靜磁外部球諧多極矩展開(kāi)

余 天，林 方，姚 欣，齊建起，張志友，聶 婭，王 磊，朱建華

(四川大學(xué) 物理學(xué)院,四川 成都 610065)

在本科物理及相關(guān)專業(yè)培養(yǎng)中，靜磁場(chǎng)是“電磁學(xué)”和“電動(dòng)力學(xué)”課程教學(xué)的基本內(nèi)容.在教學(xué)中靜磁場(chǎng)通常采取與靜電場(chǎng)進(jìn)行類比的方式展開(kāi).例如，在介紹無(wú)源單連通場(chǎng)域的靜磁場(chǎng)時(shí)，常類比靜電場(chǎng)引入磁標(biāo)勢(shì)，進(jìn)而將此類靜磁問(wèn)題化歸為已在靜電學(xué)中深入討論過(guò)的靜電拉普拉斯方程邊值問(wèn)題.然而在類似靜電多極矩展開(kāi)的靜磁多極矩展開(kāi)教學(xué)中，國(guó)內(nèi)教學(xué)資料通常僅限于介紹直角坐標(biāo)表示的靜磁矢勢(shì)多極矩展開(kāi)[1-4]，少見(jiàn)與靜電球諧多極矩展開(kāi)呼應(yīng)的靜磁球諧多極矩展開(kāi)介紹，也鮮有關(guān)于磁標(biāo)勢(shì)在靜磁多極矩展開(kāi)中應(yīng)用的討論.

多極矩展開(kāi)可有兩種情況：場(chǎng)點(diǎn)位于有限源區(qū)外部的外部多極矩展開(kāi)和場(chǎng)點(diǎn)包圍在源區(qū)內(nèi)部的內(nèi)部多極矩展開(kāi)[5].實(shí)際教學(xué)中主要介紹外部多極矩展開(kāi)，給出的一般適用情況為：源分布在有限空間中其線度R遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于待求場(chǎng)點(diǎn)到源(中心)的距離，此時(shí)取原點(diǎn)在源分布中心附近，可將遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處電磁勢(shì)函數(shù)展為收斂級(jí)數(shù).靜磁外部球諧展開(kāi)即在球坐標(biāo)系下將滿足上述條件的遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處?kù)o磁場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)展為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)的收斂級(jí)數(shù).本文綜合國(guó)外相關(guān)探討[5-7]先介紹靜磁標(biāo)勢(shì)的外部球諧多極矩展開(kāi)，再分析靜磁矢勢(shì)的外部球諧多極矩展開(kāi).其中靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)的分析采用了2種不同的方法： 1)基于遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處的磁場(chǎng)既可由磁標(biāo)勢(shì)表示也可用磁矢勢(shì)表示，從靜磁標(biāo)勢(shì)的外部球諧多極矩展開(kāi)出發(fā)分析得到慣用的靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)表示；2)從遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)的磁矢勢(shì)出發(fā)，借由德拜勢(shì)表示的靜磁矢勢(shì)引入角動(dòng)量算符直接獲得靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)慣用表示.

1 靜磁標(biāo)勢(shì)的外部球諧多極矩展開(kāi)

考慮靜磁外部多極矩展開(kāi)時(shí)，電流源總是分布在原點(diǎn)附近的有限源區(qū)空間V′中，而且待求場(chǎng)點(diǎn)在源區(qū)外部，因此待求場(chǎng)域總是單連通空間，在其上可以引入靜磁標(biāo)勢(shì)φ(r)，有

H(r)=-?φ(r)

(1)

對(duì)于磁導(dǎo)率為μ的簡(jiǎn)單介質(zhì)，靜磁場(chǎng)相關(guān)的麥克斯韋方程組和本構(gòu)關(guān)系分別為：

(2)

B=μH

(3)

由此得到場(chǎng)點(diǎn)r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(r)與該點(diǎn)處的靜磁標(biāo)勢(shì)φ(r)滿足關(guān)系：

B(r)=-μ?φ(r)

(4)

注意到有

?2(r·B)=r·?2B+2?·B=r·?2B

(5)

