn)的計算方法成為了研究的重點(diǎn)。比如雙互易法(Dual Reciprocity Method,DRM)? [10-12] :在DRM中,非齊次項(xiàng)可以用一系列函數(shù)進(jìn)行逼近擬合,比如徑向基函數(shù)(Radial Basic Function,RBF),然后利用第二互易將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分,只需要邊界上和域內(nèi)點(diǎn)的信息即可進(jìn)行計算。但是該方法的精度較大程度上取決于域內(nèi)點(diǎn)的位置和分布以及用來擬合逼近非齊次項(xiàng)的函數(shù)的種類。另外還有多互易法(Multiple Reciprocity Method,MRM)? [13] ,該方法多次應(yīng)用互易定理到一系列高階基本解上,進(jìn)而將域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。除此之外,特殊解法(Particular Solution Method,PSM)也是一種有效的計算方法,通過構(gòu)造特殊解來擬合逼近。此外,高效偉教授提出了一種新的計算方法:徑向積分法(Radial Integration Method,RIM),該方法可以對徑向積分法中的徑向積分進(jìn)行直接計算或者和徑向基函數(shù)耦合進(jìn)行計算。

    本文采用了一種新的直線積分法(Line Integration Method,LIM)處理域積分? [14-15] 。直線積分法基于散度定理將域積分轉(zhuǎn)化為包含一維線積分的邊界積分,只需要對邊界進(jìn)行離散,首先通過邊界單元和八叉樹構(gòu)建積分線,然后對一維積分線的結(jié)果進(jìn)行求和即可得到最終結(jié)果。

    1 考慮溫度應(yīng)力的邊界積分方程結(jié)合前人研究,可知控制方程為

    λ+μ u? j,ji +μu? i,jj - λ 1+v? ν βθ? ,i? ?y? =0 i,j=1,2; y ∈ Ω? ?(1)

    式中:Ω為研究域,其邊界為Γ; μ和λ為拉梅常數(shù);ν代表泊松比;θ代表溫度場;β 為熱膨脹系數(shù)。

    1.1 位移積分方程

    結(jié)合貝蒂互易定理,通過推導(dǎo)可以得到正則化的位移積分方程? [16] :

    c? ij? ?x? u i? x? = ∫? Γ U? ij? ?x , y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -??

    ∫? Γ T? ij? ?x , y? u j? y? ?d? Γ? ?y? -

    ∫? Ω U? ij,j? ?x , y?? λ 1+v? v βθ? y? ?d? Ω? ?y?? (2)

    式中: U? ij? ?x , y? 和T? ij? ?x , y? ?為開爾文基本解,具體表達(dá)為

    U? ij? ?x , y? = 1 2A 1μr? h-1? ?A 2δ? ij? ?h-2 ?ln? ?1 r? +h-1 +r? ,i r? ,j?? T? ij? ?x , y? = -1 A 1r h {r? ,k n k[A 3δ? ij +3r? ,i r? ,j ]-A 3 r? ,i n j-r? ,j n i???? (3)

    以及

    A 1=4 π h 1-ν ?A 2=3-4ν A 3=1-2ν i,j=1,2 h=1?? (4)

    式中:? x = x? x 1,x 2 和 y=y y 1,y 2 分別為源點(diǎn)和場點(diǎn);r 為2點(diǎn)之間的距離。

    r? ,i = ?r ?x i? (5)

    式(5)代表 r對x i 求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù),以及kronecker符號 δ? ij? 為

    δ? ij =? 1,i=j 0,i≠j?? (6)

    此外,

    U? ij,j? ?x , y? = ??-1 ???h+1 A 3r? ,i? A 1μr h? (7)

    式(2)可以整理為以下形式:

    c? ij? ?x? u i? x? =∫? Γ U? ij? ?x , y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -

    ∫? Γ T? ij? ?x , y? u j? y? ?d? Γ ??y? -∫? Ω? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?? (8)

    其中,

    c? ij? ?x? =?? 1 2 δ? ij ,邊界點(diǎn) δ? ij , 域內(nèi)點(diǎn)? ??(9)

    Φ? i? x , y? = -2 1+ν r? ,i? A 1r h? (10)

    顯而易見,式(8)中出現(xiàn)了一個域積分:

    D 1=∫? Ω Φ i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y? ??(11)

    1.2 內(nèi)部應(yīng)力積分方程

    結(jié)合高效偉教授編著的《高等邊界元法》,可得內(nèi)部應(yīng)力積分方程:

    σ? ij? ?x? =βθ? y? ∫? Γ r? ,m n m ln? r r ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Γ? ?y? +

    ∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y? -∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y? +

    ∫? Γ U? ijk? ?x , y? t k? y? ?d? Γ -∫? Γ? Τ?? ijk? ?x , y? u k? y? ?d? Γ -δ? ij bβθ? y?? (12)

