相位噪聲中弱信號檢測的信噪比計算與分析

羅忠濤 夏杭 詹燕梅 張?zhí)祢U

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院/信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

1 引言

一般地，信號處理的數(shù)據(jù)是位于實數(shù)域或復(fù)數(shù)域，例如加性噪聲影響下信號可建模為z=As+n，其中s為有用信號，A為信號幅度，n為高斯噪聲，所有參量為實數(shù)或復(fù)數(shù)［1］。此類信號是傳統(tǒng)信號處理的經(jīng)典問題，已得到了充分研究。不過，對于某些場景的信號模型，有用信號s會存在于復(fù)數(shù)相位中，例如通信系統(tǒng)中的相位鍵控調(diào)制［2］，雷達(dá)中的多普勒頻率［3］。由于以往此類情況涉及的有用信號形式常常比較簡單，采用基于復(fù)數(shù)域的傳統(tǒng)方法也可解決問題。

當(dāng)有用信號變得復(fù)雜且處于相位域時，其信號處理方法需要展開新的討論。例如，2018 年出現(xiàn)的跨介質(zhì)通信系統(tǒng)［4-5］中接收信號建模為z=Aexp（jBs）+n，有用信號s存在于復(fù)數(shù)相位中，且其幅度B未知。傳統(tǒng)信號處理方法難以在復(fù)數(shù)域?qū)崿F(xiàn)對信號s的檢測。對數(shù)據(jù)z求取相位時會產(chǎn)生相位模糊問題，并且復(fù)數(shù)域噪聲會轉(zhuǎn)化到相位中，形成相位噪聲［6］，繼續(xù)干擾對有用信號的檢測。

截至目前，人們對相位噪聲的研究尚未詳盡，雖然復(fù)高斯噪聲影響下的變量分析已持續(xù)多年。Rice早在1948年研究了關(guān)于正弦波與加性高斯噪聲之和的模與相位分布，后來提出了變量的模與相位概率密度函數(shù)，即萊斯分布和萊斯相位分布［7-8］。Bennett推導(dǎo)了廣泛使用的萊斯相位分布概率密度函數(shù)［9］。近期，羅忠濤等人研究了萊斯相位分布的分布函數(shù)與數(shù)字特征，分析了相位模糊效應(yīng)下的相位分布［10］。

目前萊斯相位分布主要應(yīng)用于研究相位初相測量及影響評估。比如，通信系統(tǒng)中的誤碼率分析［11］，相干脈沖相位測量系統(tǒng)［12］，遠(yuǎn)程無源無線地面聲波傳感［13］，差分相移鍵控通信誤碼率［14］，相位邊界的影響［15］等。關(guān)于通信信道中檢測性能，文獻(xiàn)［16］評估了數(shù)字通信系統(tǒng)在一般化的衰落信道中的通信誤碼率性能。不過，目前還缺少基于萊斯相位分布和統(tǒng)計信號處理的檢測分析。

本文關(guān)注相位中較弱有用信號的檢測問題。首先，考慮信號幅度較弱|Bs|＜1，復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)求取相位時信號本身不存在模糊效應(yīng)，但是噪聲存在模糊效應(yīng)；然后，給出噪聲分布和特征的理論公式和近似計算；之后，考慮基于多樣本數(shù)據(jù)的信號檢測，推導(dǎo)檢測統(tǒng)計量及檢測信噪比公式；最后考慮衰落信道問題，以瑞利衰落信道下二進制相移鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）調(diào)制為例，推導(dǎo)平均信噪比和平均誤碼率公式。由于上述理論公式含有不可積分式導(dǎo)致計算上的困難，本文研究給出它們的近似計算方法，既提高運算效率，又方便分析參量間的關(guān)系。

2 信號模型與噪聲分布

本節(jié)將給出復(fù)數(shù)信號模型與相位信號模型，分析相位噪聲分布及其數(shù)字特征，研究微弱信號下的數(shù)字特征近似計算方法。

2.1 復(fù)數(shù)與相位信號模型

考慮有用信號在相位域傳輸，接收復(fù)數(shù)信號建模為

其中s為有用信號，B為信號s的實數(shù)幅度，A為exp（jBs）的復(fù)數(shù)幅度，n為加性復(fù)高斯噪聲定義為復(fù)信噪比。由于零均值復(fù)高斯噪聲具有循環(huán)對稱性，為方便討論，后文均考慮A≥0。

