三種系統(tǒng)非線性微分方程的奇點(diǎn)分析與模擬

耿 杰

(安徽信息工程學(xué)院 通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000)

通過(guò)常微分方程的理論,可以發(fā)現(xiàn)在局部的定性分析中,非線性系統(tǒng)在正常點(diǎn)附近的軌線結(jié)構(gòu)是一般的, 但在奇點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的情況, 也因此奇點(diǎn)成為了非線性系統(tǒng)定性理論中一個(gè)非常重要的研究對(duì)象[1]. 奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性對(duì)于其他各個(gè)學(xué)科的研究都有一定的幫助， 例如經(jīng)濟(jì)學(xué)(經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型)、 生物學(xué)(捕食模型)等[2]. 這就需要對(duì)非線性微分方程的奇點(diǎn)的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性及唯一性有一定的了解[3]. 本文通過(guò)奇點(diǎn)與極限環(huán)的特性與定理分別建立二次系統(tǒng)、 三次系統(tǒng)與三維系統(tǒng)的數(shù)值模型， 驗(yàn)證微分方程奇點(diǎn)穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性.

1 奇點(diǎn)與極限環(huán)的概述

1.1 奇點(diǎn)與極限環(huán)的概念

(1)奇點(diǎn)的概念

圖1 奇點(diǎn)的類型和特征方程根之間的關(guān)系圖

(2)極限環(huán)的概念與判別方法

孤立的閉軌線稱為極限環(huán). 如圖2所示.

圖2 極限環(huán)

當(dāng)極限環(huán)附近的軌線均正向(即時(shí))趨近于它時(shí)， 稱此極限環(huán)是穩(wěn)定的； 如果軌線是負(fù)向(即時(shí))趨近此極限環(huán)， 則稱它是不穩(wěn)定的. 當(dāng)此極限環(huán)的一側(cè)軌線正向趨近于它， 而另一側(cè)軌線負(fù)向趨近于它時(shí)， 稱此極限環(huán)是半穩(wěn)定的.

1.2 解的穩(wěn)定性與極限環(huán)的存在性

(1)二次系統(tǒng)的奇點(diǎn)與極限環(huán)

文獻(xiàn)[4]研究了如下二次系統(tǒng)：

(1)

其中a>0,σ,l,m,n為實(shí)數(shù). 可以很清晰地看出， 系統(tǒng)(1)的一次線性近似方程的系數(shù)矩陣為

定理1當(dāng)σ<0時(shí)， 零解(奇點(diǎn))是漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)σ>0時(shí)， 零解(奇點(diǎn))是不穩(wěn)定的.

文獻(xiàn)[5]研究了如下二次系統(tǒng)：

(2)

其中aij,c均為常數(shù). 系統(tǒng)(2)在奇點(diǎn)O(0, 0)的一階線性近似方程組的系數(shù)矩陣為

定理3考慮系統(tǒng)(2)， 那么

(ⅰ)當(dāng)a22<0,a12a21<0時(shí)， 系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)O(0, 0)漸近穩(wěn)定；

(ⅱ)當(dāng)a22>0,a12a21<0時(shí)， 奇點(diǎn)O(0, 0)是不穩(wěn)定的.

對(duì)于系統(tǒng)(2)的極限環(huán)存在性及個(gè)數(shù)問(wèn)題， 通過(guò)一定的計(jì)算分析， 得到如下結(jié)論:

定理4[5]如果a12=0或c=0,a22≠0， 則系統(tǒng)不存在圍繞原點(diǎn)的極限環(huán).

定理5[5]如果a12+a21=0,a22+ca21<0,a21<0,c>0,a22>0, 則系統(tǒng)圍繞原點(diǎn)的極限環(huán)最多只有1個(gè).

文獻(xiàn)[5]還研究了二次系統(tǒng)：

(3)

其中aij,β均為常數(shù). 這里， 可以清晰地看出， 系統(tǒng)(3)的一階線性近似方程組的特征方程是

(a22+a12a21)=0,

系統(tǒng)特征根：

定理6當(dāng)a22+a12a21<0,a22<1時(shí)， 系統(tǒng)(3)的零解漸近穩(wěn)定； 當(dāng)a22+a12a21<0,a22>1時(shí)， 零解是不穩(wěn)定的.