    其中,

    Ψ?? ij? ?x , y? = -4μ 1+ν? δ? ij - h+1 r? ,i r? ,j? ?A 1r? h+1? ?(13)

    b= μ h+2? 1+ν? 3 1-ν?? (14)

    U? ijk? ?x , y? =? 1 A 1r h? A 3 δ? ki r? ,j +δ? kj r? ,i -δ? ij r? ,k? + ????h+1 r? ,i r? ,j r? ,k? ?(15)

    T? ijk? ?x , y? = 2μ A 1r? h+1? ??h+1 r? ,m n m A 3δ? ij r? ,k +? ??v δ? ik r? ,j -δ? jk r? ,i? - h+3 r? ,i r? ,j r? ,k? + A 3? h+1 n kr? ,i r? ,j +n jδ? ik +n iδ? jk? + ν h+1? n ir? ,j r? ,k +n jr? ,i r? ,k? -? A 2-2 n kδ? ij? ?(16)

    而當(dāng) x ∈Γ時,邊界面力方程為

    c? ij? ?x? ??t ??j? x? =c? ij? ?x? σ? ij? ?x? n j? x?? (17)

    同樣可以觀察出,式(12)中出現(xiàn)兩項(xiàng)域積分

    D 2=∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y?? (18)

    D 3=∫? Ω βθ ?x? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y?? (19)

    2 直線積分邊界元法

    2.1 基礎(chǔ)理論

    本節(jié)首先介紹退到直線積分法的一些基本定理,詳細(xì)的論證過程參見文獻(xiàn)[15]。

    理論1:假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域,函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn) y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,定義函數(shù)F? y? ?為

    F? y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? ?d t (20)

    其中,? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 為有限函數(shù), t t,y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn),并且設(shè)

    F?? y? =F? y? ??e ??1, y? y 1,y 2 ∈ Ω? ?(21)

    式中:? F?? y? 為對于y 1∈ Ω? 是連續(xù)可微的,? e ??1是笛卡爾坐標(biāo)系中的單位基向量且? e ??1= 1,0 ?,并且

    d? F ( y ) ?d y 1 =f( y )? e ???l?SymbolQC@· F ( y )=f( y )??? y ∈ Ω? ?(22)

    理論2:假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 Ω? 的一個研究域,函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn)y y 1,y 2 ∈ Ω?? ,可得

    F? y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? ?d t (23)

    其中,? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 且為有限函數(shù),? t? t,y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

    進(jìn)而可以得到

    ∫? Ω f( y ) d? Ω ( y )=∮? Γ F( y )n 1( y ) d? Γ ( y ) (24)

    式中: n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

    理論3: 假設(shè)研究域 Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f y 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域,函數(shù)g y 為f y 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。函數(shù) k? x , y? ?為以域B內(nèi)點(diǎn) x 為中心的弱奇異核函數(shù),對于任意點(diǎn)y y 1,y 2 ∈ Ω?? ,可得

    F? x , y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? k? x , t? t,y 2? ?d t (25)

    其中? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 且為有限函數(shù), t? t,y 2 為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

    進(jìn)而可以得到

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=∮? Γ F( x , y )n 1( y ) d? Γ ( y ) (26)

    式中: n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

    2.2 直線積分法

    利用理論3,可以將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分。簡單起見,將所有的積分起始點(diǎn)定在邊界同一個平面上? y 1=c ,也就是說,a y 2 =c,c 可為任意常數(shù)值。當(dāng)將邊界離散化為 N 個單元時,式(26)則轉(zhuǎn)化為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? N ?i=1? ∫?? Γ? i F( x , y )n 1( y ) d? Γ? i( y )? (27)

    其中,? Γ? i為第i 個邊界單元,并且有

    F? x , y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? cg? t? t,y 2? k? x , t? t,y 2? ?d t? (28)

    通過高斯積分法即可計算每個單元上的積分,但是在式(26)中仍然存在弱奇異積分。并且事實(shí)上,式(26)中的積分仍為由邊界單元和平面? y 1=c ?構(gòu)成的區(qū)域的域積分。此時積分可以分為兩種:常規(guī)積分和弱奇異積分。一般而言,對于單元 E ,產(chǎn)生弱奇異積分是因?yàn)榉e分點(diǎn)處在由該單元構(gòu)成的積分域,因而積分線和單元 E 會出現(xiàn)一個交點(diǎn),即為弱奇異積分的積分點(diǎn),該弱奇異積分可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法消除。這樣式(26)中的域積分可表達(dá)為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? M ?i=1? F i? x , y ?i n i 1? y ?i w i? (29)

    以及

    F i? x , y ?i y i 1,y i 2? = ∫?? y? i? 1? cg? t? t,y i 2? k? x , t? t,y i 2? ?d t? (30)