我們可得到關(guān)于標(biāo)量(r·B)的泊松方程：

?2(r·B)=-μr·(?×J)δ(r-r′)

(6)

其形式解不難類比于靜電標(biāo)勢(shì)泊松方程的庫(kù)侖積分而寫(xiě)出，即

(7)

(8)

(r?r′) (9)

其中Ω=(θ,φ)和Ω′=(θ′,φ′)分別代表場(chǎng)點(diǎn)r和源點(diǎn)r′坐標(biāo)的角量部分.將其代入靜磁標(biāo)勢(shì)方程并對(duì)場(chǎng)點(diǎn)距離直接積分得到

(10)

其中積分系數(shù)：

(11)

2 從磁標(biāo)勢(shì)出發(fā)求靜磁外部球諧多極矩展開(kāi)

數(shù)學(xué)上遠(yuǎn)源的單連通場(chǎng)點(diǎn)r處的靜磁場(chǎng)B(r)既可借由磁標(biāo)勢(shì)φ(r)刻畫(huà)也可等效由磁矢勢(shì)A(r)表示：

-μ?φ(r)=B(r)=?×A(r)

(12)

基于此我們由靜磁標(biāo)勢(shì)的外部球諧多極矩展開(kāi)來(lái)求磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)形式.

上式左側(cè)給出

(r?r′) (13)

我們注意到球諧函數(shù)滿足如下關(guān)系：

(14a)

(14b)

引入關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)的角動(dòng)量算符：

(15)

不難將式(13)改寫(xiě)為

(r?r′) (16)

換言之，我們找到了源區(qū)外部遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)r處磁矢勢(shì)的一種表示：

(r?r′) (17)

這就是慣用靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)式.

3 靜磁矢勢(shì)的球諧多極矩展開(kāi)的直接分析

磁標(biāo)勢(shì)的引入是有條件的，而任意場(chǎng)點(diǎn)都可定義磁矢勢(shì).故而直接求靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)具有更普遍意義.

源區(qū)V′中恒定電流J(r′)在其外部遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)r處所激勵(lì)靜磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)磁矢勢(shì)可以取為

(18)

類似于靜磁標(biāo)勢(shì)情況容易將上式展為級(jí)數(shù)形式：

A(r)=

(r?r′) (19)

為了由式(19)出發(fā)獲得慣用靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)式，我們注意到任意矢量場(chǎng)總可分解為環(huán)向場(chǎng)(Toroidal Field)、極向場(chǎng)(Poloidal Field)和梯度場(chǎng)三部分[8-11].具體而言，我們總可將靜磁矢勢(shì)分解為

(20)

其中{ψ,χ}是德拜(P. Debye)在分析電磁輻射時(shí)最早引入的，故稱為德拜勢(shì)[8].對(duì)于靜磁問(wèn)題采用庫(kù)侖規(guī)范，?·A=0，通常是方便的.此時(shí)磁矢勢(shì)無(wú)散，故上述分解中聯(lián)系梯度場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)總可取為零，φ=0.再考慮到磁矢勢(shì)借由旋度聯(lián)系磁感應(yīng)強(qiáng)度，而極向場(chǎng)無(wú)旋對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度沒(méi)有貢獻(xiàn)，因此德拜勢(shì)中不妨取χ=0.換言之，庫(kù)侖規(guī)范下的靜磁勢(shì)可取為純環(huán)向場(chǎng)，也即有

(21)

(22)

(23)

容易得到靜磁矢勢(shì)滿足

(24)

基于上式我們可以在磁矢勢(shì)表述中引入角動(dòng)量算符:

A=

(r?r′) (25)

對(duì)于作用于源點(diǎn)的角動(dòng)量算符

(26)

由球諧函數(shù)的完備性可知

(27)

具體到這里討論的外部多極矩展開(kāi)，因?yàn)閳?chǎng)域與源區(qū)無(wú)重疊，故有

(28)

進(jìn)而得到

A=

(29)

其中反映源分布特性的積分系數(shù)為

(30)

利用矢量運(yùn)算關(guān)系：

J·(r′×?′)=-(r′×J)·?′

(31)

