職前教師和在職教師KCS的比較研究
——基于問題提出的視角

朱亞麗

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453002)

0 引言

1986年，SHULMAN提出了學(xué)科教學(xué)知識(Pedagogical Content Knowledge，PCK)[1]。隨后，BALL D L等研究者將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，提出“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”(Mathematical Knowledge for Teaching，MKT)，并將內(nèi)容與學(xué)生知識(Knowledge of Content and Students, KCS)作為PCK的一個(gè)下位概念提出[2]。KCS是數(shù)學(xué)教師關(guān)于學(xué)生如何學(xué)習(xí)具體內(nèi)容的知識，是內(nèi)容知識與學(xué)生知識的有機(jī)結(jié)合[3]。教師在教學(xué)過程中不僅要了解學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)和接受能力，還要了解學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平。

問題提出是提問者基于特定的問題情境形成并表達(dá)問題的認(rèn)知過程[4]。問題提出的背后是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的反映；問題提出不僅可以評估學(xué)生的思維，還是一種有效的教學(xué)策略。教師獲得的關(guān)于學(xué)生知道什么以及如何思考問題的信息越多，他們?yōu)閷W(xué)生創(chuàng)造的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)就越多[5]。通過問題提出可以很好地發(fā)展教師的KCS，學(xué)生提出問題的過程是學(xué)生基于已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過對問題情境的理解建構(gòu)良好數(shù)學(xué)問題的過程。

從問題提出的視角看，KCS是指教師和學(xué)生在面對同一問題情境時(shí)，教師能否準(zhǔn)確地預(yù)測學(xué)生所提問題，對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)、接受能力和數(shù)學(xué)思維準(zhǔn)確把握的能力。

1 理論框架

以學(xué)生的實(shí)際表現(xiàn)為基準(zhǔn)，從教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)、接受能力、數(shù)學(xué)思維的了解程度等三方面探討職前教師和在職教師在KCS方面的差異。表1展示了比較框架及各指標(biāo)的比較方式。

表1 職前教師和在職教師KCS比較框架及各指標(biāo)的計(jì)算方式Tab.1 Comparison framework of KCS between pre-service and in-service teachers and calculation method of each indicator

首先，對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的了解，是教師預(yù)測學(xué)生提出的問題和學(xué)生自己提出問題之間的相似性和匹配性。其次，對學(xué)生接受能力的了解，包括教師預(yù)測學(xué)生提出的問題類型與學(xué)生自己提出的問題類型難易度和復(fù)雜性的認(rèn)知程度。數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性不是一個(gè)單一的概念，而是復(fù)雜的綜合體[6]。因此又將復(fù)雜性分為語義復(fù)雜性和結(jié)構(gòu)復(fù)雜性。語義復(fù)雜性的編碼參考周若虹等人關(guān)于問題復(fù)雜程度的分類標(biāo)準(zhǔn)[7],分為重述、組合、比較、改變和更換5種語義類型。除其他問題之外，所有問題都可以根據(jù)語義復(fù)雜性或解決問題所需的關(guān)系數(shù)量進(jìn)行分類，且問題的語義種類的范圍在1到5之間。結(jié)構(gòu)復(fù)雜性包含兩個(gè)指標(biāo)：開始未明和結(jié)果未明。開始未明是表述問題時(shí)，未知量并不在問題的結(jié)尾，如“在第幾次鈴聲響起時(shí)有175個(gè)客人進(jìn)入會(huì)場”。結(jié)尾未明是將未知量放在問題的結(jié)尾陳述，如“第(10)幅圖形有多少個(gè)黑點(diǎn)”。再次，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的了解，從數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性三方面綜合評價(jià)職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的了解程度[8]。問題類型分為擴(kuò)展性問題、非擴(kuò)展性問題和其他問題，擴(kuò)展性問題是指那些超越任務(wù)情境中所給定的初始圖形或數(shù)量而提出的數(shù)學(xué)問題；非擴(kuò)展性問題則局限于給定的任務(wù)情境，并沒有跳出先前給定的圖形或數(shù)量；無效問題指的是非數(shù)學(xué)問題、無解問題、表述不清的問題以及與題目毫不相干的無意義問題。獨(dú)創(chuàng)性是指學(xué)生提出的某類問題在總問題中的占比不超過10%。