    式中:?? y ??i y i 1,y i 2 為第i個邊界積分點(diǎn),M為積分點(diǎn)的總個數(shù),w i和n i 1為第i個積分點(diǎn)的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。通過將每個單元內(nèi)積分點(diǎn)產(chǎn)生的直線上的一維線積分相加即可得到域積分的結(jié)果。

    為了提高式(29)的計算效率,本文進(jìn)一步采用了背景網(wǎng)格將積分線劃分為子線段,式(29)則可寫為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? M ?i=1? n i 1( y )w i∫? L i g( y )k( x , y ) d y 1 (31)

    式中: M為子積分線段集的總數(shù),L i為第i個子積分線,w i和n i 1為第i個子積分線段L i的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。

    采用背景網(wǎng)格的具體方式為,構(gòu)造一個能夠包含研究域的最小正方形,保證所有邊界節(jié)點(diǎn)和積分線包含于該正方形,定義該最小正方形為0級根網(wǎng)格,然后利用四叉樹將根網(wǎng)格劃分為四個等大小的子網(wǎng)格,定義為1級背景網(wǎng)格。按這種方式繼續(xù)劃分下去,從 L級網(wǎng)格得到L+1的背景網(wǎng)格,當(dāng)?shù)趎 級子背景網(wǎng)格包含的積分線的數(shù)量不大于預(yù)設(shè)的數(shù)量時,即可停止劃分。對于未能包含于一個子網(wǎng)格的積分線進(jìn)行分段,保證所有積分線僅存在于一個子網(wǎng)格中,最后,刪除不包含單元節(jié)點(diǎn)和積分線的子網(wǎng)格。沒有下一級子網(wǎng)格的背景網(wǎng)格稱為葉子。這些由四叉樹構(gòu)造的葉子即可對子積分線進(jìn)行積分計算。

    2.3 直線積分邊界元法

    直線積分邊界元法為直線積分法和邊界元法的結(jié)合,相較于傳統(tǒng)的邊界元法,在面對域積分時,仍能夠保持降維的優(yōu)點(diǎn)。本文邊界積分方程中出現(xiàn)的域積分式(11),(18)和式(19)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為以下形式:

    D 1 =∫? Ω? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?????? ??=? M ?i=0 ?n i 1( y )w i∫? L i? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d y 1 (32)

    D 2 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1( y )w iJac i∫? L i? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? y? ?d y 1 (33)

    D 3 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? x? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1( y )w i∫? L i? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? x? ?d y 1 (34)

    顯然,本文出現(xiàn)的域積分在直線積分邊界元法的轉(zhuǎn)化下,都變成了包含一維線積分的邊界積分。

    3 數(shù)值驗(yàn)證

    為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的有效性和精度,本文采用兩個例子進(jìn)行驗(yàn)證。第一個例子為一個承受溫度應(yīng)力的矩形梁,并已知其解析解,進(jìn)而可以驗(yàn)證本文所采用方法的精度。第二個例子為一個混凝土重力壩,計算結(jié)果將與有限元法模擬結(jié)果進(jìn)行對比,以驗(yàn)證本方法在考慮溫度應(yīng)力的大壩靜力分析中的有效性。

    3.1 矩形梁的熱彈性分析計算

    如圖1所示,該矩形梁的長度 L 為5,寬度 W 為3,彈性模量 E 為12 000 MPa,泊松比 ν 為0.25,熱膨脹系數(shù) k 為0.000 015 K? -1 。三邊鉸支,一邊自由,溫度場呈二次函數(shù)分布,具體表達(dá)式為

    θ y =s 2y 2+s 1y+s 0 (35)

    式中: s 0=0,s 1=-50,s 2=50 。

    相應(yīng)的位移和應(yīng)力的解析解為

    u y(y)= 1+v 1-v k? 1 3 s 2 y 3+ ( W 2 )? 3 +

    1 2 s 1 y 2- ( W 2 )? 2 +s 0 y+ W 2???? (36)

    σ? xx =- E 1-v kθ (37)

    本算例中將梁的邊界離散為僅80個單元,并將利用直線積分邊界元法進(jìn)行計算得到的結(jié)果與解析解進(jìn)行對比。選取了直線 x =0上的9個內(nèi)部點(diǎn)作為對比,具體結(jié)果分別列于表1和表2。結(jié)合圖2和圖3,可見數(shù)值解與解析解高度吻合,進(jìn)而證明了直線積分邊界元法的有效性和高精度。

    進(jìn)一步地,為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的精確性以及收斂性,現(xiàn)在將梁模型的邊界分別劃分為8,12,20,28,40,80,160,320個單元,并且利用以下公式計算樣本點(diǎn)的相對誤差

    R=? ??N ?i=1??? u e i-u n i ??2 / ??N ?i=1 ???u e i ??2?? (38)

