Magnus力對球類空中運動的影響

黃明煊，陸愛江

(1. 東華大學 物理1801班，上海 201620；2. 東華大學 應用物理系，上海 201620)

當一個旋轉球體的角速度矢量與物體質心速度矢量不重合時，在與角速度矢量和平動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產生一個橫向力，這個橫向力即為Magnus力.在Magnus力作用下旋轉物體的運動軌跡發(fā)生偏轉的現(xiàn)象稱為Magnus效應[1].Magnus效應由德國科學家Heinrich Magnus于1852年提出.但事實上，早在1672年，牛頓在觀看劍橋學院網(wǎng)球比賽后便描述和推斷了這種現(xiàn)象的發(fā)生.1742年，英國的槍炮工程師Benjamin Robins解釋了Magnus效應引起的步槍彈丸的飛行偏差.但是對該效應的細致深入研究始于Magnus本人.

Magnus力的產生，是旋轉體在黏性流體中運動的結果.如圖1所示，球體旋轉時表面速度不同,從而造成附近區(qū)域流體流速不同.根據(jù)伯努利原理，流速越大處壓強越小，因此黏性流體對旋轉體會產生一個垂直于角速度ω和質心速度v的壓力差，即為Magnus力.

圖1 Magnus力示意圖

基礎課程“力學”中研究的拋射體問題往往忽略空氣阻力也不考慮Magnus力，更多地適用于質點模型，而與現(xiàn)實生活中的實際情況存在巨大差距.尤其是在球類運動中，Magnus力往往是形成各種“曲線球”的根源，并且對球的射高和射程有一定影響，因此，研究Magnus力在小球運動中的作用尤其具有實際意義.本文以足球和乒乓球為例，研究Magnus力對球類運動軌跡的影響.

1 空中運動小球受力情況分析.

如圖2所示，空中的小球斜向上運動，受到重力作用的同時也受到與速度方向相反的空氣阻力作用.小球質量為m，速度為v.

圖2 小球受力分析圖

情況1：如圖3(a)所示，若ω垂直于Oxy平面(沿z方向)，則Magnus力方向在Oxy平面內，可將它分解到x、y方向上，它對球x、y方向的運動都會產生一定影響.

情況2：如圖3(b)所示，若ω在Oxy平面內，Oxy平面內的速度分量產生z方向的Magnus力，記為FMagnus1.此時，z方向速度會產生Oxy平面內的Magnus力，記為FMagnus2，總的Magnus力為FMagnus1和FMagnus2的矢量疊加，這種情況下的Magnus力對x、y、z方向的位移都有影響.

情況1

情況3：如圖3(c)所示，ω的方向可分解為在Oxy平面內的分量和垂直于Oxy平面(z方向)的分量，因此得到的Magnus力沿x、y、z3個方向的分量均不為零.

2 運動方程的建立

首先考慮質心的運動.小球在Oxy平面內飛行(與重力加速度g確定的平面)，在直角坐標系中表示小球質心運動的方程如下：

(1)

t為時間坐標.相應數(shù)值求解的遞推關系式為

(2)

Δt為所選時間步長.

考慮Magnus力，針對以上3種不同方向的Magnus力，分別建立其運動方程如下：

針對情況1，列出小球運動方程為

(3)

針對情況2，小球運動方程應為

(4)

對于情況3，則可以通過給定任意方向的角速度ω加以研究，其作用效果可等效為情況1、2的疊加.

3 運動方程的求解

通過數(shù)值求解運動方程，我們系統(tǒng)研究了Magnus力對球類運動軌跡的影響.課程中我們選取同學們比較感興趣的內容——足球作為我們的研究對象.取時間步長Δt=0.25s，總時長t=5 s，即20個時間間隔.取足球平均球速為40 m/s，直徑為0.22 m，質量為0.4 kg，射出角θ設為60°,分別作：ω=0時，ω=4 rad/s且沿z方向時，ω=4 rad/s且在Oxy平面內與x軸正向夾角120°時的運動曲線如圖4(a)所示.坐標軸如圖3中所示.

