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    直廓環(huán)面蝸桿傳動的高次方修形原理

    2022-04-08 13:29:04趙亞平李帥陳新元李公法
    關(guān)鍵詞:修形蝸輪傳動比

    趙亞平 李帥 陳新元 李公法

    摘要:系統(tǒng)地建立了高次方修形直廓環(huán)面蝸桿傳動的數(shù)學(xué)模型,用微分幾何和嚙合理論等理論推導(dǎo)了蝸桿副的曲率參數(shù),嚙合函數(shù)以及曲率干涉界線函數(shù).證明了直廓環(huán)面蝸桿的齒面為不可展的直紋面,這與其蝸桿的齒面形成原理相吻合.利用最小二乘法擬合無量綱化的修形數(shù)據(jù)得到普適型高次方修形曲線,基于此曲線推導(dǎo)出工藝傳動比的計算公式,得到高次方修形蝸桿傳動.根據(jù)不同次修形曲線修形的數(shù)值算例分析表明,高次方修形可消除原始型直廓環(huán)面蝸桿齒面的常接觸線,有效的增大了蝸桿副齒面的共軛區(qū)面積,修形后蝸桿全長可被利用,承載能力強.但高次方修形后的蝸桿副齒面存在曲率干涉界線,有可能導(dǎo)致蝸桿副發(fā)生根切.

    關(guān)鍵詞:蝸輪;嚙合理論;修形;曲率干涉;傳動比

    中圖分類號:TH122

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    收稿日期:2021-07-02

    基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(52075083),National Natural Science Foundation of China(52075083);武漢科技大學(xué)冶金裝備與控制教育部重點實驗室開放基金項目(MECOF2021B02,MECOF2020B03),Open Fund of the Key Laboratory for Metallurgical Equipment and Control of Education Ministry in Wuhan University of Science and Technology(MECOF2021B02,MECOF2020B03)

    作者簡介:趙亞平(1975—),男,北京人,東北大學(xué)教授,博士

    ?通信聯(lián)系人,E-mail:zhyp_neu@163.com

    直廓環(huán)面蝸桿副最初由英國的Hindley于1765年首先發(fā)明[1].1909年,美國的Cone進(jìn)行了重要改進(jìn).實際上在此之前,德國的Lorenz博士就制成過這種蝸桿副,并取得了專利權(quán)[2].

    與包絡(luò)環(huán)面蝸桿副相比,直廓環(huán)面蝸桿副主要優(yōu)點為:1)一般不存在邊齒變尖[3].2)在軸截面內(nèi),相應(yīng)蝸輪環(huán)面滾刀的齒廓為直線段[4],有利于刀具檢驗和測量.但也存在一些不足之處[5]:1)其蝸輪齒面上接觸區(qū)面積較小.2)蝸桿螺旋面是不可展的直紋面,難于按成形原理精確磨削.

    直廓環(huán)面蝸桿傳動有原始型和修正型之分.原始型傳動由于蝸輪齒面上存在所謂的“常接觸線”,容易造成蝸輪的早期失效,多不主張采用[6].修正型傳動按原理可以歸結(jié)為基于實測磨損量的自然修形,和基于嚙合理論的理性修形.其中前者屬于半經(jīng)驗半解析的修形方法.

    自然修形最早由前蘇聯(lián)學(xué)者提出,通過實測獲得經(jīng)過一定運轉(zhuǎn)時間后的蝸桿分度環(huán)面上的磨損量曲線,即所謂自然修形曲線[7].進(jìn)而采用拋物線對自然修形曲線進(jìn)行擬合,實現(xiàn)拋物線修形.由于拋物線修形在本質(zhì)上屬于變工藝傳動比修形,在數(shù)控裝置普及之前,在生產(chǎn)實踐中實現(xiàn),有一定困難,因之曾采用變參數(shù)修形予以替代[8].

    為了提高自然修形曲線的擬合精度,80年代曾有學(xué)者提出高次方修形.在自然修形的研究過程中,長期沒有獲得加工修形蝸桿的工藝傳動比的明確計算式,后來得到該計算式后,也沒有在嚙合分析計算的過程中,始終把工藝傳動比當(dāng)作變量處理,造成嚙合分析的結(jié)果不能準(zhǔn)確反映蝸桿副的實際工作狀況[9].作為自然修形的一個變種,曲率修形通過建立修形量微分與蝸桿齒面曲率半徑微分間的關(guān)系,修正蝸桿齒厚達(dá)到修形目的[10].

