姜金平, 張曉雨, 王小霞

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

0 引 言

拉回吸引子是把相空間中過(guò)去時(shí)刻的有界集映射為當(dāng)前時(shí)刻的緊集，此后反應(yīng)擴(kuò)散方程的拉回吸引子被廣泛研究。20世紀(jì)90年代，Crauel等[1]研究隨機(jī)系統(tǒng)的漸近行為時(shí)，提出了拉回吸引子的概念。王芳平等[2]使用收縮函數(shù)的方法得到了帶時(shí)滯非經(jīng)典擴(kuò)散方程依賴于時(shí)間的拉回吸引子。Peng等[3]對(duì)在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，利用能量估計(jì)方法，證明了相關(guān)過(guò)程的最小拉回吸引子。史苑等[4]在求得弱解的適定性后，進(jìn)而得到了具有慣性項(xiàng)和強(qiáng)阻尼的Cahn-hilliard方程的整體吸引子。Riccardo等[5-7]估計(jì)了具有慣性項(xiàng)的黏性Cahn-Hilliard方程解。杜小芳等[8-10]應(yīng)用算子分解得到了反應(yīng)擴(kuò)散方程的全局吸引子。Anh等[11]應(yīng)用漸近估計(jì)得到了當(dāng)非線性項(xiàng)f分別滿足臨界和多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件時(shí)，帶時(shí)滯的非經(jīng)典擴(kuò)散方程拉回吸引子的存在性。蘇小虎等[12-14]研究了含與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)時(shí)梁方程吸引子的存在性。Maurizio[15]對(duì)具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程的全局吸引子及指數(shù)吸引子進(jìn)行了研究，但對(duì)該方程拉回吸引子的研究比較少。筆者運(yùn)用收縮函數(shù)的方法，結(jié)合文獻(xiàn)[11]的研究，證明具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程的拉回吸引子的存在性。

1 具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程

具有慣性項(xiàng)的Cahn-hilliard方程為

(1)

有界區(qū)域Ω?N,N≤3且具有光滑邊界，慣性項(xiàng)系數(shù)ε∈(0，1[，g=g(x)∈H，函數(shù)f滿足：

(Ⅰ)f∈C3(;

(Ⅱ)?λ≥0,δ≥0，f′(r)≥-λ+δ|r|p+2,

?r∈；

(Ⅲ)?M≥0,|f?(r)|≤M(1+|r|p),

?r∈,p≥0；

其中，λ1>0是A=-Δ的第一個(gè)特征值，若用F表示f的勢(shì)，可假設(shè)

2 預(yù)備知識(shí)

定義Hilbert空間族H2s=D(As),s∈R,內(nèi)積記為(As,As)，易知當(dāng)s1>s2時(shí)，Hs1?Hs2是稠密且緊的， 在Hilbert空間中

在下面的過(guò)程中，將U表示(u,ut)，U0表示(u0,u1)，為了方便，通常記為u或U,而不是(u,ut)。

定義1[15]對(duì)于方程(1)的正則性，引入其能量形式：

(2)

記

(3)

定義2[4]若u(x,t)是方程(1)的解，則有

(Δf(u),φ)=(g,φ)。

εutt+ut+Δ2-Δf(u)=g(x)，

(4)

由式(4)得utt∈H-1(0,τ,L2(Ω)),Δ2u∈H-1(0,τ,L2(Ω)),τ∈[0,T)。

3 解的適定性

定理1當(dāng)條件(Ⅰ)～(Ⅲ)成立，g∈H,(u0,u1)∈χ0，則方程(1)存在唯一的解u。

3.1 存在性的證明

令v=ut，則可得：

(5)

且V0=(v0,v1),V=(v,vt)。

設(shè)P是任意單調(diào)函數(shù)，使

‖U(t)‖0≤P(‖U0‖0)e-kt+P(‖g‖V′)，

(6)

且f(0)=0，則

‖V0‖0≤P(‖U0‖2)。

運(yùn)用A-1(vt+μv)與式(5)做內(nèi)積，得：

(f′(u)v,vt)+μ(f′(u)v,v)=0。

(7)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換可得：

(8)

選依賴于λ和μ的L>0,c>0，由插值不等式可得：

其中，c為式(6)右邊的部分。

由條件(Ⅱ)和插值不等式可得：

因此，存在σ>0，使

(9)

由式(8)，對(duì)足夠小的μ，存在與初值無(wú)關(guān)的k>0，可將式(7)變?yōu)?/p>

(10)

