淺談高中數(shù)學(xué)解析幾何的解題技巧和策略

【摘 要】解析幾何既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)高考的一大熱點。但由于該類題目涵蓋的知識點非常廣泛，計算過程比較復(fù)雜，許多學(xué)生在解題過程中頻頻出錯，很難形成有效的解題思路。為此，文章主要對如何更好地在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進一步提升學(xué)生的解析幾何能力進行了探討，從解題觀、解題技巧以及解題策略三個方面出發(fā)，提出了一些建設(shè)性的意見，希望有助于提升學(xué)生解決幾何問題的能力。

【關(guān)鍵詞】解析幾何;高中數(shù)學(xué);解題策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2022）06-0118-02

通過對近些年的數(shù)學(xué)高考情況進行分析，筆者發(fā)現(xiàn)解析幾何相關(guān)問題在考試中頻頻出現(xiàn)，涉及知識面較為寬廣，綜合性內(nèi)容較強，因此很多學(xué)生在解決此類問題時往往抓不到關(guān)鍵[1]。如何幫助學(xué)生有效提升解答解析幾何問題的能力，筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，進行了以下探討。

1? ?高中數(shù)學(xué)解析幾何的解題觀

怎樣解決學(xué)生難以掌握解析幾何知識的問題呢？教師又該如何開展解析幾何教學(xué)呢？為此，筆者借鑒了波利亞的解題思想進行探討，以期為學(xué)生樹立正確的解題觀，為教師樹立正確的教學(xué)觀。波利亞在《怎樣解題》一書中將解題分成了四個步驟，分別是理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案與回顧反思，這四個步驟也稱“解題四重奏”[2]。

1.1? 理解題目階段

熟悉題目指的是學(xué)生需要理解題目的文字表達內(nèi)容，最好能用自己的話復(fù)述題目的內(nèi)容。此時教師需要檢查學(xué)生是否了解題目中的已知量、題目中包含的重要條件以及所求的問題。進而在熟悉題目的基礎(chǔ)上加深對題目內(nèi)容的理解，并列出通過分析得到的條件。

1.2? 擬定方案階段

解決問題的關(guān)鍵是擬定一個解題方案，這個方案可以從以下幾個方面形成：①從以往獲得的知識和經(jīng)驗中形成;②將原來的題目進行有效轉(zhuǎn)化，通過已知條件尋求隱藏條件;③通過引入輔助問題來獲得好的解題思路。

1.3? 執(zhí)行方案階段

擬定了解題方案后，則需要結(jié)合題目內(nèi)容進行解題，在解題過程中要保證計算正確。若發(fā)現(xiàn)解答的過程不符合預(yù)期，應(yīng)及時調(diào)整解題方案，重新審視解題思路，避免最終結(jié)果出錯。在此過程中，教師要及時提醒學(xué)生，如“你是否能證明它是正確的？”“你的步驟是否有問題？”

1.4? 回顧反思階段

學(xué)生通過回顧反思可以進一步厘清自己的解題思路，審查自己的解題過程，具體做法如下：

①結(jié)合答案，對題目進行檢驗，保證解題結(jié)果的正確性;②通過另外一種解題方法來證明結(jié)果的正確性;③反思本題與類似題目之間的聯(lián)系，將經(jīng)驗推廣到與其相似的題目中，實現(xiàn)舉一反三;④進一步探討錯因，彌補知識漏洞。

2? ?高中數(shù)學(xué)解析幾何的解題技巧

2.1? 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法既包含了數(shù)字符號，又包含了數(shù)學(xué)圖形，是將數(shù)學(xué)關(guān)系和圖形關(guān)系互相轉(zhuǎn)化的一種重要數(shù)學(xué)思想。高中數(shù)學(xué)中許多習(xí)題的推導(dǎo)過程較復(fù)雜，利用數(shù)形結(jié)合法能降低學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的難度，快速破解高中解析幾何難題，極大地提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效率。因此，數(shù)形結(jié)合法成了解析幾何中一種常用的方法，學(xué)生在解題應(yīng)用中需要掌握好以下關(guān)系：①數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”是以幾何條件為背景建立的;②根據(jù)題目的數(shù)字內(nèi)容，并且能夠結(jié)合題意解釋其對應(yīng)的幾何意義;③明確函數(shù)表達式和函數(shù)圖象的關(guān)系;④明確實數(shù)和數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系[3]。

2.2? 向量法

向量法也是高中數(shù)學(xué)幾何題目中經(jīng)常使用的一種解題技巧，可以簡化題目的難度，能夠有效提升學(xué)生的幾何解題能力。向量法指的是利用向量來解題，用向量表示幾何體的空間位置。在一些題目中，可以采用向量的方式表示夾角、坐標等，如求異面直線距離或者異面角時，使用向量法能夠極大地降低解題的難度[4]。