    隨著嚙合理論的發(fā)展,誕生了理性修形.其基本原理是,在加工蝸桿或相應(yīng)滾刀的過程中,蝸桿毛坯與刀座的相對位置及相對運動,和蝸桿副嚙合過程中,蝸桿蝸輪的相對位置及相對運動,存在人為設(shè)置的差異,實現(xiàn)修形,達(dá)到去除常接觸線擴大共軛區(qū)的目的.由于上述差異可以人為設(shè)置,意味著理性修形中,工藝傳動比可以取常值,從而降低理性修形實現(xiàn)的難度.

    理性修形中,可調(diào)參數(shù)較多,諸如:工藝中心距、工藝傳動比、刀座垂直高度、以及刀座軸線偏轉(zhuǎn)角度等等,從而形成各色修形傳動.不過,按照嚙合特點,這些修形傳動可以劃分為:I型傳動、II型傳動和角修形傳動等有限的類型.理論研究表明,綜合施加不同參數(shù)修形,才能獲得嚙合性能較為優(yōu)越的傳動副.

    本文基于自然修形數(shù)據(jù),對其無量綱化處理后,用高次多項式擬合得到具有普適性的高次修形曲線,推導(dǎo)了修形曲線與工藝傳動比i1d的關(guān)系式.根據(jù)微分幾何及齒輪嚙合理論系統(tǒng)地建立了具有變工藝傳動比直廓環(huán)面蝸桿副的數(shù)學(xué)模型,證明了蝸桿螺旋面是不可展直紋面.并通過相關(guān)算例分析了高次方自然修形直廓環(huán)面蝸桿的局部嚙合性能.

    1加工蝸桿工藝傳動比的計算原理

    1.1高次方修形曲線高次方修形曲線的優(yōu)劣直接影響到蝸桿副的嚙

    合性能,既有文獻(xiàn)中的修形曲線是在特定參數(shù)下得到的.為擴充修形曲線的適用范圍,進(jìn)一步提高擬合精度,需建立普適型修形曲線.

    在精車蝸桿螺旋面的過程中,蝸桿繞其軸線的轉(zhuǎn)角為φ,車刀的所謂標(biāo)稱角度是φx,它們的幾何關(guān)系如圖1所示.據(jù)此可以把φx表示為

    式中,α是蝸桿分度環(huán)面壓力角.

    文獻(xiàn)[9]中對中心距a=500mm、傳動比i12=8的蝸桿副,按不同的標(biāo)稱角度φx,實際測量修形量(i)(i)(i)Δs,共獲得i=35組數(shù)據(jù)(φx,Δs).建立修形曲線前,先對所得的數(shù)據(jù)無量綱化處理.為此首先定義轉(zhuǎn)角系數(shù)

    式中,φw為蝸桿包圍蝸輪工作半角.

    同樣定義修形量系數(shù)I=Δ(i)Δ,根據(jù)文獻(xiàn)[8],isf不同中心距、傳動比條件下蝸桿嚙入端修形量Δf/mm可按下式計算

    其中,a為蝸桿副標(biāo)稱中心距;式中10.25≤i12≤59.

    文獻(xiàn)[9]中的數(shù)據(jù),經(jīng)上述方法處理后,得到的無量綱化的修形數(shù)據(jù)列于表1.

    對上述修形數(shù)據(jù)以最小二乘法擬合得到修形量系數(shù)的函數(shù)為

    對式中多項式冪次n取不同數(shù)值,可得到式中不同次多項式的系數(shù)ck,將計算的數(shù)值結(jié)果列于表2.

    以3次修形量系數(shù)的函數(shù)為例,擬合得到的曲線圖像如圖2.x=-1,x=0,x=1分別對應(yīng)蝸桿副的嚙出端、喉部和嚙入端.

    由式(4)和表2中的數(shù)據(jù)得到修形曲線函數(shù)表達(dá)式為

    當(dāng)多項式冪次n=2時,式(5)為拋物線修形曲線函數(shù);當(dāng)n>2,即為高次方修形曲線函數(shù).

    通過提高擬合多項式的次數(shù)n,可以提升式(4)的擬合精度.為此基于表1中數(shù)據(jù)計算各次曲線的誤差,其結(jié)果如表3所示.

    由表3可知,單純提高擬合多項式的次數(shù),并不能顯著提升擬合精度.