為檢測有用信號s，信號處理問題將從復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)變?yōu)橄辔挥?，在此轉(zhuǎn)換過程中，信號可能會出現(xiàn)纏繞或者模糊的情況。

考慮微弱信號情況即|Bs|＜1，?z表示未經(jīng)解模糊處理的測量相位，對應(yīng)相位信號及其噪聲為

其中ψ表示z的測量相位，φ表示模糊相位噪聲。為了方便討論令?=Bs表示有用信號。

2.2 模糊相位噪聲分布與數(shù)字特征

由于無模糊相位噪聲的分布與特性是分析模糊相位噪聲的基礎(chǔ)，因此可以根據(jù)無模糊相位噪聲的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）與累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF）來分析模糊相位噪聲的分布與特性。

考慮有用信號|?|＜1，根據(jù)相位模糊效應(yīng)的特點，可基于復(fù)數(shù)模和相位的聯(lián)合分布，推導(dǎo)出模糊相位噪聲的PDF為［10］

其中K為上文已定義的復(fù)信噪比，且

表示無模糊相位噪聲分布的PDF，其中f（0x，K）是關(guān)于自變量x的偶函數(shù)。當(dāng)|?|=0 時，噪聲為對稱分布；否則為非對稱分布。

根據(jù)PDF 表達(dá)式（4），可計算模糊相位噪聲的均值為

利用xf（0x，K）在零對稱區(qū)間內(nèi)積分為零的性質(zhì)來簡化公式。分?≥0和?＜0兩個情況討論，經(jīng)過計算與總結(jié)，得到模糊分布均值計算式為

其中sgn（.）為符號函數(shù)，F(xiàn)0（x，K）為對稱分布的CDF，可以表示為

其中

由于x2f（0x，K）是偶函數(shù)，區(qū)間［-π+?，π+?］與［-π?，π-?］關(guān)于零對稱，所以能量函數(shù)P（K，?）是關(guān)于?的偶函數(shù)，因此僅需推導(dǎo)?＞0 的情況。再次利用xf（0x，K）的奇函數(shù)性質(zhì)，最終可得到模糊相位噪聲能量表達(dá)式為

二階中心矩可視為模糊相位噪聲分布的方差，可由一階原點矩和二階原點矩計算得到

可以看出其所需的數(shù)值積分運算與二階原點矩是一樣的。

2.3 數(shù)字特征近似計算

相位噪聲分布的數(shù)字特征中含有多個不可積分表達(dá)式，能量和方差的計算尤其復(fù)雜。為了簡化運算過程，下面考慮微弱信號情況下，對數(shù)字特征進行近似計算。注意，這里說的信號微弱指|?|較小，與復(fù)信噪比K沒有直接聯(lián)系。

首先，引入泰勒級數(shù)，簡化對稱分布的CDF 計算表達(dá)式。當(dāng)x≈0時，有

其中

將式（14）代入均值計算公式（7），則模糊相位噪聲均值的近似計算表達(dá)式為

3.SVM模型的輸出結(jié)果。為確定SVM模型的最佳訓(xùn)練集大小，本文以200個樣本為步長有放回地從訓(xùn)練集中分層隨機抽取訓(xùn)練樣本，得到各指標(biāo)隨訓(xùn)練樣本大小變化的曲線圖，如圖3、圖4所示。

其次，能量計算公式（11）中關(guān)于對稱分布CDF的積分運算，采用梯形方法近似為

再借助CDF 近似計算式（13），可得能量的近似計算公式為

最后，根據(jù)噪聲均值和能量的近似表達(dá)式，可以得到方差的近似計算公式為

（i）在低信噪比0≤K≤1 區(qū)間積分公式進行近似計算。

（ii）在高信噪比K≥10區(qū)間，認(rèn)為相位噪聲近似于高斯分布。

本節(jié)給出的相位噪聲分布數(shù)字特征的近似計算方法均為閉合解析式，可實現(xiàn)快速高效的計算。對于弱信號|?|＜0.5時近似計算的歸一化誤差，均值誤差小于7%，能量和方差誤差均小于1%。對于弱信號|?|＜1 時近似計算的歸一化誤差，在低信噪比下，均值誤差小于3%，能量和方差的誤差均小于1%；在中信噪比下，均值誤差小于8%，能量和方差的誤差均小于4%?？梢姳疚牡慕朴嬎惴椒▽δ芰亢头讲罱票容^精確，對于均值稍差一點。

3 平坦衰落信道的分析

本節(jié)考慮信號幅度A和B均為確定性參量的情況，分析相位噪聲影響下的信號檢測信噪比計算公式，然后提出針對弱信號檢測的信噪比近似計算方法。

3.1 檢測信噪比推導(dǎo)