關(guān)于系統(tǒng)(3)的極限環(huán)存在性問(wèn)題， 通過(guò)計(jì)算以及分析， 給出了如下定理：

文獻(xiàn)[6]研究了如下二次系統(tǒng).

(4)

經(jīng)過(guò)分析， 得到了如下結(jié)論：

(2)三次系統(tǒng)的奇點(diǎn)與極限環(huán)

文獻(xiàn)[7]研究了如下三次系統(tǒng)：

(5)

其中A0>0,A1≥-1,A1,A2,A3不等于零. 經(jīng)過(guò)分析， 得到了如下結(jié)論：

定理8[7]考慮系統(tǒng)(5)， 那么

(ⅰ)O(0, 0)是系統(tǒng)(5)的鞍點(diǎn);

(ⅱ)當(dāng)-1

文獻(xiàn)[8]研究了如下三次系統(tǒng)：

(6)

通過(guò)計(jì)算分析， 對(duì)于極限環(huán)的存在性問(wèn)題得到了如下結(jié)論:

文獻(xiàn)[9]研究了如下系統(tǒng)：

(7)

其中c≠0. 經(jīng)過(guò)分析， 得到了如下結(jié)論.

定理11[9]設(shè)b=0， 當(dāng)ac≥0時(shí)， 系統(tǒng)(7)不存在極限環(huán)； 當(dāng)ac≤0時(shí)， 系統(tǒng)(7)存在唯一極限環(huán)， 且當(dāng)a>0時(shí)是穩(wěn)定的， 當(dāng)a<0時(shí)是不穩(wěn)定的.

(3)三維系統(tǒng)的奇點(diǎn)與極限環(huán)

文獻(xiàn)[10]研究了如下三維二次系統(tǒng)：

(8)

經(jīng)過(guò)分析， 得到了如下結(jié)論：

2 MATLAB數(shù)值模擬分析

2.1 二次系統(tǒng)數(shù)值模擬

考慮文獻(xiàn)[4]二次系統(tǒng)(1)， 即

(9)

其中a>0,σ,l,m,n為實(shí)數(shù). 在系統(tǒng)(9)中， 令a=2,σ=-1,l=0.5,m=1,n=0.8， 則有a>0,σ<0, 即滿足定理1的條件. 依定理， 系統(tǒng)(9)的奇點(diǎn)O(0, 0)是漸近穩(wěn)定的. 通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算， 知O(0,0)是漸近穩(wěn)定的， 如圖3所示.

圖3 系統(tǒng)(9)奇點(diǎn)

考慮文獻(xiàn)[5]二次系統(tǒng)(3)， 即

(10)

其中a12,a21,a22,β為常數(shù). 在系統(tǒng)(10)中， 令a12=1,a21=-2,β=0.25,a22=2, 則滿足定理7的條件， 依據(jù)定理， 系統(tǒng)(10)不存在極限環(huán)， 通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算分析， 該數(shù)值下系統(tǒng)(10)不存在極限環(huán)， 如圖4所示.

圖4 系統(tǒng)(10)極限環(huán)

2.2 三次系統(tǒng)數(shù)值模擬

考慮文獻(xiàn)[8]三次系統(tǒng)(6)， 即

(11)

在系統(tǒng)(11)中， 令β=-1,ζ=1,l=0.5,α=-0.8， 則滿足定理10的條件， 依據(jù)定理， 系統(tǒng)(11)存在唯一的極限環(huán)， 并且是穩(wěn)定的極限環(huán). 通過(guò)MATLAB軟件計(jì)算， 該數(shù)值下存在極限環(huán)， 如圖5所示.

圖5 系統(tǒng)(11)極限環(huán)

2.3 三維系統(tǒng)數(shù)值模擬

考慮文獻(xiàn)[10]三維系統(tǒng)(8)， 即

(12)

在系統(tǒng)(12)中， 令α=1.5,β=0.5， 則α+β=2， 即滿足定理9的條件， 則系統(tǒng)(12)存在極限環(huán). 運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算分析， 該數(shù)值下系統(tǒng)(12)存在極限環(huán)， 如圖6所示.

圖6 系統(tǒng)(12)極限環(huán)