田字形地震超材料甚低頻寬帶隙機理

李麗霞，李鵬國，賈 琪，李 玲

(1.西安建筑科技大學(xué)機電工程學(xué)院，西安 710055；2.西安建筑科技大學(xué)力學(xué)技術(shù)研究院，西安 710055)

0 引 言

地震是地殼快速釋放能量過程中造成振動，從而產(chǎn)生地震波的一種自然現(xiàn)象。地震波可分為縱波(P波)、橫波(S波)和面波三種形式，當(dāng)P波與S波到達地球自由面時會形成Rayleigh波。這些Rayleigh波的頻率主要集中在20 Hz以下，具有振幅大、衰減慢、傳播距離遠等特點，是造成建筑物破壞的主要因素。目前針對建筑物的防震保護，常見的減震措施是設(shè)置隔震支座、施加阻尼器等[1]。而這些技術(shù)是應(yīng)用在建筑物建造的初期，對于已建成的建筑設(shè)施很難進行保護。聲子晶體是人工設(shè)計的周期介質(zhì)材料，具有禁帶特性，可以抑制帶隙范圍內(nèi)的彈性波傳播[2-4]，產(chǎn)生與地震頻率相對應(yīng)的帶隙的聲子晶體又稱地震超材料[5]。近年來，一些學(xué)者提出一種新穎的隔震減震方法[6-10]，將地震超材料布置在建筑物的周圍形成周期屏障，利用其禁帶特性來調(diào)控和衰減Rayleigh波。

本文針對20 Hz以下的Rayleigh波提出了一種田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)，不僅具有低頻寬帶帶隙特性而且結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。采用有限元法計算了結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)函數(shù)。通過對帶隙機理的研究，進一步設(shè)計了不同方式填充下的結(jié)構(gòu)可以打開更寬的帶隙，并研究了其產(chǎn)生甚低頻寬帶的機理。最后，采用EI-Centro地震波對周期屏障進行了時程驗證。

1 田字形超材料屏障結(jié)構(gòu)與帶隙機理分析

1.1 單胞模型與計算方法

本文提出的田字形地震超材料屏障，周期性排列在建筑物周圍，如圖1(a)所示。田字形超材料單胞由外部口字形框體嵌套內(nèi)部十字形柱體組成。其中，口字形框體下端部分埋入土壤中，十字形柱體固定在土壤表面，如圖1(b)所示。藍色區(qū)域為混凝土，橙色區(qū)域為土壤。單胞幾何參數(shù)為：晶格常數(shù)a=2.5 m；口字形結(jié)構(gòu)邊長l=0.88a，寬度w1=0.08a，埋入深度hd=0.2a；十字形結(jié)構(gòu)寬度w2=0.08a，高度h=1.2a。研究表明[17]，當(dāng)土壤的厚度H>10a且底邊有固定邊界條件時，可以獲得表面波的色散關(guān)系和帶隙，并且當(dāng)土壤厚度繼續(xù)增加不會影響表面波色散關(guān)系。因此，本文取土體厚度H=40 m。屏障單元模型的材料參數(shù)如表1所示[18]。

表1 地震超材料結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of seismic metamaterial structure

對于均勻且各向同性的完全線彈性波介質(zhì)，在小變形和初始應(yīng)力為零的假設(shè)下，取這種介質(zhì)中任意體積微元定義為研究對象。根據(jù)彈性波理論，可建立介質(zhì)在笛卡爾坐標系下傳播的彈性波方程：

(1)

根據(jù)Bloch-Floquet定理[19]，在單元結(jié)構(gòu)的X方向和Y方向施加Bloch邊界條件，即位移幅度條件：

U(r+a)=eikaU(r)

(2)

式中：r為位移矢量；a為晶格常數(shù)；k為倒格子空間的波矢。

圖2 不可約Brillouin區(qū)Fig.2 Reduced Brillouin zones

在有限元計算中，給定一個波矢k值，即可求得一組結(jié)構(gòu)本征頻率。由于該單元為中心對稱結(jié)構(gòu)，只需沿著不可約Brillouin區(qū)(Γ-X-M-Γ)掃描波矢k如圖2所示，就可以求解結(jié)構(gòu)在這一方向的固有頻率。將不同方向的固有頻率按方向進行排列，即可得到屏障結(jié)構(gòu)的能帶圖。

