化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省句容市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 郝榮春

化歸思想是指在主體原有知識、經(jīng)驗(yàn)、理解、思考的基礎(chǔ)上，將未知的、較為困難的問題轉(zhuǎn)化為已知的、簡單的、容易解決的問題，它是數(shù)學(xué)思想中的重要組成部分。在核心素養(yǎng)培養(yǎng)視角下，教師應(yīng)注重滲透化歸思想，讓學(xué)生提升思維模式，掌握數(shù)學(xué)知識和解題技巧。

一、化歸思想的基本內(nèi)涵與思想核心

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，每一個(gè)公式或定理的發(fā)現(xiàn)與提出背后都有一種數(shù)學(xué)思想作為支撐。因此，在素質(zhì)教育以及核心素養(yǎng)視角下培養(yǎng)新時(shí)代高中生的數(shù)學(xué)能力與解題能力，需要教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的本質(zhì)，并做到舉一反三，使問題迎刃而解。

化歸思想的核心就是轉(zhuǎn)化與歸納，借助一定的方法、手段將復(fù)雜、困難的問題簡單化，將不會的題目轉(zhuǎn)化成會的、已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，將信息量大的未知題目用自己掌握的知識體系分解，通過變換角度思考問題找到解題思路。

高中數(shù)學(xué)題目側(cè)重對知識運(yùn)用能力與知識點(diǎn)掌握的考查，化歸思想可以幫助學(xué)生快速找到解題思路，將當(dāng)下問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型或簡單公式，在原有知識基礎(chǔ)上構(gòu)建自己全新的知識體系，提升學(xué)習(xí)效率，因此化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中有很大作用。

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

（一）提升邏輯思維

在函數(shù)以及不等式等模塊的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想與邏輯思維，如“要想……首先需要……然后……”的思路，從而帶動學(xué)生分析與解答數(shù)學(xué)題。

例如，在蘇教版《基本不等式》的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常遇到不等式與函數(shù)相結(jié)合的題目：

已知：a，b∈R，求證：｜a｜+｜b｜／1+｜a｜+｜b｜＜｜a+b｜／1+｜a+b｜

分析：這道題表面上看是不等式的求證問題，實(shí)際上是考查函數(shù)的單調(diào)性問題。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增或遞減問題來進(jìn)行求證。

證明：設(shè)f（x）＝x／1+x，x∈［0，+∞）

x1，x2是x∈［0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)且0≤x1＜x2，則f（x1）-f（x2）＝x1／1+x1-x2／1+x2＝x1-x2／（1+x1）（1+x2）

∵0≤x1＜x2，∴f（x1）＜（x2）

∴f（x）＝x／1+x在x∈［0，+∞）上是增函數(shù)（大前提）

∵｜a｜+｜b｜≥｜a+b｜≥0，可知f（|a|+|b|）≥f（|a+b|）。

以上可以看出，掌握了數(shù)學(xué)化歸思想，就能讓未知的、看起來復(fù)雜又難以解答的問題轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的，并能通過運(yùn)用基礎(chǔ)知識解答的問題，使題目變得簡單。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

其實(shí)數(shù)形結(jié)合的理念在小學(xué)以及初中的數(shù)學(xué)學(xué)科中就有滲透：雞兔同籠、植樹問題、簡單函數(shù)等，都是數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用以及滲透。數(shù)形結(jié)合能幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，形成系統(tǒng)的思想模塊，通過將抽象的問題具象化，通過動手與實(shí)踐能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生掌握問題的解決辦法。

高中數(shù)學(xué)更加抽象化、復(fù)雜化，在解題過程中，學(xué)生會抓不住解題方向與思路。隨著對數(shù)學(xué)知識不斷深入的學(xué)習(xí)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維方式會更加成熟，學(xué)會運(yùn)用化歸思想，通過數(shù)形結(jié)合的方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、總結(jié)解題思路，能用辯證的視角看待問題、解答問題。

例如，蘇教版《三角函數(shù)》涉及的符號、概念、公式都比較抽象，在學(xué)習(xí)過程中教師就可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方式，快速找到解題思路，并將難以理解的抽象概念變成實(shí)際操作。