考慮基于多樣本的信號檢測，采樣序列為m=1，2，…，M，接收信號的復(fù)數(shù)模型為

對應(yīng)的相位信號模型為

對于相位信號模型，按照能量計算的信噪比為

但是，由于相位噪聲的均值不為零，此信噪比與檢測性能沒有直接關(guān)系。

考慮匹配濾波器，輸出的檢測統(tǒng)計量可表示為

推導(dǎo)出統(tǒng)計量的均值和方差分別為

因此輸出信噪比可寫為

式（26）為檢測信噪比的理論計算公式，含有多個不可積分表達(dá)式。

3.2 檢測信噪比近似計算

考慮微弱信號檢測，根據(jù)表達(dá)式（13）和（18），可以將檢測統(tǒng)計量的均值和方差簡化為

因此微弱信號檢測的輸出信噪比可近似為

進而可得Dw(B，K，s) ≈結(jié)合式（27），弱信號檢測信噪比近似等于

最后，考慮弱信號|Bs(m)|＜1，可將檢測信噪比近似為

該近似方法的推導(dǎo)可分為如下3步。為方便分析，令Gsnr(K)=

（i）對于低信噪比0≤K≤1，利用式（14）可以得到

（ii）對于高信噪比K≥10，可以得到

此外高信噪比下相位噪聲可認(rèn)為近似為高斯分布，其方差可近似為1/2K，因此可得

（iii）對于中信噪比1＜K＜10，信噪比近似采用多項式擬合的思路。仿真表明：低信噪比近似方法在0≤K≤1區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)良好；高信噪比近似方法在K≥10 時表現(xiàn)良好；在中信噪比區(qū)域lgSNRw（B，K，s）與lgK近似線性關(guān)系。因此，設(shè)lgSNRw（B，K，s）與lgK滿足一次線性方程，可表示為lgSNRw（B，K，s）=algK+b。該方程經(jīng)過兩個固定點：當(dāng)K=1 時，lgK=0，lgSNRw（B，K，s）=0；當(dāng)K=10 時，lgK=1，lgSNRw（B，K，s）=lg20。當(dāng)b=0時，a=lg20。因此，有

進而有

綜上，可得檢測信噪比的近似表達(dá)式（32）。為了方便書寫和討論，令檢測信噪比中K與Es的相關(guān)量為

總的來說，在低信噪比和高信噪比下，檢測信噪比與復(fù)數(shù)信噪比呈線性關(guān)系；在中信噪比區(qū)域，二者的非線性函數(shù)關(guān)系非常明顯。檢測信噪比與信號能量B2Es成正比關(guān)系。

4 瑞利衰落信道的分析

本節(jié)考慮信號幅度B服從瑞利衰落信道時，推導(dǎo)檢測信噪比的理論信噪比表達(dá)式和近似計算表達(dá)式。然后以二進制相移鍵控BPSK為例，給出理論誤碼率的計算方法，并提出簡單快捷的近似計算方法。

4.1 平均信噪比

瑞利衰落信道（Rayleigh Fading Channel）是一種無線電信號傳播環(huán)境的統(tǒng)計模型。瑞利信道常用于從發(fā)射機到接收機不存在直射信號的情況，屬于小尺度的衰落效應(yīng)，適合用于跨界傳輸?shù)膱鼍啊?/p>

當(dāng)B服從瑞利分布時，其PDF可表示為

其中σB為瑞利信道參數(shù)。

瑞利衰落信道的平均檢測信噪比可定義為

即為固定幅度B的信噪比的積分。不過，結(jié)合式（24）和（25）可以發(fā)現(xiàn)信噪比積分公式很復(fù)雜，難以簡化。

考慮弱信號下的近似，利用信噪比近似公式（32）和（39），將平均檢測信噪比近似為

4.2 平均誤碼率

相位噪聲中通信信號的誤碼率，既依賴于通信體制和信號調(diào)制方式，也跟信道參數(shù)關(guān)系很大。本文考慮基于多樣本的通信檢測問題，以BPSK 為例推導(dǎo)理論誤碼率的計算方法。其他調(diào)制方式的誤碼率推導(dǎo)采用類似的方法。