2 研究設(shè)計(jì)與方法

2.1 研究工具

測試卷分為三類：學(xué)生、職前教師、在職教師。測試題是由圓點(diǎn)情境和門鈴情境等兩個(gè)開放的問題情境組成的測試卷。兩個(gè)情境均選自蔡金法等人有關(guān)數(shù)學(xué)問題提出的研究，具有良好的信效度。在測試卷中，要求學(xué)生根據(jù)給定的情境信息提出三個(gè)難度層次不同的數(shù)學(xué)問題：簡單問題、中等難度問題、較難問題；在不知道學(xué)生提問結(jié)果的前提下，要求職前教師和在職教師根據(jù)自己對學(xué)生的了解，基于給定的任務(wù)情境預(yù)測學(xué)生在不同難度層次上會(huì)提出哪些數(shù)學(xué)問題。

2.2 研究被試

被試包含學(xué)生、職前教師和在職教師三個(gè)層次。學(xué)生被試和在職教師是河南省新鄉(xiāng)市372名六至八年級學(xué)生及對應(yīng)班級的數(shù)學(xué)教師，涉及該市三所公辦學(xué)校；被試所在的學(xué)校不論是教育質(zhì)量，還是教育資源都處于當(dāng)?shù)刂械绕纤?。職前教師被試是河南省某師范院校的大三學(xué)生，其中52名是該校教育學(xué)院初等教育專業(yè)的師范生，122名是數(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的師范生。三個(gè)層次最終收回的有效測試樣本分布情況如表2所示。

表2 研究被試分布情況/人

2.3 數(shù)據(jù)編碼

數(shù)據(jù)編碼主要從問題類型和問題復(fù)雜性兩方面分析被試提出的問題。先將被試所提的問題分為擴(kuò)展性問題、非擴(kuò)展性問題、其他問題；再根據(jù)問題的性質(zhì)對每個(gè)擴(kuò)展性或非擴(kuò)展性問題進(jìn)一步分類，見表3?；谏鲜鼍幋a體系，對所有被試提出的問題進(jìn)行單獨(dú)的編碼分析，并將編碼結(jié)果錄入Excel軟件。為了確保數(shù)據(jù)編碼的可靠性，從各年級中隨機(jī)抽取20%學(xué)生樣本，30%職前教師樣本，由兩名評分者對他們所提的問題進(jìn)行獨(dú)立編碼，由三名研究者對所有在職教師預(yù)測的問題進(jìn)行獨(dú)立編碼。在學(xué)生和職前教師中，評分者之間的一致性均達(dá)到90%；對在職教師的編碼一致性均在95%以上。

表3 圓點(diǎn)情境問題類型編碼表Tab.3 Dot situation problem type coding table

3 研究結(jié)果分析

3.1 職前教師測試結(jié)果分析與討論

1)在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)上，職前教師認(rèn)為具體的數(shù)值計(jì)算和代數(shù)式的應(yīng)用占據(jù)主導(dǎo)地位。

無論是圓點(diǎn)情境還是門鈴情境，職前教師預(yù)測最多的問題是單個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)(類型4)、多個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)(類型5)和代數(shù)式表示規(guī)律(類型10)，見圖1、圖2。表明職前教師認(rèn)為具體的數(shù)值計(jì)算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中占有很重要的地位，并且在三個(gè)年級中，職前教師預(yù)測的問題沒有表現(xiàn)出明顯的差異。此外，很少有職前教師預(yù)測反向提問(類型5～7)和創(chuàng)設(shè)新情境類(類型11添加條件)的問題，這說明職前教師認(rèn)為學(xué)生在逆向思維和創(chuàng)造性思維上的表現(xiàn)相對較弱。

圖1 圓點(diǎn)情境預(yù)測的問題類型分布Fig.1 Problem type distribution of dot

圖2 門鈴情境預(yù)測的問題類型分布Fig.2 Problem type distribution dot of doorbell

總之，雖然職前教師對學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)也有一定的了解，但在職教師對學(xué)生的了解更接近于學(xué)生的實(shí)際情況；在職前教師中，與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的掌握稍遜色一些，七年級、八年級之間沒有顯著差異；在三個(gè)年級中，在職教師對學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)的了解程度從高低的排序?yàn)椋喊四昙?六年級>七年級。

2)在學(xué)生接受能力的了解方面，職前教師傾向于在簡單問題中預(yù)測非擴(kuò)展性問題和具體數(shù)值計(jì)算類問題，在較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題和包含多種語義類型的問題。