對于有限元系統(tǒng)的周期結(jié)構(gòu)，需要計算頻響函數(shù)曲線來描述其傳輸特性。在周期結(jié)構(gòu)的一端施加激勵信號，另一端拾取其產(chǎn)生的加速度響應(yīng)。定義有限結(jié)構(gòu)的傳遞譜：

FR=20 lg(u1/u2)

(3)

式中：u1為輸出位移響應(yīng)；u2為輸入位移響應(yīng)。

1.2 帶隙與機理分析

采用商業(yè)有限元軟件COMSOL Multiphysics5.4對田字形地震超材料結(jié)構(gòu)進行了計算，得到了如圖3(a)所示的能帶結(jié)構(gòu)，其中聲錐用區(qū)域①隔離出來，表面波模態(tài)位于聲錐內(nèi)，體波模態(tài)位于聲錐外[20]。從圖中可以看出，在20 Hz以下存在一條完全帶隙 (灰色陰影部分)，完全帶隙頻率范圍為9～13.1 Hz。

為了探究產(chǎn)生帶隙的機理，給出了能帶結(jié)構(gòu)圖中特殊點A1的振動模態(tài)，如圖3(b)所示。從圖中可以觀察到，A1點的振動主要集中在田字形柱體上，其柱體頂部水平位移最大，土壤振動的位移幾乎為零，產(chǎn)生了明顯的局域共振現(xiàn)象，打開了全帶隙。

圖3 (a)能帶結(jié)構(gòu)；(b)特殊點模態(tài)振型Fig.3 (a) Band structure diagram; (b) mode shape diagram with periodic structure

為了驗證屏障產(chǎn)生的帶隙，建立如圖4所示的幾何模型，沿X方向周期排列10個單元屏障結(jié)構(gòu)，在Y方向施加周期性邊界條件。采用線位移來激發(fā)在土壤中傳播的體波和Rayleigh波[21]，在土壤左側(cè)激勵處沿Z軸負方向施加幅值為1的線位移激勵。波源距周期屏障的距離設(shè)置為25a，這樣做的目的是可以將體波耗散在土壤中，使得周期屏障只受Rayleigh波的影響。為了消除由土壤邊界反射的影響，在土壤的下底面以及兩側(cè)表面均施加完美匹配層(PLM)，其厚度為3a。在土壤右側(cè)響應(yīng)處拾取位移幅值響應(yīng)，得到頻率響應(yīng)函數(shù)曲線如圖5所示。可以看出，存在兩個衰減域(灰色陰影部分)，兩個衰減區(qū)域的頻率分別為4.5～8 Hz和9～13 Hz，衰減總范圍可達7.5 Hz，這與周期結(jié)構(gòu)在Γ-X方向上的帶隙基本匹配。

圖4 頻域分析有限周期模型內(nèi)的位移場分布Fig.4 Finite period model of frequency domain analysis

圖5 方向帶隙和頻率響應(yīng)曲線 Fig.5 Directional band gap and frequency response curve

進一步研究表面的振動特性，探討田字形超材料帶隙產(chǎn)生的機制，圖6給出了周期屏障在帶隙內(nèi)頻率處(9.1 Hz)沿X方向的位移場。在屏障陣列的內(nèi)部，振動幅度在第一個屏障柱體處最大值，然后朝著入射方向呈指數(shù)衰減，因此在周期屏障的右側(cè)觀察到低透射率。第一屏障柱體處的振動模式沿入射方向是反對稱的，沿正交方向?qū)ΨQ，這與實驗的結(jié)果是一致的[22]。因此，超材料屏障產(chǎn)生的全帶隙明顯與柱體的局域共振機制有關(guān)。

圖6 周期結(jié)構(gòu)頻率范圍內(nèi)的位移場Fig.6 Displacement field distribution in frequency range of special points

1.3 田字形屏障幾何參數(shù)對帶隙的影響

當(dāng)保持土壤以上立柱高度h及其他參數(shù)不變，改變口字形框體埋入土壤的深度hd，得到了帶隙隨hd的變化曲線如圖7(a)所示。從圖中可以看出，隨著口字形框體埋入深度的增大，帶隙起始頻率逐漸升高。而對于截止頻率，當(dāng)埋入深度較小時截止頻率逐漸升高，但是當(dāng)埋入深度超過0.5 m時，截止頻率保持13.1 Hz不變。產(chǎn)生以上變化的原因是隨著hd的增加，系統(tǒng)剛度增大，導(dǎo)致起始和截止頻率升高；當(dāng)截止頻率上升到聲錐高度時保持不變，其聲錐高度由晶格常數(shù)決定，晶格常數(shù)a為恒值，因此，當(dāng)hd超過0.5 m時，截止頻率保持不變。