    1.2工藝傳動比與修形曲線函數(shù)的關(guān)系

    由圖1可建立加工蝸桿毛坯時刀具的附加轉(zhuǎn)動Δφd與修形量變化的關(guān)系式

    式中,r2為蝸輪分度圓環(huán)半徑.

    因此,加工修正型直廓環(huán)面蝸桿時刀具轉(zhuǎn)角為

    任意轉(zhuǎn)角下刀座與蝸桿的傳動比為

    在式中,嚙入端修形量Δf、蝸輪分度圓半徑r2和工作半角φw均為常值且為正數(shù).因此,工∑藝傳動比i1d與公稱傳動比i12的大小關(guān)系由In′(x)=nkcxk-1k=1決定.在圖2中,In′(x)為曲線的斜率,由此可知In′(x)=0對應(yīng)的轉(zhuǎn)角系數(shù)在x=-0.5左右,在x=-0.5附近右側(cè),In′(x)>0,i1d<i12;在x=-0.5附近左側(cè)In′(x)<0,i1d>i12.

    2高次方修形蝸桿傳動嚙合理論

    2.1坐標(biāo)系的選取及直線刀刃方程

    如圖3,直廓環(huán)面蝸桿的齒面是由直線刃車刀加工而成,與蝸桿相配對的蝸輪是由與蝸桿形狀相同的滾刀加工而成.

    圖3中u為直線刃車刀參數(shù),由此可得刀刃直線方程

    根據(jù)蝸桿副加工嚙合原理,可確定各坐標(biāo)系的位置關(guān)系,建立如圖4坐標(biāo)系系統(tǒng).

    該坐標(biāo)系系統(tǒng)由六個坐標(biāo)系組成,其中坐標(biāo)系

    系,分別與蝸桿、蝸輪和刀具固連,其余坐標(biāo)系為靜坐標(biāo)系,且與機架固連.圖中φ為刀具加工蝸桿時蝸桿轉(zhuǎn)角,φ為加工蝸輪時刀具轉(zhuǎn)角.

    對式(9)做旋轉(zhuǎn)矩陣變換得到σod中刀刃直線族方程為

    2.2直廓環(huán)面蝸桿螺旋面不可展性的數(shù)學(xué)證明

    σ1中蝸桿的螺旋面方程也可以寫成以下形式

    式(12)與直紋面的標(biāo)準(zhǔn)方程相符.在此基礎(chǔ)上證明其不可展.從式(12)計算導(dǎo)矢,分別令p(p)、(p)對p求導(dǎo)

    這與可展曲面的判定條件相悖,即直廓環(huán)面蝸桿的螺旋面為不可展.綜上可得,直廓環(huán)面蝸桿的螺旋面為不可展的直紋面.

    2.3蝸桿螺旋面的兩類基本量及曲率參數(shù)

    由式(11)可得u、p兩個方向偏導(dǎo)矢

    由式(14)(15)及第一類基本量求得坐標(biāo)系σ1中蝸桿的螺旋面單位法向量為

    為計算螺旋面的第二類基本量,分別計算蝸桿螺旋面方程對up的二階偏導(dǎo)矢

    從式(17)(18)(19)和(20),可以計算出直廓環(huán)面蝸桿螺旋面的第二類基本量如下:

    由蝸桿螺旋面的兩類基本量可計算得沿(d),方向法曲率、測地?fù)下屎臀仐U螺旋面的平均曲率為

    2.4蝸輪的齒面方程及嚙合函數(shù)

    設(shè)蝸桿的角速度為d1=1rad/s,則在o1中,蝸輪的角速度(⊙)和蝸桿副的相對角速度分別為

    由旋轉(zhuǎn)變換得到σ。中蝸輪齒面生成面族方程

    同理蝸輪齒面生成面族的單位法向量也可由旋轉(zhuǎn)矩陣變換得到

    在σ。中蝸桿螺旋面和蝸輪齒面嚙合的相對速度矢量為

    由式(29)和式(30)推導(dǎo)嚙合函數(shù)如下[13-15]

    由蝸桿副滿足關(guān)系Φ(u,p,p1)=0可得

    對式(34)進(jìn)行三角變換

    式中中滿足以下關(guān)系:

    由式(35)得到一個嚙合周期內(nèi)p的兩個解:

    這兩個解分別表示在子共軛區(qū)∑A和∑B中P,與u、p的關(guān)系.在σ,中蝸輪齒面兩個子共軛區(qū)∑A和∑的方程分別為

    由式(33)對φ,微分得到直廓環(huán)面蝸桿副的嚙合極限函數(shù)④,為

    直廓環(huán)面蝸桿嚙合過程中的瞬時接觸線的法向量為

    各項因式乘積的計算結(jié)果表示如下:

    據(jù)式(37)(38)可求得曲率干涉界限函數(shù)為

    同時可求得瞬時接觸線法線方向的誘導(dǎo)法曲率k2和曲率滑動角0如下:

    3數(shù)值算例分析

    仿真分析部分采用數(shù)值算例的蝸桿副參數(shù)為Z1=2,a=280mm,i12=25.表4中給出了算例所需參數(shù)的計算方法及其數(shù)值結(jié)果[16-17].

    3.1原始型直廓環(huán)面蝸桿傳動的嚙合特性

    圖5基于蝸桿傳動嚙合理論,令i1a=i2可以得到無修形的原始型傳動.按表4中的技術(shù)參數(shù),繪出了原始型傳動的共軛區(qū)與接觸線.

    圖5(a)為蝸桿螺旋面在{O1;yo1,zo1}平面上的

    投影.區(qū)域ABCD為傳動副的共軛區(qū)ΣA,由式(34)可知,此區(qū)域內(nèi)φ1=φ,AB線和CD線分別代表蝸桿的嚙入端與嚙出端.

    圖5(b)為蝸輪齒面在{O2;z2,RB}平面上的投影,縱坐標(biāo)RB=x2+y2.AB線、CD線以及接觸線1-5重合,此區(qū)域退化為常接觸線.區(qū)域A*B*FE為傳動副的新接觸區(qū)ΣB.蝸桿螺旋面上的A*B*線代表共軛區(qū)ΣB的嚙入端,EF線為傳動副的曲率干涉界線,沿此線Ψ=0.同時EF線是共軛區(qū)ΣA與ΣB的公共邊?Φ界,構(gòu)成傳動副嚙合界線,沿此線?φ1=0.因此在蝸輪齒面上EF線不起曲率干涉界線的作用,不引起曲率干涉,只對在蝸桿齒面上共軛區(qū)Σ起嚙合界線的作用.沿EF線傳動副瞬時接觸線法矢量N=0,因此它是瞬時接觸線的奇點軌跡.

    分別在瞬時接觸線與蝸輪齒頂、蝸桿分度圓和蝸桿齒頂交點處選取3個采樣點,計算采樣點誘導(dǎo)法曲率k(12)和滑動角θ的數(shù)值結(jié)果列于表5中.數(shù)據(jù)N應(yīng)力小,油膜厚度相應(yīng)增大[18].且該子共軛區(qū)的θvt值較大,尤其在EF線附近數(shù)值接近90°,表明形成油膜的條件良好.

    3.2高次方修形直廓環(huán)面蝸桿傳動的嚙合特性

    為了防止過于繁冗,文中只給出3次、5次和7次曲線修形直廓環(huán)面蝸桿副的算例分析,如圖6-7和圖8所示.

    圖6(a)和圖7(a)中,區(qū)域ABHG為子共軛區(qū)ΣA,相比于原始型直廓環(huán)面蝸桿副,ΣA區(qū)不再退化為常接觸線.但區(qū)域內(nèi)存在曲率干涉界線GH,ΣA區(qū)不能貫徹蝸桿螺旋面的始終.區(qū)域A*B*D*C*為子共軛區(qū)ΣB,區(qū)域內(nèi)的嚙合界線被消除,子共軛區(qū)ΣB擴大至蝸桿的嚙出端,C*D*線為嚙出端的反映線.這表明,修形后的蝸桿仍為全長可用,且在嚙入端附近實現(xiàn)部分雙線傳動.

    圖6(b)和圖7(b)中,蝸輪齒面上的子共軛區(qū)ΣA和ΣB均增大.且與3次修形相比,5次修形的ΣA區(qū)更大一些.

    表6和表7中,ΣA區(qū)的誘導(dǎo)法曲率k(12)值較小,滑N動角θ值較大,嚙合性能良好.相比于原始型直廓vtB環(huán)面蝸桿,修形后Σ區(qū)中的誘導(dǎo)法曲率并無明顯變化,滑動角θvt值略微增大,油膜的形成條件更良好.在曲率干涉界線GH上Ψ=0,誘導(dǎo)主曲率無限大,接觸應(yīng)力也無限大,導(dǎo)致蝸桿副失效.