    式中: u e i和u n i分別代表解析解和數(shù)值結(jié)果,N 代表邊界離散單元個數(shù)。

    具體計算結(jié)果如表3所列。顯然,隨著邊界離散單元個數(shù)的增加,相對誤差逐漸減小,并且在單元數(shù)僅為8,相對誤差就達(dá)到了0.96%,足以見本文方法的精度之高。

    3.2 受溫度荷載的大壩模型

    重力壩模型具體幾何尺寸如圖4所示。泊松比為0.3,彈性模量為35 000 MPa,熱膨脹系數(shù)為 0.000 015 K? -1 ,大壩底部為完全約束,其余邊界自由。并且假設(shè)壩體承受65 ℃的高溫沖擊。

    為了驗(yàn)證本文方法的正確性,在該數(shù)值模型的結(jié)果對比中,選取了在直線 x =3上的21個內(nèi)部點(diǎn),采用有限元模型與直線積分邊界元法計算結(jié)果進(jìn)行對比,如圖5所示。計算所得的應(yīng)力值 s? xx? 與有限元計算方法高度相符,證明了本文方法的正確性。

    4 結(jié) 論

    邊界元法的主要優(yōu)勢是可以將研究問題降低一維,并且已經(jīng)成功地應(yīng)用于靜力學(xué)分析。本文的主要研究內(nèi)容是利用邊界元法進(jìn)行熱應(yīng)力問題數(shù)值分析。但是由于考慮了溫度對應(yīng)力場的影響,在熱應(yīng)力的邊界積分方程中出現(xiàn)了域積分項(xiàng),為此本文提出采用一種新的直線積分邊界元法。該方法將直線積分法和邊界元法相結(jié)合,能夠?qū)⒂蚍e分轉(zhuǎn)化為包含一維積分的邊界積分,進(jìn)而延續(xù)了邊界元法只需對邊界進(jìn)行離散的優(yōu)勢。為了驗(yàn)證本文方法的正確性,首先利用一個有解析解的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了驗(yàn)證對比,驗(yàn)證了本文方法的高度精確性。此外,本文還將其運(yùn)用到大壩結(jié)果的熱應(yīng)力分析當(dāng)中去,通過與有限元法的對比,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的可行性。

    參考文獻(xiàn):

    [1]? ISHIKAWA ?M.Thermal stress analysis of a concrete dam[J].Computers&Structures,1991,40:347-352.

    [2] NOORZAEI J,BAYAGOOB K H,THANOON W A,et al.Thermal and stress analysis of Kinta RCC dam[J].Engineering Structures,2006,28:1795-1802.

    [3] 肖漢江,李祖民.考慮自生體積變形計算混凝土的溫度應(yīng)力[J].人民長江,1998,29(2):4-6.

    [4] 張銳,周偉,唐濤.構(gòu)皮灘混凝土高拱壩全過程溫度應(yīng)力仿真分析[J].人民長江,2008,39(15):74-77.

    [5] WANG ?Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.A NURBS-enhanced improved interpolating boundary element-free method for 2D potential problems and accelerated by fast multipole method[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2019,98:126-136.

    [6] ZHOU ?W,LIU B,WANG Q,et al.Formulations of displacement discontinuity method for crack problems based on boundary element method[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2020,115:86-95.

    [7] ZHOU W,LIU B,WANG Q,et al.NURBS-enhanced boundary element method based on independent geometry and field approximation for 2D potential problems[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2017,83:158-166.

    [8] 陳亮亮,李建華,王建祥.直接邊界元法在無限深透水地基滲流中的應(yīng)用[J].人民長江,2010,41(1):35-37.

    [9] DAVEY K,ALONSO RASGADD M T.Integration over simplexes for accurate domain and boundary integral evaluation in boundary element methods[J].Computers & Structures,2004,82(2):193-211.

    [10]? CHEN C S,BREBBIA C A,POWER H.Dual reciprocity method using compactly supported radial basis functions[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2015,15:137-150.

    [11] PARTRIDGE P W,BREBBIA C A.Computer implementation of the BEM dual reciprocity method for the solution of general field equations[J].International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering,2010,6:83-92.

    [12] ZHU S,SATRAVAHA P,LU X.Solving linear diffusion equations with the dual reciprocity method in Laplace space[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,1994,13:1-10.

    [13] NOWAK A J,BREBBIA C A.The multiple reciprocity method.A new approach for transforming BEM domain integrals to the boundary[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,1989,6:164-167.

    [14] WANG Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.A line integration method for the treatment of 3D domain integrals and accelerated by the fast multipole method in the BEM[J].Computational Mechanics,2016,59:611-624.

    [15] WANG Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.Line integration method for treatment of domain integrals in 3D boundary element method for potential and elasticity problems[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2017,75:1-11.

    [16] GAO X,ZHENG B,YANG K,et al.Radial integration BEM for dynamic coupled thermoelastic analysis under thermal shock loading[J].Computers & Structures,2015,158:140-147.