圖7 (a) 埋入深度hd對帶隙的影響；(b)柱體高度h對帶隙的影響Fig.7 (a) Effect of embedded depth hd on band gap; (b) effect of column height h on band gap

當(dāng)埋入深度hd=0.5 m時，其他幾何參數(shù)保持不變，研究了柱體在土壤以上高度h對帶隙的影響，如圖7(b)所示。從圖中可以看出，隨著柱體高度的增加，帶隙逐漸向低頻移動，帶寬呈增加趨勢。這是由于當(dāng)柱體的高度增加時，其質(zhì)量增大，同時柱體的柔度增大，剛度降低，兩者的變化均導(dǎo)致帶隙向低頻移動。因此，通過合理設(shè)計柱體的高度，可以更好地衰減10 Hz以下的地震波，并且能產(chǎn)生更寬的衰減范圍。

2 田字形填充單元結(jié)構(gòu)與傳輸特性

2.1 田字形全部填充單元結(jié)構(gòu)

根據(jù)上節(jié)分析，帶隙的打開是因為田字形柱體的局域共振。對于田字形混凝土構(gòu)成的結(jié)構(gòu)單元，將其單元的4個區(qū)域進行土壤填充后，增大了柱體的質(zhì)量，從而可能會降低帶隙的起始頻率，更有利于對超低頻范圍內(nèi)的地震波實現(xiàn)有效衰減。進一步，設(shè)計了田字形全部填充單元結(jié)構(gòu)，即利用土壤對田字形單元結(jié)構(gòu)的四個區(qū)域進行填充，其結(jié)構(gòu)的尺寸與圖1保持一致。該填充單元結(jié)構(gòu)如圖8(a)所示。同時，計算了全部填充單元結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，如圖8(b)所示，從圖中可以看出，存在一條完全帶隙，帶隙范圍為6.8～11 Hz。

圖8 (a)全部填充單胞；(b)能帶結(jié)構(gòu)Fig.8 (a) All filled cells; (b) band structure diagram

進一步給出了全部填充單胞能帶結(jié)構(gòu)特殊點A2和B2的模態(tài)振型，如圖9所示。從圖中可以看出，A2點的振型與A1點的振型一致，其局域共振打開了全帶隙。對于B2點的振型，振動大部分集中在田字形柱體上和土壤上表面，其振動模式呈縱向振動。

圖9 能帶特殊點處模態(tài)振型圖Fig.9 Mode shape diagram with special points

利用有限元軟件同樣計算了排列10個周期單元的田字形全部填充結(jié)構(gòu)的傳輸特性，結(jié)果如圖10所示?？梢钥闯?，頻響函數(shù)曲線在Γ-X方向存在三個衰減域：第一個衰減域為3.3～4.4 Hz；第二個衰減域為6.8～11 Hz；第三個衰減域為11.6～13.1 Hz。可以看出前兩個衰減域的起始頻率均低于無填充田字形結(jié)構(gòu)的衰減域，對超低頻范圍內(nèi)的表面波有效地實現(xiàn)了屏蔽。

圖10 填充結(jié)構(gòu)的方向帶隙和頻響函數(shù)曲線Fig.10 Directional band gap and frequency response function curves of filled structures

2.2 填充物對帶隙的影響

采用土壤填充，分別對田字形屏障的4個填充區(qū)域進行不同的數(shù)量填充，得到了填充數(shù)量對帶隙的影響曲線，如圖11所示。從圖中可以看出，隨著填充數(shù)量的增大，帶隙逐漸向低頻移動，帶隙寬度基本保持不變。這是因為填充數(shù)量的增加，田字形整體柱體的質(zhì)量也相繼增大，導(dǎo)致帶隙向低頻移動。從圖中還可以看出，當(dāng)填充數(shù)量等于2時，分別有相鄰和對角兩種方式的填充，且這兩種方式產(chǎn)生的帶隙基本一致。因此，增加填充的數(shù)量有利于產(chǎn)生更低頻帶隙。

