談談阿氏圓的幾個性質及其應用

劉美玲

阿氏圓是古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（Apollous? nius，約公元前262年～約前190年）最先發(fā)現(xiàn)的.已知A、B 是平面上的兩點，若 =a（a ≠1），則 P 的軌跡是一個圓，這個圓叫作阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓.我們可利用幾何畫板來作出阿氏圓.任取兩點 A、B，在 AB 所在直線上任取一點 C，以 A 為圓心，AC 的長為半徑畫圓.構造比值 a = ?，以 B 為圓心，以 a ?AC的長度為半徑畫圓，兩圓交于 P、Q 兩點，P 點、Q 點的軌跡即為阿氏圓，如圖1所示.

阿氏圓是一種特殊的圓，有很多重要的性質，下面我們利用幾何畫板來進行研究.

性質1：阿氏圓與直線 AB 的兩個交點按定比a 內分 AB 和外分 AB .

可用幾何畫板畫出 P、Q 點的軌跡（阿氏圓）與直線 AB 相交于 M、N 兩點，如圖2所示.分別測量 MB 、 AM、NB、AN 的長度，通過計算可得= ?=a ，即可證明性質1.

由該性質可知，如果知道了圓上一點到直徑上兩定點的距離比，那么就可以知道圓上另一點到兩定點的距離比.

性質2：若 P 為阿氏圓上任一點，阿氏圓與直線 AB 交于M、N，則 PN，PM 分別是∠APB 內外角的平分線.

可用幾何畫板畫出阿氏圓與直線 AB，并連接 PM 、PN ，如圖3.對∠ APN、∠ APB、∠ APM、∠ APJ 分別進行測量，可得∠ APN = ∠ APB ， ∠ APM =∠APJ .

性質3：非等腰三角形ΔABC 三邊上的三個阿氏圓的圓心 Oa、Ob、Oc三點共線.

我們用上面繪制阿氏圓的方法，依次作出非等腰三角形ΔABC 三邊上的三個阿氏圓，通過計算直線OaOb的斜率與直線ObOc的斜率是否相等，即可證明性質3.

根據(jù)圖4中的結果進行計算可得兩直線的斜率相等，所以性質3成立.

性質4：非等腰三角形ΔABC三邊 a ，b ，c 上的阿氏圓半徑分別是 Ra ，Rb ，Rc，則 Ra = abcRb = abcRC= ?.且若 a >b >c，則+ = ?.

可以在圖4的基礎之上作圖，因為圓 Oa、圓 Ob 、圓Oc分別經過A、B、C三點，分別測出OaA、ObB、OcCabcabc的長度，即為 Ra ， Rb ，Rc .再量出a2-b2，建立等式關系即可.

由圖5中的數(shù)據(jù)，可得+ = + = = ，說明上述性質是成立的.

利用幾何畫板的作圖、測量功能，可以輕松作出阿氏圓，計算出結果，證明上述性質成立.在解題時，靈活運用阿氏圓的性質，能快速找到解題的思路，使問題順利得解.

例1.已知拋物線 C ： y2= 8x 的焦點為 F ，準線與x 軸的交點為 K，點 A 在 C 上，且AK = AF ，Δ AFK 的面積為（）.

A.4?? B.8?? C.16 ??D.32

分析：本題直接求解較為困難，不妨采用數(shù)形結合法，根據(jù)題意畫出圖形，問題的本質就會自然而然地呈現(xiàn)在我們面前.首先建立直角坐標系，繪出拋物線C 的圖象以及 F 、K 點的位置，如圖6.設 A（x，y），由題目條件AK = AF ，可得 A 是阿氏圓與拋物線 C 的交點，求得阿氏圓軌跡方程為：=?? ，化簡得 x2+y2- 12x +4=0，則阿氏圓與 y2= 8x 交點為 A（2，±4），所以 SΔAFK = FK ?yA=8 ，故答案選B項.

解答本題主要運用了阿氏圓的定義，根據(jù)其定義建立關系式，求得 K 點的軌跡方程，通過分析圖象確定 A點的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求得問題的答案.

例2.在平面直角坐標系xOy中，點 A（0，3），直線 l：y =2x -4，設圓C 的半徑為1，圓心在 l 上.若圓C 上存在點M，使MA =2MO，求圓心C 的橫坐標 a 的取值范圍.

分析：由 MA =2MO 可以判斷，點 M 是阿氏圓上的點.求得阿氏圓的軌跡方程為： x2+（y +1）2=4.而圓 C 是圓心在直線 l 上，半徑為1的圓.繪制如圖7所示的圖形，因為 M 也在圓 C 上，所以 M 即為圓 C 與阿氏圓的交點，由圖8可知圓C 的圓心在 O1、O2之間運動.設圓 C的圓心坐標為（ x ，2x -4），則1≤ ≤3，即 0≤ x ≤ ?.

解答本題主要運用了阿氏圓的定義以及性質3、性質4.首先根據(jù)題意確定 M 點為阿氏圓上的點，得到M 點的軌跡方程，然后利用阿氏圓的性質3、性質4確定圓心 C 的橫坐標的取值范圍.

總之，當遇到有關兩點一圓的問題、動點到兩定點的距離之比等于定比的問題時，可以利用阿氏圓的定義或性質將問題進行巧妙地轉化，這樣有助于提升解題的效率.

（作者單位：湖北省武漢市光谷實驗中學）