使用條件(Ⅰ)～(Ⅲ)和嵌入定理，可得非線性項(xiàng)與Au的內(nèi)積

(Af(u),Au)=(f′(u)?u,?Δu)≤

因此，當(dāng)δ足夠小，有

(11)

由文獻(xiàn)[10]的引理2可知，對(duì)R>0,d∈D(A)，有

cΩ‖d‖D(A)(1+R)-1，

(12)

(13)

由條件(Ⅲ)和式(12)可得：

通過(guò)式(9)和式(11)，估計(jì)式(10)，可得：

(14)

選擇合適的c使E+c替代式(14)中的E,式(14)可記為

由常微分定理和式(13)可知，存在一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)ρ，使

‖u‖+‖ut‖+‖utt‖≤ρ(‖U0‖2,‖g‖V′,t)。

3.2 唯一性的證明

設(shè)u,v是方程(1)的兩個(gè)解，令ω=u-v，有ω∈C([0,T);H2(Ω))∩C′([0,T);L2(Ω))和

(15)

由定義2可得:

(16)

將A-1φt與式(16)作內(nèi)積，并在(0，t)×Ω上積分，可得：

由條件(Ⅰ), (Ⅱ)可得

(17)

對(duì)任意s∈[0,T)，應(yīng)用估計(jì)

式(17)即為

由Gronwall引理可得：

φt(t)=0,?t∈[0,T)，

4 拉回吸引子的存在性

定義3[13]在空間中定義一個(gè)非自治動(dòng)力系統(tǒng)，令Q=,θτt=τ+t,?τ,t∈R，并且定義θ的拉回共圈φ(t,τ,U0)=U(t+τ,τ,y0)={u(t,τ),ut(t+τ)},其中,由方程解的存在性可知：

φ(t+s,τ,U0)=φ(t,s+τ,φ(s,τ,U0)),

證明方程(1)與A-1ut做內(nèi)積，可得：

(18)

式(1)與A-1αu做內(nèi)積，可得：

α(f(u),u)-α(g,A-1u)=0。

(19)

式(18)與式(19)相加得：

α(f(u),u)-α(g,A-1u)=0，

(20)

由式(2)可知，式(18)可記為

由條件(Ⅰ)、(Ⅱ)可知：

(21)

ki,i=1,2,…，為僅依賴于λ和λ1的常數(shù)，由于條件(Ⅰ),k2可以足夠小，使條件(Ⅱ)中δ=0的情況成立；Ci,i=1,2,…，為依賴于ε的大于0的常數(shù)。

(f(u),u)-(g,A-1u)。

(22)

將式(21)、(22)代入式(20)，可得：

(23)

由式(3)可知，若C2足夠大，有

(24)

取C3=min{k4,δ},C4=max{k7,C2}，則式(13)可記為

(25)

由式(23)可得：

(26)

式中，C5=C1+C2。

對(duì)式(26)在t-τ到t上積分得：

(27)

結(jié)合式(25)、(27)整理得：

故存在拉回吸收集。

定義4[15]對(duì)?m∈N,m≥1,σ>0,存在Cm>0,n>0且依賴于σ和t，使

證明由于W滿足方程(1),則

(28)

將A-1(Wt+βW)與式(28)做內(nèi)積，可得：

(29)

記

由條件(Ⅱ)，使用插值不等式和Young不等式，有

式中，C6～C8依賴于W。

由條件(Ⅱ)，令L>C8λ3，則

取β依賴于ε和L，且足夠小，則有

式中，C1>1。

由式(29)可得：

其中，k>0，由定義3可知，對(duì)足夠小的σ和T,

則

(30)

對(duì)式(30)使用Gronwall不等式，則有

定理4Ω∈N,N≤3,且具有光滑邊界?Ω，方程(1)中的非自治項(xiàng)g∈H,非線性函數(shù)f(u)滿足條件(Ⅰ)～(Ⅲ),由定理2和定理3驗(yàn)證了方程解集族的拉回漸近緊，從而得到具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程拉回吸引子的存在性。

5 結(jié) 論

(1) 將Faedo-Galerkin法應(yīng)用到了求解具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程能量解的存在性和唯一性問(wèn)題上,拓展了該方程求解的方法，為求解能量解提供了新的思路。

(2) 在研究具有慣性項(xiàng)Cahn-Hilliard方程的全局吸引子和指數(shù)吸引子的基礎(chǔ)上，采用壓縮函數(shù)的方法研究了N≤3時(shí)方程的拉回吸引子，完善了具有慣性項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程吸引子問(wèn)題，為研究該方程更高維度的吸引子提供了理論基礎(chǔ)。