首先，職前教師傾向于在簡單問題中預(yù)測非擴(kuò)展性問題和具體數(shù)值計(jì)算類問題，在較難問題中提出規(guī)律性問題。

從圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，無論在哪種難度層次上非擴(kuò)展性問題都不是職前教師的首要選擇，且該類問題所占的比重隨著問題難度的增加呈急劇下滑的趨勢，尤其是在較難問題中沒有職前教師預(yù)測非擴(kuò)展性問題?？傮w而言，職前教師預(yù)測的問題絕大部分屬于擴(kuò)展性問題，非擴(kuò)展性問題的占比隨問題難度的遞增呈現(xiàn)極速下滑的趨勢。

圖3 圓點(diǎn)情境各問題類型的難易度分布Fig.3 Difficulty distribution of dot problem types

圖4 門鈴情境各問題類型的難易度分布Fig.4 Difficulty distribution of doorbell problem types

在圓點(diǎn)問題中，類型9在三個(gè)難易中占比較大，同時(shí)在門鈴問題中，類型5較多，說明了職前教師偏向于將揭示情境的本質(zhì)規(guī)律作為問題難度的評判標(biāo)準(zhǔn)。不管面對的學(xué)生處于哪個(gè)年級，職前教師都是在簡單問題中預(yù)測具體的數(shù)值類問題，即計(jì)算某幅圖形或某次鈴響情況，在中等難度或較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題。

其次，職前教師傾向于在較難問題中預(yù)測包含多種語義類型的問題。

表4和表5分別是職前教師在圓點(diǎn)情境、門鈴情境中預(yù)測的包含多種語義的問題分別在不同難度層次的占比分布(P1、P2、P3分別表示簡單問題、中等難度問題、較難問題)。觀察表4、表5可知，不管是在哪種難度層次上，職前教師傾向于預(yù)測只含有一種語義類型的問題。盡管如此，涉及一種語義類型的問題的比重在逐漸降低，包含兩種語義類型的問題的數(shù)量隨難度的增加而增加。也就是說，職前教師認(rèn)為學(xué)生會(huì)根據(jù)問題語義的多少判斷問題的難易度。職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上的表現(xiàn)并不理想，很少有職前教師預(yù)測“起始未明”型問題。事實(shí)上，職前教師在表述問題時(shí)通常是將未知量放在問題的結(jié)尾陳述，即使是基于逆向思維提出的問題，他們也會(huì)將未知量放在問題的最后。

表4 圓點(diǎn)情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%

表5 門鈴情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%Tab.5 Proportion of doorbell situation questions with multiple semantics in different difficulty levels/%

3)職前教師認(rèn)為，高年級學(xué)生思維深刻性的表現(xiàn)明顯好于低年級學(xué)生，低年級學(xué)生在思維靈活性和思維獨(dú)創(chuàng)性上的表現(xiàn)略優(yōu)于高年級學(xué)生。

從表中數(shù)據(jù)綜合分析，隨著年級的升高，更多的學(xué)生能夠提出規(guī)律性問題，這表明高年級學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)思維的深刻性。絕大部分職前教師預(yù)測了規(guī)律性問題，這表明職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性較好。

此外，絕大部分職前教師認(rèn)為他們所預(yù)測年級的學(xué)生至少能從兩種不同的角度出發(fā)提出不同類型的問題，一種是簡單地模仿原有情境提問；另一種是通過提煉情境信息提問。低年級學(xué)生提出問題的類型多集中于三種類型，而高年級的學(xué)生則集中于兩種類型，與其對應(yīng)的職前教師的預(yù)測結(jié)果是一致的。

最后，不難看出，職前教師認(rèn)為低年級學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性相對較好，高年級學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性有待提高。

3.2 在職教師測試結(jié)果分析與討論

1)在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)上，在職教師認(rèn)為具體的數(shù)值計(jì)算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的已有知識結(jié)構(gòu)中占據(jù)絕對優(yōu)勢。

觀察圖5和圖6可知，無論是圓點(diǎn)情境還是門鈴情境，在職教師預(yù)測最多的問題無非以下兩種：某幅圖形或某次鈴響情況以及給定模式的變化規(guī)律，表明在職教師認(rèn)為具體的數(shù)值計(jì)算和代數(shù)式的應(yīng)用在學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中占有極其重要的地位，并且在三個(gè)年級中，在職教師預(yù)測的表現(xiàn)沒有顯著性差異。