    (編輯:鄭 毅)

    Thermal stress analysis based on line integration boundary element method

    LIU Biao 1,GAO Yu 2,LI Tongsheng 2,WANG Qiao 1,ZHOU Wei 1

    ( 1.School of Water Resources and Hydropower Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China; 2.Datang Xuanwei Hydropower Development Co.,Ltd.,Qujing 655400,China )

    Abstract:

    As a semi-analytical method,boundary element method (BEM) has the advantage of dimension reduction,which means this method only need to disperse the boundary for the research field.However,when it comes to solving the thermo-elastic problems,the domain integral will appear in the boundary integral equations.In order to ensure the advantage of BEM,the line integration method (LIM) is used to transform the domain integral into the boundary integral based on the divergence theorem.The boundary integral can be calculated by the boundary element with integral points.An integral line can be constructed for each integral point,and the domain integral can be calculated by the line integral on the integral line.In order to obtain higher accuracy,the integral line can be cut into sub-lines by using the background cell.This method feasibility and accuracy is proved by a thermal-elastic analysis of a rectangular beam and thermal stress analysis of a gravity dam.

    Key words:

    line integration boundary element method;dimension reduction;domain integrals;thermal stress

    猜你喜歡
    積分法元法邊界
    拓展閱讀的邊界
    換元法在解題中的運(yùn)用
    基于離散元法的礦石對溜槽沖擊力的模擬研究
    論中立的幫助行為之可罰邊界
    巧用第一類換元法求解不定積分
    換元法在解題中的應(yīng)用
    “微元法”在含電容器電路中的應(yīng)用
    隨機(jī)結(jié)構(gòu)地震激勵下的可靠度Gauss-legendre積分法
    “偽翻譯”:“翻譯”之邊界行走者
    基于積分法的軸對稱拉深成形凸緣區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)值解
    美女午夜性视频免费| 亚洲第一青青草原| 久久久久久久久久久久大奶| e午夜精品久久久久久久| 我的亚洲天堂| 在线观看www视频免费| 男女无遮挡免费网站观看| 国产精品一区二区在线观看99| a在线观看视频网站| 两人在一起打扑克的视频| 久久久精品94久久精品| 真人做人爱边吃奶动态| 制服人妻中文乱码| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 国产亚洲精品一区二区www | 久久国产精品男人的天堂亚洲| 欧美日韩精品网址| 精品国产国语对白av| 日韩免费高清中文字幕av| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 老鸭窝网址在线观看| 少妇的丰满在线观看| 9色porny在线观看| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 妹子高潮喷水视频| 9色porny在线观看| 成人影院久久| av片东京热男人的天堂| 国产熟女午夜一区二区三区| 国产欧美日韩一区二区精品| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 日本一区二区免费在线视频| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 久久九九热精品免费| 国产一区有黄有色的免费视频| 亚洲精品一二三| www.av在线官网国产| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 国产黄色免费在线视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 亚洲精品中文字幕一二三四区 | 国产在视频线精品| 欧美在线黄色| 亚洲精华国产精华精| 国产男女内射视频| 日韩一区二区三区影片| 日本黄色日本黄色录像| 日本wwww免费看| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 免费在线观看影片大全网站| 色94色欧美一区二区| 日韩有码中文字幕| 丁香六月欧美| 久久人人97超碰香蕉20202| www.av在线官网国产| 亚洲人成电影免费在线| 咕卡用的链子| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 久久久国产一区二区| 欧美精品啪啪一区二区三区 | 国产成人一区二区三区免费视频网站| av电影中文网址| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 