解答：依題知，點(diǎn)（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上。

因sinx2+cosx2＝1，所以題中所求值域就是橢圓上的點(diǎn)和點(diǎn)（4，-1）連線的斜率。設(shè)切線方程為y+1＝k（x-4），將其與橢圓聯(lián)立，得判別式為0，

即4x2+［k（x-4）-1］2＝16

（4+k2）x2-（8k2+2k）x+16k2+8k-15＝0［-（8k2+2k）］2-4×（4+k2）（16k2+8k-15）＝0 12k2+8k-15＝0

（2k+3）（6k-5）＝0

對這類問題，教師在課程安排中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想與思考，在學(xué)習(xí)新知識的過程中利用與復(fù)習(xí)以往知識，從而讓學(xué)生形成自己的解題思路與邏輯體系。

（三）簡化轉(zhuǎn)熟原則

教師在教學(xué)中應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，不要將學(xué)生的考試成績作為教學(xué)的唯一目的，要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的探索精神，注重化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的應(yīng)用。

例如，在蘇教版《等比數(shù)列》的教學(xué)過程中，很多教師會覺得等比數(shù)列的題目較為容易，即便學(xué)生不會推理演算，也可以通過列舉選出對的結(jié)果。但是這種教學(xué)思路與素質(zhì)教育相違背。核心素養(yǎng)視角下要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”，通過“直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等形成思維過程”。

例如，是否存在一個(gè)等差數(shù)列｛an｝，使得對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）都成立，并證明你的結(jié)論。

分析：教師可以先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單思考，通過對問題的認(rèn)知與把握將其變得直觀化，利用特殊性與一般性、復(fù)雜化與簡約化的思想理念，將問題分解開，在矛盾中分析問題，再通過系統(tǒng)分析總結(jié)出一般結(jié)論。

解：將n＝1，2，3分別帶入等式可得：

a1＝6

a1+2a2＝24

a1+2a2+3a3＝60

解得a1＝6 a2＝9 a3＝12

故存在一個(gè)等差數(shù)列an＝3n+3，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，等式成立。

接下來教師可以利用數(shù)學(xué)歸納法引導(dǎo)學(xué)生掌握解題思路，只要將原有的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題：證明存在一個(gè)等差數(shù)列an＝3n+3，對大于3的自然數(shù)，a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）都成立。

解：假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，

即a1+2a2+3a3+…+kak＝k（k+1）（k+2）

當(dāng)n＝k+1時(shí)，有a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1

＝k（k+1）（k+2）+（k+1）［3（k+1）+3］

＝（k+1）（k2+2k+3k+6）

＝（k+1）（k+2）（k+3）

＝（k+1）（（k+1）+1）［（k+1）+2］

因此當(dāng)a＝k+1時(shí)也存在一個(gè)等差數(shù)列an＝3n+3

使a1+2a2+3a3+…+nan＝n（n+1）（n+2）成立。

教師在講解題目的過程中，應(yīng)注意把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，讓學(xué)生簡化做題思路，通過化歸思想進(jìn)行規(guī)律總結(jié)與認(rèn)知，從而增進(jìn)對知識點(diǎn)的掌握程度。

三、化歸思想對高中數(shù)學(xué)的積極影響

事物的普遍規(guī)律是發(fā)展變化，矛盾常常伴隨事物發(fā)展的整個(gè)過程，并不斷產(chǎn)生聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中也會不斷遇到已知與未知、熟悉與陌生、簡單與復(fù)雜的問題，而化歸思想就是將事物不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化與歸納總結(jié)的過程。這種學(xué)習(xí)思路不僅讓高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得簡單有條理，而且能讓學(xué)生掌握舉一反三的學(xué)習(xí)方法，有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

四、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生整體素質(zhì)的培養(yǎng)，化歸思想的普及以及理念滲透法對教師來講是一種易于使用的教學(xué)策略，對學(xué)生來講也是非常實(shí)用的學(xué)習(xí)手段與解題思路，因此在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透化歸思想極為重要。