    提高修形曲線的擬合冪次后,子共軛區(qū)ΣA面積可以明顯增大,如圖8所示,ΣB區(qū)的嚙出端反映線C*D*部分進(jìn)入ΣA區(qū).D*點的蝸桿轉(zhuǎn)角φ(D*)=1357.7°,曲率干涉界線GH與蝸桿齒頂環(huán)面交點H的蝸桿轉(zhuǎn)角φ(H)=286.19°.由于φ(D*)>φ(H),說明ΣB區(qū)的蝸桿嚙出端反映線C*D*,在曲率干涉界線GH之后進(jìn)入了共軛區(qū)ΣA,因此可以將其D*NH區(qū)域切除,也就是切除了曲率干涉界線GH靠近蝸輪齒根的部分NH.N點為蝸輪齒面上曲率干涉界線GH和C*D*線的交點,可通過求解由曲率干涉界線函數(shù)Ψ=0、蝸桿嚙出端邊界條件、以及ΣA和ΣB中N點在坐標(biāo)系{O2;z2,RB}中橫縱坐標(biāo)分別相等構(gòu)成的方程組確定[19].在蝸桿螺旋面上,D*N線是嚙出端在共軛區(qū)ΣA內(nèi)的反映線,如圖8(a)所示.

    位于該區(qū)上的瞬時接觸線1是根據(jù)A點到G點蝸桿轉(zhuǎn)角的中間值得到的,其明顯更靠近邊界MNG,這說明ΣA區(qū)內(nèi)瞬時接觸線分布不均勻,在邊界MNG附近瞬時接觸線更密集,在蝸桿副的傳動過程中接觸頻率更高,容易發(fā)生點蝕.

    表8中給出了7次修形曲線修形后誘導(dǎo)法曲率k(12)和滑動角θ的計算結(jié)果.相比于表6和表7,ΣANvt(12)區(qū)內(nèi)滑動角θvt變化不大,但誘導(dǎo)法曲率kN更小,齒間接觸應(yīng)力變小,油膜厚度增加.在ΣB區(qū)上,誘導(dǎo)法曲率k(12)無明顯變化,嚙入端的滑動角θ增大,嚙出Nvt端的滑動角θvt減小,但都處于較好的狀態(tài),有利于蝸桿副的傳動.

    4結(jié)論

    通過對修形數(shù)據(jù)無量綱化處理,推導(dǎo)出了更具普適性的高次方修形曲線函數(shù),在此基礎(chǔ)上獲得了加工直廓環(huán)面蝸桿螺旋面的工藝傳動比的計算式.從而通過工藝傳動比,把修形曲線的影響引入嚙合分析的計算,改變了既有文獻(xiàn)中只考慮修形曲線對蝸桿齒厚影響的舊觀念.在這個意義上,基于修形曲線的修形應(yīng)屬于變傳動比修形,工藝傳動比在本質(zhì)上是時間的函數(shù).數(shù)值結(jié)果表明,單純提高修形曲線函數(shù)的冪次,對于提升修形曲線擬合精度的作用是十分有限的.

    基于旋轉(zhuǎn)變換矩陣,全面建立了高次方修正型直廓環(huán)面蝸桿傳動的嚙合理論,通過所得到的工藝傳動比公式,精確地考慮了修形曲線的影響,彌補了先前文獻(xiàn)在這方面的不足,嚴(yán)格論證了其蝸桿螺旋面為不可展的直紋面.

    數(shù)值計算結(jié)果表明,高次方修形可以去除蝸輪齒面的常接觸線,并擴大接觸區(qū),同時使蝸桿全長參與嚙合,且在入口部分保持一定長度的雙線接觸.高次方修形對誘導(dǎo)主曲率及滑動角等局部嚙合性能指標(biāo)影響不大.主要不足之處是,蝸輪齒面中部靠近齒頂部位存在一定程度的曲率干涉,提升修形曲線函數(shù)的冪次,可以消減蝸輪齒面上曲率干涉界線的長度,但難以將其去除凈盡.

    綜合考量,高次方修形需按一定規(guī)律改變加工蝸桿的工藝傳動比,在工藝方面相對比較復(fù)雜,又存在一定程度的曲率干涉,因此不宜單獨采用.

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