亚洲九九香蕉| 高清av免费在线| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 欧美激情高清一区二区三区| 国产成人啪精品午夜网站| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产一区有黄有色的免费视频| 久久精品国产亚洲av高清一级| 国产成人免费观看mmmm| e午夜精品久久久久久久| 欧美+亚洲+日韩+国产| 亚洲五月色婷婷综合| 精品国产乱子伦一区二区三区 | 天天影视国产精品| 欧美黑人欧美精品刺激| 日本黄色日本黄色录像| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 99久久综合免费| 咕卡用的链子| 动漫黄色视频在线观看| 飞空精品影院首页| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| cao死你这个sao货| 91大片在线观看| 久久人人爽人人片av| 国产一卡二卡三卡精品| 久久久国产成人免费| 久久 成人 亚洲| 亚洲伊人色综图| 黄色视频,在线免费观看| 两人在一起打扑克的视频| av不卡在线播放| h视频一区二区三区| 日韩视频一区二区在线观看| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 嫩草影视91久久| av在线老鸭窝| 久久久久精品人妻al黑| 99国产精品一区二区蜜桃av | 脱女人内裤的视频| 亚洲av片天天在线观看| 韩国高清视频一区二区三区| 国产免费av片在线观看野外av| 超色免费av| 精品一区二区三区av网在线观看 | 在线观看一区二区三区激情| 18在线观看网站| 欧美久久黑人一区二区| 中文字幕制服av| 99国产综合亚洲精品| 久久久久国产一级毛片高清牌| 午夜激情av网站| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 久久香蕉激情| 国产老妇伦熟女老妇高清| 欧美午夜高清在线| 成年人黄色毛片网站| 免费观看av网站的网址| 老司机午夜福利在线观看视频 | 少妇 在线观看| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲三区欧美一区| 成人免费观看视频高清| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 国产在线视频一区二区| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 国产精品久久久久成人av| 精品视频人人做人人爽| 欧美日韩一级在线毛片| 又黄又粗又硬又大视频| 亚洲国产精品999| 国产国语露脸激情在线看| 咕卡用的链子| 亚洲国产精品999| 人人妻人人澡人人看| 亚洲精品国产av成人精品| 美女中出高潮动态图| 最新的欧美精品一区二区| 丁香六月欧美| 一区福利在线观看| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频 | 中国美女看黄片| 91老司机精品| 国产野战对白在线观看| 国产色视频综合| 真人做人爱边吃奶动态| 国产又色又爽无遮挡免| av片东京热男人的天堂| 丰满饥渴人妻一区二区三| 久久女婷五月综合色啪小说| 黑人猛操日本美女一级片| 激情视频va一区二区三区| 国产精品一区二区在线观看99| 一级片'在线观看视频| 99热全是精品| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 午夜久久久在线观看| 亚洲精品在线美女| 天堂中文最新版在线下载| av天堂久久9| 老熟妇仑乱视频hdxx| 99国产综合亚洲精品| 久久久精品94久久精品| 少妇粗大呻吟视频| 色精品久久人妻99蜜桃| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 国产av一区二区精品久久| 中文字幕人妻熟女乱码| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 精品久久久久久电影网| 日韩一区二区三区影片| 亚洲精品中文字幕一二三四区 | 亚洲国产欧美日韩在线播放| 一级片免费观看大全| xxxhd国产人妻xxx| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 色老头精品视频在线观看| 午夜福利,免费看| 操美女的视频在线观看| 999精品在线视频| 久久中文字幕一级| 久久午夜综合久久蜜桃| 国产日韩欧美视频二区| 欧美一级毛片孕妇| 中文字幕人妻熟女乱码| www.精华液| 真人做人爱边吃奶动态| 9热在线视频观看99| 久久人人爽人人片av| 亚洲欧美色中文字幕在线| 午夜福利在线观看吧| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 国产成人系列免费观看| 欧美日韩一级在线毛片| 麻豆乱淫一区二区| 欧美xxⅹ黑人| 一级毛片精品| 国产精品久久久人人做人人爽| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 人妻一区二区av| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 性色av一级| 亚洲性夜色夜夜综合| www.熟女人妻精品国产| 中文字幕制服av| 视频区欧美日本亚洲| 国产成人精品久久二区二区91| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 国产在线免费精品| 天天操日日干夜夜撸| 久久久久精品国产欧美久久久 | 午夜福利免费观看在线| 欧美中文综合在线视频| 嫩草影视91久久| 色精品久久人妻99蜜桃| 黑人操中国人逼视频| 两个人免费观看高清视频| 国产极品粉嫩免费观看在线| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 国产亚洲精品久久久久5区| 青春草亚洲视频在线观看| 乱人伦中国视频| 色精品久久人妻99蜜桃| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 成人亚洲精品一区在线观看| 高清在线国产一区| 国产野战对白在线观看| 国产国语露脸激情在线看| 欧美精品亚洲一区二区| h视频一区二区三区| 欧美亚洲日本最大视频资源| 国产精品久久久久成人av| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 