(32)

(33)

再由矢量運(yùn)算關(guān)系：

?′·(r′×J)=-r′·(?′×J)

(34)

容易發(fā)現(xiàn)

(35)

4 討論與總結(jié)

首先，應(yīng)該指出的是將電流密度J按球坐標(biāo)分解并利用前述式(19)可直接得到靜磁矢勢(shì)形如靜電外部球諧展開(kāi)的級(jí)數(shù)表示.不難發(fā)現(xiàn)這一形式也滿足按場(chǎng)點(diǎn)距離冪與球諧函數(shù)階展為逐項(xiàng)遞減的級(jí)數(shù)，并且級(jí)數(shù)中積分系數(shù)也只與源區(qū)電流分布特性有關(guān)，然而這一形式并不是慣用的靜磁矢勢(shì)外部球諧展開(kāi)式.這主要是人們對(duì)磁場(chǎng)的認(rèn)識(shí)最初是類比于電場(chǎng)采用磁荷觀點(diǎn)解釋磁現(xiàn)象所致.磁矢勢(shì)可以追溯到1845年紐曼(F. Neumann)在借助安培的方法分析電磁感應(yīng)定律時(shí)提出的“電動(dòng)力學(xué)勢(shì)”[12]，而基于磁荷觀點(diǎn)，高斯(J. Gauss)在1839年已利用球諧展開(kāi)分析得出地磁場(chǎng)主要源自地球內(nèi)部[13].有鑒于靜磁標(biāo)勢(shì)及其多極矩分析已有較多成熟應(yīng)用，在磁矢勢(shì)球諧多極矩展開(kāi)中沿用基于靜磁標(biāo)勢(shì)的球諧磁多極矩自然得到磁矢勢(shì)球諧多極矩展開(kāi)的慣用形式.其次，靜磁標(biāo)勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)呼應(yīng)了靜電標(biāo)勢(shì)外部多極矩展開(kāi)[14-16].盡管現(xiàn)在人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到激勵(lì)磁標(biāo)勢(shì)的磁荷不是客觀的物理存在，但仍可以在單連通無(wú)源區(qū)域建立起靜磁標(biāo)勢(shì)與激勵(lì)靜磁場(chǎng)的恒定電流分布間的正確關(guān)系，即式(8).這區(qū)別于磁標(biāo)勢(shì)通常應(yīng)用中只直接與磁荷相關(guān)聯(lián)的情形，豐富了靜磁標(biāo)勢(shì)的應(yīng)用.第三，通常電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)中矢量分析的基礎(chǔ)是亥姆霍茲定理，即任意矢量場(chǎng)總可唯一確定地分解為橫場(chǎng)和縱場(chǎng).利用德拜勢(shì)分解矢量場(chǎng)進(jìn)一步拓展了矢量場(chǎng)分解的內(nèi)容，其核心在于任一橫場(chǎng)還可以進(jìn)一步分解為環(huán)向場(chǎng)和極向場(chǎng).最后，介紹靜磁外部球諧多極矩展開(kāi)有助于向?qū)W生展示學(xué)科內(nèi)分支間聯(lián)系.例如，通常量子力學(xué)和原子物理課程中才涉及的角動(dòng)量算符自然地出現(xiàn)在靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)中，不僅生動(dòng)展現(xiàn)了算符作為運(yùn)算工具的數(shù)學(xué)含義，也潛在的提示著我們磁矩與角動(dòng)量間存在深刻聯(lián)系.

本文討論了靜磁球諧多極矩展開(kāi)，給出了靜磁標(biāo)勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi)和慣用的靜磁矢勢(shì)外部球諧多極矩展開(kāi).這些內(nèi)容作為電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)課程的拓展，不僅有助于豐富矢量分析和多極矩分析的內(nèi)容，深化學(xué)生對(duì)靜磁標(biāo)勢(shì)及其應(yīng)用的理解，還能展示物理學(xué)科內(nèi)部不同課程間聯(lián)系，提示我們進(jìn)一步挖掘知識(shí)間的相互聯(lián)系.