正規(guī)矩陣的刻畫

曹妍妍， 陸炎珂， 魏俊潮

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002)

1 引 言

AGA=A，GAG=G， (AG)H=AG， (GA)H=GA，

則稱G為A的Moore-Penrose逆矩陣，簡(jiǎn)稱MP逆矩陣.眾所周知，任意復(fù)矩陣A有唯一的MP逆矩陣，通常記為[1].

若存在復(fù)矩陣X，滿足條件

AXA=A， XAX=X， AX=XA，

則稱A是群可逆矩陣，并稱X是A的群逆矩陣.但并不是每個(gè)矩陣都是群可逆矩陣.一個(gè)復(fù)矩陣A是群可逆矩陣當(dāng)且僅當(dāng)rank(A)=rank(A2).若A是群可逆矩陣，則其群逆矩陣是唯一確定的，通常記為A#[2].

設(shè)A是群可逆矩陣，且A#=A+，則稱A是range-Hermitian矩陣(簡(jiǎn)稱EP矩陣)[3].近年來(lái)，關(guān)于EP矩陣及環(huán)上EP元的研究很多，有興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[4-7].

設(shè)A是n階復(fù)矩陣，若AAH=AHA，則稱A是正規(guī)矩陣[8-10]，受參考文獻(xiàn)[9-11]的啟發(fā)，本文主要借助EP矩陣的構(gòu)造，研究正規(guī)矩陣的性質(zhì)刻畫，這是研究正規(guī)矩陣的新方法.

2 主要結(jié)果

引理1設(shè)A是群可逆矩陣，則AAH(A#)H是EP矩陣，且(AAH(A#)H)+=AA+A+.

證因?yàn)?/p>

(AAH(A#)H)(AA+A+)=AAH((A#)HAA+)A+=A(AH(A#)HA+)=AA+，

且

(AA+A+)(AAH(A#)H)=AA+(A+AAH)(A#)H=A(A+AH(A#)H)=AA+，

所以

(AAH(A#)H)(AA+A+)=(AA+A+)(AAH(A#)H)=((AAH(A#)H)(AA+A+))H，

因?yàn)?/p>

(AA+A+)(AAH(A#)H)(AA+A+)=AA+(AA+A+)=AA+A+，

且

(AAH(A#)H)(AA+A+)(AAH(A#)H)=AA+(AAH(A#)H)=AAH(A#)H，

AAH(A#)H是EP矩陣且(AAH(A#)H)+=(AAH(A#)H)#=AA+A+.

定理1設(shè)A為n階群可逆矩陣，則A為EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)(AAH(A#)H)+=A+.

證必要性.假設(shè)A為EP矩陣，則AA+A+=A+.故由引理1知(AAH(A#)H)+=AA+A+=A+.

充分性.假設(shè)(AAH(A#)H)+=A+.則由引理1知AA+A+=A+.右乘AAH得AA+AH=AH，取共軛轉(zhuǎn)置得A=A2A+，故A#A=A#A2A+=AA+.因此A為EP矩陣.

定理2設(shè)A∈n×n為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)(AHA(A#)H)+=AA+A+.

證必要性.由于A為正規(guī)矩陣，則AAH=AHA，故AHA(A#)H=AAH(A#)H，由引理1知

(AHA(A#)H)+=AA+A+.

充分性.假設(shè)(AHA(A#)H)+=AA+A+，則

AHA(A#)HAA+A+=(AHA(A#)HAA+A+)H，

(1)

且

AHA(A#)HAA+A+AHA(A#)H=AHA(A#)H.

(2)

由(1)知

AHA(A#)HA+=(A+)HA#AHA，

(3)

將(3)式右乘En-AA+得

(A+)HA#AHA(En-AA+)=O.