啦啦啦免费观看视频1| 老汉色av国产亚洲站长工具| 18在线观看网站| 国产成人av教育| 99九九在线精品视频| 欧美变态另类bdsm刘玥| 少妇的丰满在线观看| 成人av一区二区三区在线看 | 一本大道久久a久久精品| 一二三四社区在线视频社区8| 中文字幕色久视频| av在线app专区| 成人手机av| 欧美国产精品va在线观看不卡| 久久久久精品人妻al黑| 久久久久久久久免费视频了| 久久精品国产亚洲av香蕉五月 | bbb黄色大片| 秋霞在线观看毛片| 男女下面插进去视频免费观看| 大片免费播放器 马上看| 欧美激情 高清一区二区三区| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 精品一区在线观看国产| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 亚洲av片天天在线观看| 女性生殖器流出的白浆| 看免费av毛片| 免费在线观看完整版高清| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 欧美乱码精品一区二区三区| www.自偷自拍.com| 亚洲精品美女久久av网站| 国产色视频综合| 国产高清videossex| 男人爽女人下面视频在线观看| 国产精品久久久久久精品古装| 狠狠狠狠99中文字幕| 黄色毛片三级朝国网站| 国产欧美日韩精品亚洲av| www.精华液| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 日本vs欧美在线观看视频| 久久久久久免费高清国产稀缺| 69av精品久久久久久 | 成人av一区二区三区在线看 | 97在线人人人人妻| 亚洲国产av影院在线观看| 国产一级毛片在线| 91国产中文字幕| 日韩 亚洲 欧美在线| 精品国产乱码久久久久久男人| 真人做人爱边吃奶动态| 五月开心婷婷网| 制服人妻中文乱码| 亚洲视频免费观看视频| 欧美精品av麻豆av| 久久久精品免费免费高清| 欧美一级毛片孕妇| 亚洲国产成人一精品久久久| 免费在线观看完整版高清| 女性被躁到高潮视频| 国产一区有黄有色的免费视频| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | a级片在线免费高清观看视频| 欧美日韩福利视频一区二区| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 久久久国产一区二区| 国产精品熟女久久久久浪| 久久天堂一区二区三区四区| 久久香蕉激情| 老司机影院成人| 美女高潮到喷水免费观看| 人人妻人人澡人人看| 99久久99久久久精品蜜桃| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 男女边摸边吃奶| 高清欧美精品videossex| 国产淫语在线视频| 亚洲av国产av综合av卡| 国产精品一区二区免费欧美 | 最新在线观看一区二区三区| 丝袜脚勾引网站| 久久久欧美国产精品| 性少妇av在线| 曰老女人黄片| 亚洲av美国av| bbb黄色大片| 丰满少妇做爰视频| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 亚洲人成电影观看| 咕卡用的链子| 高清视频免费观看一区二区| 成人三级做爰电影| 午夜精品国产一区二区电影| 久久精品国产亚洲av高清一级| 亚洲情色 制服丝袜| 91字幕亚洲| 男女床上黄色一级片免费看| 国产成人欧美在线观看 | 18禁黄网站禁片午夜丰满| 欧美精品亚洲一区二区| 在线天堂中文资源库| 欧美国产精品一级二级三级| 性色av一级| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 精品高清国产在线一区| 午夜福利视频在线观看免费| 久久九九热精品免费| av在线播放精品| 十分钟在线观看高清视频www| 午夜福利视频精品| 午夜免费成人在线视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 日本av免费视频播放| 咕卡用的链子| 亚洲欧美激情在线| 女性生殖器流出的白浆| 久久久久久久久免费视频了| 午夜福利乱码中文字幕| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 热re99久久国产66热| 亚洲欧美色中文字幕在线| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 无限看片的www在线观看| 五月开心婷婷网| 一级毛片电影观看| 国产真人三级小视频在线观看| 老司机午夜十八禁免费视频| 美女视频免费永久观看网站| 成年美女黄网站色视频大全免费| 精品国产乱子伦一区二区三区 | 国产高清videossex| 免费少妇av软件| 精品国产乱码久久久久久小说| 国产在视频线精品| 亚洲人成77777在线视频| 国产成人啪精品午夜网站| 日本91视频免费播放| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 老司机在亚洲福利影院| 久久久国产精品麻豆| 99久久精品国产亚洲精品| 天堂俺去俺来也www色官网| 视频区欧美日本亚洲| 我的亚洲天堂| 日韩精品免费视频一区二区三区| 欧美日本中文国产一区发布| 最新在线观看一区二区三区| 国产激情久久老熟女| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 欧美日韩亚洲高清精品| 成人免费观看视频高清| 精品久久蜜臀av无| 欧美 日韩 精品 国产| 老汉色av国产亚洲站长工具| 午夜福利,免费看| 亚洲免费av在线视频| 免费在线观看影片大全网站| 色精品久久人妻99蜜桃| 亚洲人成电影免费在线| 亚洲国产av影院在线观看| 男人爽女人下面视频在线观看| 18禁国产床啪视频网站| 午夜激情久久久久久久| 亚洲 国产 在线| 十八禁人妻一区二区| 亚洲欧美清纯卡通| 91精品三级在线观看| 婷婷丁香在线五月| 亚洲伊人色综图| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 不卡一级毛片| 天天操日日干夜夜撸| 日日夜夜操网爽| 久久毛片免费看一区二区三区| av又黄又爽大尺度在线免费看| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 亚洲国产欧美网| 国产真人三级小视频在线观看| 操美女的视频在线观看| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 