我們發(fā)現(xiàn)，旋轉的小球其射高和射程都發(fā)生了改變.當ω沿z方向，其射高減小，射程增加；而當ω在Oxy平面內時，小球沿z方向發(fā)生明顯位移，同時z方向的速度也會使x、y方向有偏移.這一結果與我們平時看到球賽中的弧線球等情況完全一致.所以我們有理由相信，足球技術動作中控制足球的轉速是一個非常重要的方面.

研究過程中有同學提出：乒乓球因其自身質量很小，Magnus力的效應是不是比足球更為顯著？真是一個好問題.那么我們就來看看乒乓球的情況吧！取時間步長Δt=0.025s，模擬總運動時長t=0.5 s，乒乓球球速為5 m/s，直徑為4 cm，質量為2.7 g，射出角θ為30°,分別作：ω=0時，ω=4 rad/s且沿z方向時，ω=4 rad/s且在Oxy平面內與x軸正向夾角120°時的運動曲線如圖4(b)所示.同樣地，旋轉的乒乓球其射高和射程都發(fā)生了改變.當ω沿z方向，其射高減小，射程增加，即所謂的“下旋”；而當ω在Oxy平面內時，小球沿z方向發(fā)生明顯位移，即所謂“削球”,造成乒乓球運動路線的偏移.

足球運動軌跡

為了方便比較Magnus力對小球射程、射高、偏移量的影響，我們將計算出的足球和乒乓球射程、射高、偏移量列于表1.由表1可知，ω在Oxy平面內時所產生的z方向的Magnus力會使球在z方向偏移，這是造成球類弧線運動的主要原因.

表1 足球和乒乓球沿3個方向的最大射程

ω沿z方向時會產生Oxy平面內的Magnus力，可將其分解到x、y軸上，對x、y方向位移產生影響.且若Magnus力使x方向位移增大，則y方向位移一定減小，反之亦然.由圖3可看出，此時質心速度在一、三象限，由于Magnus力垂直于質心速度，Oxy平面內的Magnus力只可能處于二、四象限，因此Magnus力對x、y位移的改變趨勢相反.但實際過程中，由于地面和球臺高度有限，盡管Oxy平面內的Magnus力理論上在減小y方向位移的同時會增大x方向位移，但y方向最大高度的減小會使運動時間變短，反而會導致x方向位移減小，如圖4(b)所示，曲線y<0的部分往往是不能實現(xiàn)的.

4 結論

實際過程中球類的運動是很復雜的，除了我們考慮到的速度、角速度、球的直徑和質量之外，還受球表面粗糙度、空氣流速、環(huán)境溫濕度等多個因素影響,想要準確的描述球類的運動軌跡是很困難的.本文旨在模擬影響球類軌跡，尤其是弧線軌跡的一個很主要的因素——Magnus效應.通過對Magnus力的可能情況分析，可以解釋球類比賽中很多奇特的“曲線球”現(xiàn)象.

足球中的“香蕉球”和“枯葉球”就是對Magnus效應很好的應用.香蕉球是指球在向前飛行的同時還會向一側偏轉的現(xiàn)象.這是水平方向Magnus力作用的結果.給球一個在Oxy平面內的角速度，會使得球在z方向發(fā)生偏轉，出現(xiàn)斜向的弧線.枯葉球是指踢出的球當靠近球門時會突然下沉，就如一片枯葉從樹上落下.其原理是給球一個在水平方向的角速度(即：使球向前旋進)，會使前進方向位移發(fā)生變化，在初速度很大的情況下可能發(fā)生急墜現(xiàn)象.

在乒乓球運動中，擊球時球拍與球發(fā)生摩擦，造成“旋球”，其旋轉種類分為：上旋、下旋、左側旋、右側旋、順旋、逆旋六種，實際就是ω分別沿x、y、z三個軸正或負方向旋轉的情況，同時不同軸間角速度還可以任意組合，形成多樣的小球運動方式.