2.3? 割補法

割補法指的是在解題過程中使用分割或者補充的方法，將解析幾何的題目簡化，從而降低解題的難度。具體的操作過程如下：使用割補法將原有的幾何圖形進行分割或者補充，得到比較規(guī)則的幾何體，再利用該幾何體的性質(zhì)和定理進行解題[5]。

3? ?高中數(shù)學(xué)解析幾何的解題策略

3.1? 梳理題目條件

梳理題目中的條件內(nèi)容，也就是要理解題目的語言。教師可在教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生掌握分析題目已知條件和位置條件的方法。解析幾何大多數(shù)題目條件較多，涵蓋的知識內(nèi)容較廣，難度較大，通常還伴有新概念和陌生情境的出現(xiàn)，對學(xué)生的閱讀理解、抽象概括、自主探究和推理能力都有很高的要求。教師需要引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化成為圖形，或是將圖形轉(zhuǎn)化成為文字符號，使復(fù)雜問題簡單化，通過梳理題目條件幫助學(xué)生更好地理解題目要求。

3.2? 提取有效信息

好的解題思路主要源于過去的經(jīng)驗和學(xué)過的知識。因此，教師在解題教學(xué)過程中有必要引導(dǎo)學(xué)生回顧以往相關(guān)知識點，通過聯(lián)想類似題目，從以前的解題思路中找尋突破口。如證明直線過定點的問題，可以采取以下幾種解題策略：一是找出定點，通過定點坐標得出直線的關(guān)系;二是將題目信息和問題進行聯(lián)系，從題目信息中找到突破口，從而得到直線與定點的關(guān)系。再如求圓錐曲線中的最值問題時也需要提取有效信息，建立目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的圖象來求取最值。教師在教學(xué)時可以通過經(jīng)典例題分析，讓學(xué)生掌握該類題型的解題方式，從而豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗。

3.3? 簡化運算過程

運算是解析幾何中最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。在解答解析幾何題目時，大部分學(xué)生運算效率較低，運算過程容易出錯，長期如此會導(dǎo)致學(xué)生對解析幾何運算產(chǎn)生畏懼心理。為有效解決這一問題，教師應(yīng)加強對幾何解題教學(xué)中計算方法的研究，包括計算節(jié)點分析、算法長度預(yù)測、算法的理解等。如在圓錐曲線的計算中字母較多、信息量大，許多學(xué)生在解題的過程中經(jīng)常計算錯誤。但通過對考試題型進行分析，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的問題主要是在選擇題中出現(xiàn)，學(xué)生在解題的過程中可以采用估算的方式，通過預(yù)估線段的長度，代入公式進行求解，能夠幫助學(xué)生提升計算的效率。

3.4? 掌握多種解題技巧

掌握解題技巧是解題的關(guān)鍵。從實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解析幾何解題的過程中遇到的問題較多。有的學(xué)生反映解析幾何的計算過程很復(fù)雜，計算結(jié)果容易錯誤。大部分學(xué)生覺得解題方法太難，浪費了大量的解題時間。因此，教師在解析幾何解題教學(xué)中應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生掌握多種解題技巧，提升學(xué)生解題的速度和正確性。如在高中幾何問題的解決過程中，學(xué)生可以構(gòu)造輔助圖形，將解析幾何問題特殊化處理。學(xué)生首先要分析原始圖形的特點，然后結(jié)合題目的條件，將其轉(zhuǎn)化成特殊圖形，從而降低題目的難度。再結(jié)合特殊圖形的特征和規(guī)律，利用相關(guān)定理來求解。

總之，教師應(yīng)該重視提升學(xué)生數(shù)學(xué)解析幾何的解題能力。通過上述解題觀、解題技巧和解題策略的闡述，筆者希望能為廣大高中數(shù)學(xué)教師提供參考。但在具體的教學(xué)中還需要各位教師不斷深入探索，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，采取針對性的教學(xué)措施，提升學(xué)生的解題能力。

【參考文獻】

[1]張宇輝.分析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的解題技巧[J].中學(xué)生數(shù)理化（自主招生），2019（9）.

[2]張繼連.解析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2019（2）.

[3]陳明朋.高中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想運用之探析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2015（7）.

[4]夏碧芳.解析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運用[J].數(shù)理化解題研究，2020（1）.

[5]魏海.試分析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的運用探究[J].青少年日記：教育教學(xué)研究，2016（2）.

【作者簡介】

張小鳳（1975～），女，漢族，廣東曲江人，本科，中學(xué)一級教師。研究方向：高考。