69精品国产乱码久久久| 岛国在线观看网站| 叶爱在线成人免费视频播放| 日日夜夜操网爽| 国产精品国产av在线观看| 日本一区二区免费在线视频| 99热全是精品| 国产福利在线免费观看视频| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 国产精品 欧美亚洲| 亚洲精品一二三| 久久青草综合色| 免费高清在线观看日韩| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 丝袜人妻中文字幕| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产97色在线日韩免费| 两个人免费观看高清视频| 黄片播放在线免费| 黄色视频,在线免费观看| 国产老妇伦熟女老妇高清| 久久国产精品影院| tocl精华| 国产在线一区二区三区精| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 午夜影院在线不卡| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 成年人免费黄色播放视频| 丝袜美足系列| 亚洲黑人精品在线| 亚洲精品在线美女| av片东京热男人的天堂| av视频免费观看在线观看| 9色porny在线观看| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 午夜福利影视在线免费观看| 男女边摸边吃奶| 美女视频免费永久观看网站| 成人国产av品久久久| 国产男女超爽视频在线观看| 老司机亚洲免费影院| 麻豆av在线久日| 午夜视频精品福利| 精品欧美一区二区三区在线| 亚洲av美国av| 搡老熟女国产l中国老女人| 国产成人精品无人区| 国产视频一区二区在线看| 在线观看免费午夜福利视频| 啦啦啦免费观看视频1| 国产精品一区二区在线不卡| 91成年电影在线观看| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 国产精品成人在线| 国产亚洲精品第一综合不卡| 国产人伦9x9x在线观看| 91成年电影在线观看| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品成人在线| 91成人精品电影| 高清在线国产一区| 色94色欧美一区二区| 老熟妇乱子伦视频在线观看 | 黄色视频在线播放观看不卡| 69精品国产乱码久久久| 天天影视国产精品| 黄色a级毛片大全视频| 免费高清在线观看日韩| 一级a爱视频在线免费观看| 欧美日韩一级在线毛片| 亚洲国产看品久久| 黄色a级毛片大全视频| 香蕉丝袜av| 国产日韩欧美视频二区| 大香蕉久久成人网| 热re99久久精品国产66热6| 免费黄频网站在线观看国产| 男女免费视频国产| av电影中文网址| 黑丝袜美女国产一区| 午夜福利视频精品| www.av在线官网国产| 亚洲精品久久午夜乱码| 亚洲成人国产一区在线观看| 免费在线观看日本一区| 满18在线观看网站| 国产成人欧美| 大片电影免费在线观看免费| www.999成人在线观看| 国产精品久久久久成人av| 91国产中文字幕| 午夜福利视频在线观看免费| 亚洲情色 制服丝袜| 欧美激情高清一区二区三区| 啦啦啦啦在线视频资源| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 久久av网站| 91精品国产国语对白视频| 伊人亚洲综合成人网| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 一级片'在线观看视频| 成年人免费黄色播放视频| 成年人午夜在线观看视频| 午夜精品久久久久久毛片777| 日韩视频在线欧美| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 精品福利永久在线观看| 91字幕亚洲| 免费av中文字幕在线| 久久精品人人爽人人爽视色| 久久久久国产精品人妻一区二区| 国产成人av教育| 少妇被粗大的猛进出69影院| 中文字幕高清在线视频| a级毛片在线看网站| av线在线观看网站| 91大片在线观看| 精品国产乱码久久久久久男人| 热re99久久精品国产66热6| 中文字幕色久视频| 国产精品久久久人人做人人爽| 黑人欧美特级aaaaaa片| 亚洲精品美女久久av网站| 国产区一区二久久| 欧美国产精品一级二级三级| 亚洲精品一二三| 99国产精品99久久久久| 99国产综合亚洲精品| 国产老妇伦熟女老妇高清| 电影成人av| 性色av一级| 免费在线观看黄色视频的| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产高清videossex| 中文字幕人妻丝袜一区二区| av在线播放精品| 久久精品人人爽人人爽视色| 在线观看舔阴道视频| 大型av网站在线播放| 超碰97精品在线观看| 99热国产这里只有精品6| 国产亚洲精品第一综合不卡| 亚洲成国产人片在线观看| av视频免费观看在线观看| 久久热在线av| 色94色欧美一区二区| 欧美国产精品va在线观看不卡| 精品国产乱码久久久久久男人| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久 | 制服诱惑二区| 91字幕亚洲| 老司机午夜十八禁免费视频| 亚洲视频免费观看视频| 高清欧美精品videossex| 69精品国产乱码久久久| 久久久精品免费免费高清| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 成人手机av| 男女无遮挡免费网站观看| 亚洲av片天天在线观看| 两性夫妻黄色片| av欧美777| 亚洲欧美一区二区三区久久| tocl精华| 人妻 亚洲 视频| 美国免费a级毛片| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 精品视频人人做人人爽| 久久精品国产综合久久久| 最近最新免费中文字幕在线| 亚洲成人免费av在线播放| 亚洲色图综合在线观看| 亚洲av国产av综合av卡| 国产成人系列免费观看| 国产成人a∨麻豆精品| 国产黄频视频在线观看| 啦啦啦免费观看视频1| 99久久综合免费| 国产一区二区三区av在线| 精品人妻在线不人妻| 无限看片的www在线观看| 国产极品粉嫩免费观看在线| 欧美激情 高清一区二区三区| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 性少妇av在线| 精品人妻在线不人妻|