圖11 填充數(shù)量對帶隙的影響Fig.11 Influence of filling number on band gap

進一步，探究了填充物土壤的材料參數(shù)對帶隙的影響，當(dāng)田字形結(jié)構(gòu)的4個填充區(qū)域全部填充時，圖12(a)、(b)分別給出了填充物土壤的密度和楊氏模量對帶隙的影響曲線。從圖12(a)中可以看出，隨著填充物密度的增加，帶隙向低頻移動。這是因為，隨著密度的增加，填充的質(zhì)量增加，導(dǎo)致田字形柱體質(zhì)量的增加，帶隙向低頻移動。從圖12(b)中可以看出，隨著填充物楊氏模量的增加，帶隙中心頻率基本保持不變，帶隙上下邊緣也基本保持不變。

圖12 (a)填充物的密度對帶隙的影響；(b)填充物的楊氏模量對帶隙的影響Fig.12 (a) Effect of density on band gap; (b) effect of Young’s modulus on band gap

2.3 正、負梯度填充屏障結(jié)構(gòu)

上文的分析表明，田字形結(jié)構(gòu)隨著填充物數(shù)量的增加，帶隙起始頻率只會向低頻移動，但不能同時滿足低頻和寬帶隙的要求?？紤]到帶隙的局域共振形成機理，若對周期方向的田字形結(jié)構(gòu)的4個區(qū)域做正梯度或負梯度填充，即會改變柱體的質(zhì)量，形成質(zhì)量梯度，則將有可能實現(xiàn)擴寬帶隙的范圍，從而達到更好的隔震效果。定義在波傳播方向，由未填充到填充4個的排列方式為正梯度填充，反之則為負梯度填充。沿X方向分別布置10個單元屏障，其中兩個單元屏障為一組，總共為5組。正梯度填充是將5組屏障從0個填充到4個填充；負梯度填充是從4個填充到0個填充，正、負梯度填充單元結(jié)構(gòu)如圖13所示。分別計算了正、負梯度填充結(jié)構(gòu)的傳輸特性如圖14所示，圖中虛線為正梯度填充屏障的頻響曲線，實線為負梯度填充屏障的頻響曲線?？梢钥闯觯合啾扔跓o填充和全部填充屏障，正、負梯度填充屏障結(jié)構(gòu)具有更寬的衰減域，且二者的衰減范圍相同，都覆蓋了3.3～13.1 Hz的寬頻范圍。

圖13 正、負梯度填充周期結(jié)構(gòu)Fig.13 Positive and negative gradient filled periodic structures

圖14 正、負梯度填充屏障頻率響應(yīng)曲線Fig.14 Positive and negative gradient filled barrier frequency response curve

進一步，分別給出了正、負梯度填充屏障所不同頻率下的位移場分布，分別如圖15、16所示。圖15(a)、(b)分別為正梯度填充屏障在頻率為3.8 Hz和9.8 Hz下的位移場分布；圖16(a)、(b)給出了負梯度填充屏障在頻率為3.8 Hz和9.8 Hz下的位移場分布。從圖中可以看出，當(dāng)Rayleigh波經(jīng)過正、負梯度填充屏障時，兩屏障都可以有效地保護建筑物免受地震波破壞。

當(dāng)Rayleigh波到達正梯度填充屏障時，帶隙內(nèi)頻率較低的Rayleigh波能量主要集中在屏障立柱上，形成類似于“彩虹捕獲”的現(xiàn)象[23]。這是因為，不同數(shù)量填充的屏障會產(chǎn)生不同的較低諧振頻率(3.3～4.5 Hz)，因此，當(dāng)位于諧振頻率范圍內(nèi)的Rayleigh波通過柱體會使得不同頻率的波被捕獲在不同的位置，從而使波不能向前傳播。當(dāng)頻率為3.8 Hz的波從左向右傳播時，Rayleigh波會越傳越慢，最終會在2個填充屏障(對應(yīng)起始頻率為3.801 Hz)附近停止向前傳播，并且波的能量被局域在該位置，如圖15(a)所示。當(dāng)高于諧振頻率(大于4.5 Hz)的Rayleigh波傳播時，發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化成無害的體波耗散在土壤中。

圖15 正梯度填充屏障位移場分布Fig.15 Displacement field distribution of positive gradient filled barrier

負梯度填充屏障時，當(dāng)帶隙范圍內(nèi)的Rayleigh波到達屏障，土壤和前幾周期屏障均產(chǎn)生較大的位移，并且Rayleigh波發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，將Rayleigh波轉(zhuǎn)化體波耗散在土壤中，從而起到減震隔震的目的。