從二元假設(shè)角度考慮，設(shè)BPSK 信號s（m）傳輸后接收的復(fù)數(shù)信號模型為

對應(yīng)的相位信號為y(m)=?z(m)。檢測統(tǒng)計量漸近服從高斯分布，可表示為

BPSK信號檢測的判決準(zhǔn)則為

該檢測器所得的BPSK調(diào)制的理論誤碼率為

采用檢測信噪比的近似計算式（32）和式（39），可將誤碼率近似計算為

可見，此表達(dá)式計算簡單。

瑞利衰落信道下的誤碼率，可通過固定信號幅度下的誤碼率積分得到，即

此公式無解析式，只能通過數(shù)值計算。由前文可見，誤碼率式（48）和方差式（12）均含有不可積分表達(dá)式，檢測統(tǒng)計量方差式（25）需要累加求和，運算量非常大。

采用誤碼率近似式（47），將瑞利衰落信道下的平均誤碼率近似為

給出的平均誤碼率與平均信噪比的關(guān)系很簡單直接。

對于其他調(diào)制方式，如MSK、BFSK 等，可以用相似方法推導(dǎo)出其誤碼率與信噪比的近似關(guān)系。這里不再贅述。

5 仿真與分析

本節(jié)通過仿真驗證本文所提信噪比與通信誤碼率的理論與近似計算方法的有效性。設(shè)傳輸信號為（sm）=sin（0.03πm），M=1000。接下來開展4個仿真實驗。

（i）首先仿真固定衰落信道即B為定值時，理論檢測信噪比SNR（TB，K，s）式（26）及其近似計算方法SNR（AB，K，s）式（32）。檢測信噪比仿真結(jié)果如圖1，圖1 中是x 標(biāo)注虛線表示近似計算，黑色實線表示理論計算?？梢姡旁氡鹊慕朴嬎闩c理論計算在B＜1 時很準(zhǔn)確；檢測信噪比與K在信噪比區(qū)域中為非線性關(guān)系，但與B近似成線性關(guān)系。

從兩個角度分析瑞利衰落信道的信噪比。由圖2（a）的曲線可見，近似計算的信噪比能夠很好地擬合理論信噪比，除了σB＞0.5 區(qū)域，這一點從圖2（b）也容易看出。對于K＜1的曲線，σB＞0.5后的信噪比明顯與σB不是線性關(guān)系，而K＞10 的曲線基本上是一條直線。

由仿真可以看出，本文提出的檢測信噪比近似方法對于K＞10或σB≤0.5時的近似效果很好。

下面仿真BPSK 調(diào)制解調(diào)的誤碼率。根據(jù)信號模型（43）生成復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)（zm），然后求其相位得到數(shù)據(jù)y(m)=?z(m)，再根據(jù)判決式（45）進行解碼。

（iii）仿真固定幅度B的誤碼率，結(jié)果如圖3（a）。可以看到，當(dāng)B較小時，理論誤碼率與近似誤碼率相同，也與仿真誤碼率吻合。當(dāng)B=1 時，理論誤碼率與仿真誤碼率吻合，但近似誤碼率有明顯差距。這說明誤碼率的近似計算方法不適用于非弱信號檢測的情況。

（iv）然后，仿真幅度B經(jīng)過瑞利衰落的誤碼率。由于本文只討論有用信號無模糊的情況，故令仿真中0＜B＜π。經(jīng)過50 萬次蒙特卡洛仿真，誤碼率統(tǒng)計結(jié)果如圖3（b）?？梢钥吹?，當(dāng)幅度參數(shù)σB較小時，仿真誤碼率與理論誤碼率吻合，近似計算的誤碼率也基本吻合，但較大σB時近似誤碼率不再準(zhǔn)確。

6 結(jié)論

本文分析了零均值復(fù)高斯噪聲影響下的復(fù)數(shù)相位中有用信號的檢測信噪比問題?；谙辔恍盘柲Ｐ秃湍：辔辉肼暦植迹茖?dǎo)了平坦衰落信道和瑞利衰落信道下的信號檢測信噪比和誤碼率的理論公式。針對理論公式過于復(fù)雜且非解析的問題，提出了具有閉合式的近似計算方法，可適用于信號幅度小于1 的情況。分析表明：信號檢測信噪比與復(fù)數(shù)信噪比K是非線性關(guān)系，分別在0≤K≤1、1＜K＜10、K≥10 區(qū)間與K、K1.3、2K成正比；瑞利衰落信道下該非線性關(guān)系依然成立，且所提信噪比能夠直接換算為平均誤碼率。本文研究的數(shù)據(jù)相位中信號檢測信噪比的理論值與近似計算方法，能夠為相位信號檢測類問題的分析提供參考作用。