圖5 圓點(diǎn)情境預(yù)測的問題類型分布 Fig.5 Problem type distribution of dot

圖6 門鈴情境預(yù)測的問題類型分布Fig.6 Problem type distribution dot of doorbell

2)在學(xué)生接受能力的了解方面，在職教師傾向于在簡單問題中預(yù)測具體數(shù)值計(jì)算類問題，在較難問題中預(yù)測規(guī)律性問題和包含多種語義類型的問題。

首先，在職教師傾向于在簡單問題中預(yù)測具體數(shù)值計(jì)算類問題，在較難問題中提出規(guī)律性問題。觀察圖7和圖8可知，無論在哪個(gè)難度層次上，在職教師預(yù)測的問題絕大部分屬于擴(kuò)展性問題。也就是說，在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在提問的過程中不會(huì)過多地關(guān)注現(xiàn)有情境內(nèi)部之間的關(guān)系?？傮w而言，在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在提出問題的過程中，往往關(guān)注的是后續(xù)情境的發(fā)展趨勢；他們通常是從給定情境出發(fā)思考問題，挖掘情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而提出擴(kuò)展性問題。

圖7 圓點(diǎn)情境各問題類型的難易度分布 Fig.7 Difficulty distribution of dot problem types

圖8 門鈴情境各問題類型的難易度分布Fig.8 Difficulty distribution of doorbel problem types

其次，在職教師傾向于在較難問題中預(yù)測包含多種語義類型的問題。表6和表7分別是在職教師在圓點(diǎn)情境、門鈴情境中預(yù)測的包含多種語義的問題分別在不同難度層次的占比分布如圖9、圖10所示(P1、P2、P3分別表示簡單問題、中等難度問題、較難問題)。

圖9 圓點(diǎn)情境規(guī)律性問題的人數(shù)比較Fig.9 Comparison of the number of people with dot

圖10 門鈴情境規(guī)律性問題的人數(shù)比較 Fig.10 Comparison of the number of people with doorbell

表6 圓點(diǎn)情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%

表7 門鈴情境包含多種語義的問題在不同難度層次的占比/%Tab.7 Proportion of doorbell situation questions with multiple semantics in different difficulty levels/%

可知在簡單問題中，各年級在職教師預(yù)測的問題均只包含一種語義類型，在中等難度問題上，在職教師會(huì)預(yù)測包含兩種或三種語義類型的問題。在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生在結(jié)構(gòu)復(fù)雜性上的表現(xiàn)不太理想。兩種情境中在職教師均未預(yù)測“起始未明”型問題，所有的問題都是采用“結(jié)果未明”的結(jié)構(gòu)進(jìn)行表述的。

3)在思維的深刻性上，在職教師均預(yù)測所教年級的學(xué)生表現(xiàn)良好；在思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性上，在職教師認(rèn)為低年級學(xué)生的表現(xiàn)較好，而高年級學(xué)生有待提高。

首先，在職教師預(yù)測他們所教年級的學(xué)生具備良好的思維深刻性。從在職教師預(yù)測的規(guī)律性問題的人數(shù)來看，高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維的深刻性較好，善于揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號語言表示規(guī)律。低年級在職教師認(rèn)為所教年級學(xué)生不會(huì)過多地關(guān)注事物發(fā)展的普遍規(guī)律，而是從現(xiàn)有的信息中挖掘其內(nèi)在關(guān)系，思維的深刻程度相對較低。其次，低年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維較靈活，而高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生思維靈活性有待提高。

從在職教師預(yù)測的問題類型的數(shù)量進(jìn)行深入分析，六年級在職教師認(rèn)為所教年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的應(yīng)變能力較強(qiáng)，學(xué)生能夠擺脫已有模式的束縛，思維的靈活程度相對較高。七年級、八年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生會(huì)受思維定式的影響，直接將其視為規(guī)律類問題，且在提問的過程中，不會(huì)關(guān)注事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，思維的靈活程度相對較低。

圖11 圓點(diǎn)情境預(yù)測問題的類型比較Fig.11 Comparison of the types dots

圖12 門鈴情境預(yù)測問題的類型比較 Fig.12 Comparison of the types of doorbell

最后，低年級在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性相對較好，高年級在職教師認(rèn)為他們所教年級的學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性相對較差。

