活躍在高中數(shù)學聯(lián)賽中的高斯函數(shù)

朱小扣

(安徽省無為中學，238300)

高斯函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容和考點,在高中數(shù)學競賽題中頻繁出現(xiàn),且命題靈活,綜合度較高,具有一定的難度和挑戰(zhàn)性.本文通過對歷年來全國各省市競賽題的分析,總結(jié)出以高斯函數(shù)為載體的試題命題方向及其解題策略,以期對同學們備戰(zhàn)高中數(shù)學競賽有所幫助.

一、幾個常用性質(zhì)

對高斯函數(shù)f(x)=[x],下面幾個性質(zhì)在解題時是常用的,需熟練掌握.

(1)f(x)=[x]的定義域為R,值域為Z.

(2)f(x)=[x]的最小正周期為1.

(3)[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x.

二、命題規(guī)律揭示

1.與二次不等式的融合

例1(2018年河北省預(yù)賽題)規(guī)定:對任意x∈R,當且僅當n≤x

2.與方程的融合

例2(2015年天津市預(yù)賽題)用[x]表示不超過x的最大整數(shù),方程x2-[x]-2=0的不同實數(shù)根共有( )

(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個

解由[x]≤x,得x2-x-2≤x2-[x]-2=0,解得-1≤x≤2,故[x]=-1,0,1,2.

綜上,選C.

①

將n=-1代入① 式,解得-4≤x<-1;將n=0代入① 式,解得1≤x<6;將n=1代入① 式,解得9≤x<11.故所求的解集是[-4,-1)∪[1,6)∪[9,11).

3.與概率的融合

例4(2018年天津市預(yù)賽題)設(shè)x為正實數(shù),若[log2x]為偶數(shù),則稱x為幸運數(shù).在區(qū)間(0,1)中隨機選取一個數(shù),它是幸運數(shù)的概率為______.

解設(shè)[log2x]=2n(n∈Z),則2n≤log2x<2n+1,得22n≤x<22n+1.

4.與格點的融合

例5(2015年江蘇預(yù)賽題)在平面直角坐標系xOy中,設(shè)D是x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19的點(x,y)形成的區(qū)域.則區(qū)域D中的整點的個數(shù)是______.

解由性質(zhì)(3)及x+y+[x]+[y]≤19,得2[x]+2[y]≤x+y+[x]+[y]≤19,即[x]+[y]≤9.5.

因此,當[x]=0時,[y]可取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,對應(yīng)10個整點;當[x]=1時,[y]可取0,1,2,3,4,5,6,7,8,對應(yīng)9個整點;當[x]=2時,[y]可取0,1,2,3,4,5,6,7,對應(yīng)8個整點;…;當[x]=9時,[y]可取0,對應(yīng)1個整點.

綜上,所求整點共有10+9+8+…+2+1=55個.

5.與權(quán)方和等不等式的融合

6.與數(shù)列、數(shù)學歸納法融合

(1)求a的值;

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)+2 (n∈N+),設(shè)Sn=[a1]+[a2]+[a3]+…+[an],其中[m]表示不超過m的最大整數(shù).求Sn.

當a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增,無最小值,不合題意.

當a>0時,易見f(x)在(0,a)單調(diào)減,在(a,+∞)單調(diào)增,故f(x)min=f(a)=lna-a+1.

當n=3時,結(jié)論已成立.

綜上,對一切正整數(shù)n≥3,恒有2

所以[a1]=1,[an]=2(n≥2).由此得Sn=[a1]+[a2]+…+[an]=1+2(n-1)=2n-1.

以上介紹了高斯函數(shù)與相關(guān)知識的六種融合形式.題目是?？汲Ｐ?但只要大家把握住高斯函數(shù)基本性質(zhì),就能靈活運用、融會貫通.希望本文能對學生備考聯(lián)賽有所幫助.