梯度填充屏障結(jié)構(gòu)之所以產(chǎn)生甚低頻寬帶隙是因為梯度填充屏障中的全部填充屏障具有甚低頻的帶隙特性，并且由于梯度填充屏障是由不同的結(jié)構(gòu)單元組成，每個單元都具有特定的頻率范圍，而梯度填充屏障具備了所有單元的帶隙特性，因此，梯度填充屏障具有甚低頻寬帶帶隙特性。

圖16 負梯度填充屏障位移場分布Fig.16 Displacement field distribution of negative gradient filled barrier

為了探究梯度填充屏障對于不同方向地震波的衰減效果，計算了正梯度填充屏障在ΓX和ΓM方向的透射譜，結(jié)果如圖17所示。從圖中可以看出，在這兩個個方向都存在衰減域，并且其衰減范圍基本一致，說明了正梯度填充屏障可以衰減多方向的Rayleigh波。

圖17 正梯度在不同方向的頻響曲線Fig.17 Frequency response curves of positive gradient in different directions

為了驗證所設(shè)計的屏障結(jié)構(gòu)在真實地震波作用下的隔震減震效果，選取具有代表性的EI-Centro地震波[24]對如圖13(a)所示的10周期正梯度填充屏障進行時程分析。在圖13(a)所示的激勵A(yù)點處沿Z方向輸入EI-Centro地震波，在拾取B點處分別拾取X、Z方向加速度響應(yīng)。圖18(a)為地震波的加速度時程圖，圖18(b)為地震波的頻譜曲線圖，可以看出，EI-Centro地震波的主頻集中在10 Hz以下，基本上覆蓋了正梯度填充屏障結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的衰減域。

圖18 (a)EI-Centro地震波時程圖；(b)EI-Centro地震波頻譜曲線Fig.18 (a) EI-Centro seismic wave time history diagram; (b) EI-Centro seismic wave spectrum curve

圖19(a)、(b)分別給出了正梯度填充屏障在X和Z方向的加速度響應(yīng)。由于正梯度填充屏障產(chǎn)生的衰減域基本上覆蓋了EI-Centro地震波的主頻，因此可以看出，當(dāng)?shù)卣鸩ń?jīng)過周期屏障后，在X和Z兩個方向的加速度響應(yīng)都有明顯的衰減，在X方向加速最大值衰減超過70%；在Z方向加速度最大值衰減超過80%。進一步驗證了所設(shè)計的正梯度填充屏障具有良好的隔震效果，可以保護建筑結(jié)構(gòu)免受地震波的危害。

圖19 (a)X方向加速度響應(yīng)；(b)Z方向加速度響應(yīng)Fig.19 (a) X direction acceleration response; (b) Z direction acceleration response

3 結(jié) 論

在減震隔震的研究基礎(chǔ)上，本文提出了一種田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)，采用有限元法計算了能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)曲線，分析了其產(chǎn)生帶隙的機理，討論了填充物材料參數(shù)對帶隙的影響曲線，最后進行了真實地震波時程驗證，得出以下結(jié)論：

(1)由部分埋入的口字形柱體與未埋入的十字形柱體連接組成的田字形地震超材料結(jié)構(gòu)，具有強度高、穩(wěn)定性強及調(diào)節(jié)帶隙靈活性強的特點。

(2)田字形地震超材料屏障結(jié)構(gòu)對于20 Hz以下的Rayleigh波具有良好的衰減效果，衰減總范圍可達7.5 Hz，其帶隙的打開是因為柱體的局域共振。將田字形柱體進行填充，可對帶隙的位置進行調(diào)節(jié)，形成甚低頻帶隙；通過設(shè)計正、負梯度填充方式，可實現(xiàn)拓寬帶隙的范圍。

(3)正、負梯度填充屏障結(jié)構(gòu)兩者的衰減范圍一致，并且其隔震機理都是基于屏障的局域共振，但二者在低頻的隔震減震方式不同。正梯度填充屏障是通過周期屏障的局域共振將諧振頻率范圍內(nèi)的表面Rayleigh波能量局域在柱體中，形成一種類似于“彩虹捕獲”的作用，將高于諧振頻率的Rayleigh波通過偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為體波，從而抑制Rayleigh波向前傳播實現(xiàn)隔震的目的；負梯度填充屏障是經(jīng)過周期屏障的局域共振將表面Rayleigh波轉(zhuǎn)化為體波耗散在土壤中起到隔震的作用。