可知，高年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生會(huì)受思維定式的影響，在創(chuàng)造性思維方面的表現(xiàn)不理想。而低年級在職教師認(rèn)為所教年級的學(xué)生能擺脫思維定式，突破原有的思維方式產(chǎn)生新觀點(diǎn)，提出一些新穎的、獨(dú)特的問題，思維相對活躍，具備良好的創(chuàng)新意識。

4 結(jié)論與建議

4.1 在職教師對學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的了解程度明顯優(yōu)于職前教師

首先，從問題類型上看，在職教師的預(yù)測表現(xiàn)更接近于學(xué)生的實(shí)際水平。但是職前教師和在職教師均低估了學(xué)生的想象力和創(chuàng)新意識，高估了學(xué)生的抽象概括能力。其次，從匹配率上看在職教師預(yù)測的平均匹配率明顯高于職前教師。這表明在職教師對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的了解相對接近學(xué)生的實(shí)際情況，但還需進(jìn)一步的發(fā)展。

針對以上問題，建議在職前教師的培養(yǎng)上，應(yīng)將師范生的條件性知識和本體性知識相互融合。師范生的教育可借助PBL(problem-based learning)教學(xué)模式，引導(dǎo)師范生基于真實(shí)情境開展探索學(xué)習(xí)，并在完成項(xiàng)目中建構(gòu)知識體系、深化理解[8]。高校與中小學(xué)合作構(gòu)建“逐級遞進(jìn)、全程貫通”的實(shí)踐教學(xué)體系。通過教師的指導(dǎo)，在實(shí)踐崗位上基于真實(shí)的情境獲得對課堂教學(xué)、跨學(xué)科教學(xué)的體驗(yàn)與反思，最終促進(jìn)師范生獲得對教師專業(yè)發(fā)展的完整知識體系[10]。

4.2 對于學(xué)生的接受能力，職前教師比在職教師有著更好的了解

首先，職前教師和在職教師均是過高地估計(jì)了學(xué)生對問題難易度的把握，但職前教師對問題難易度的預(yù)測更接近于學(xué)生對問題難易度的認(rèn)識。其次，從問題的語義類型上職前教師的預(yù)測更接近于學(xué)生的實(shí)際水平。基于之前的分析得知，在兩種情境中，學(xué)生提出的問題大都是“結(jié)果未明”型，很少提出“起始未明”型，而兩類教師在預(yù)測問題中幾乎都不涉及“起始未明”型。

在問題的復(fù)雜性上，職前教師對學(xué)生接受能力的了解更接近于學(xué)生的實(shí)際情況；職前教師和在職教師對學(xué)生接受能力的了解均無明顯差異，三個(gè)年級的在職教師均低估了學(xué)生對多種語義類型的理解。

通過上述研究結(jié)論，對在職教師提出以下建議。首先，建立屬于自己的“問題提出教學(xué)案例庫”。教師在教學(xué)過程中將學(xué)生提出的問題做好整理與記錄，進(jìn)行有關(guān)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生關(guān)系的分析，有助于教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維，提升自身的KCS水平。其次，關(guān)注教育前沿領(lǐng)域研究、專業(yè)教學(xué)期刊等讀物，有助于在職教師了解各階段學(xué)生的認(rèn)知水平，進(jìn)而了解學(xué)生的接受能力，發(fā)展其KCS水平。

4.3 職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的掌握情況略優(yōu)于在職教師

1)職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性了解情況均不理想，但職前教師的表現(xiàn)略勝一籌。職前教師和在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維深刻性的了解程度從高到低排序均為七年級>八年級>六年級。

2)職前教師更了解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性的了解程度較弱，七年級、八年級之間沒有明顯的差異；八年級在職教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性的了解程度較差，六年級、七年級之間的差異不顯著。

3)職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維獨(dú)創(chuàng)性的了解明顯好于在職教師。與六年級學(xué)生對應(yīng)的職前教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性的了解程度相對較好，七年級、八年級之間的差異并不明顯；八年級在職教師對學(xué)生思維創(chuàng)造性的了解最差，而六年級、七年級之間沒有顯著性差異。

綜上，建議嘗試運(yùn)用問題提出進(jìn)行課堂教學(xué)。問題提出是理解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有力工具，運(yùn)用問題提出進(jìn)行課堂教學(xué)，有助于在職教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)在職教師KCS的不斷發(fā)展。同時(shí)建立“學(xué)生問題提出資源庫”，及時(shí)記錄課前未預(yù)測到的問題，逐步積累和增進(jìn)自己對學(xué)生的認(rèn)識。