(4)

將(4)式左乘(A+)HA+A2AH得A(En-AA+)=O，故A為EP矩陣.由(1)知

AHA(A#)H=AHA(A#)HA+AHA(A#)H，

(5)

(5)式左乘(A+)H，右乘AHA+A得

A=A(A#)HA+AHA，

(6)

(6)式左乘A+，右乘A+得A+=(A#)HA+AH.故AHA+=AH(A#)HA+AH=A+AH.由于A為EP矩陣，故

AHA#=A#AH，

(7)

將(7)等式左右兩邊同時(shí)右乘A得

AHAA+=A#AHA.

(8)

將(8)等式左右兩邊同時(shí)左乘A得AHA=AAH，從而A為正規(guī)矩陣.

定理3設(shè)A為群可逆矩陣，則(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H.

證因?yàn)?/p>

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=AA+AHA+A(A#)H=AA+AH(A#)H=AA+，

且

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=AHA(A#)HAHA+(A+)H=AHAA+(A+)H=A+A.

所以

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=((AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H))H，

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=((AA+AHA(A+)H)(AHA(A#)H))H.

由于

(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)=A+A(AHA(A#)H)=AHA(A#)H，

(AA+AHA+(A+)H)(AHA(A#)H)(AA+AHA+(A+)H)=AA+(AA+AHA+(A+)H)=AA+AHA(A+)H，

故

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H.

由定理2及定理3可得下面的推論:

推論1設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A+AHA+(A+)H=A+A+.

證必要性.假設(shè)A為正規(guī)矩陣，則由定理3知(AHA(A#)H)+=AA+A+，又由定理3知

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H，

因此AA+A+=AA+AHA+(A+)H，左乘A+得A+A+=A+AHA+(A+)H.

充分性.假設(shè)A+A+=A+AHA+(A+)H，則由定理3知

(AHA(A#)H)+=AA+AHA+(A+)H=AA+A+，

由定理2知A為正規(guī)矩陣.

引理2設(shè)A為群可逆矩陣，B為n階方陣，若A+A+B=O，則A+B=O.

證由于A+=(A#)HAHA+=(A#)HAHAA+A+，故A+B=(A#)HAHAA+A+B=O.

定理4設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA+(A+)H=A+.

證必要性.假設(shè)A為正規(guī)矩陣，則由推論1知A+AHA+(A+)H=A+A+，故

A+A+(En-AAHA+(A+)H)=O，

由引理2知A+=AHA+(A+)H.

充分性.若A+=AHA+(A+)H，則A+A+=A+AHA+(A+)H，由推論1知A為正規(guī)矩陣.

引理3設(shè)A為群可逆矩陣，則AHA+(A+)H是EP矩陣且

(AHA+(A+)H)+=AHA(A#)HA+A.

證因?yàn)?/p>

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=AHA+((A+)HAH)A(A#)HA+A，

AHA+((A+)HAH)A(A#)HA+A=AHA+A(A#)HA+A，

AHA+A(A#)HA+A=AH(A#)HA+A=A+A，

所以

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)=A+AAHA+(A+)H=AHA+(A+)H.

又因?yàn)?/p>

(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)=AHA(A#)HAHA+(A+)H=AHAA+(A+)H，

AHAA+(A+)H=AH(A+)H=A+A.

所以

(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=AHA(A#)HA+A，

且[(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)]H=(A+A)H=A+A=(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)，

(AHA+(A+)H)(AHA(A#)HA+A)=(AHA(A#)HA+A)(AHA+(A+)H)，

故AHA+(A+)H為EP矩陣且(AHA+(A+)H)+=AHA(A#)HA+A.

定理5設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA(A#)HA+A=A.

證必要性.若A為正規(guī)矩陣，則由定理7知，AHA+(A+)H=A+，又由引理4知

AHA(A#)HA+A=(AHA+(A+)H)+=(A+)+=A.

充分性.假設(shè)AHA(A#)HA+A=A，所以由引理4知

(AHA+(A+)H)+=A=(A+)+， AHA+(A+)H=A+，

由定理3知A為正規(guī)矩陣.

推論2設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA(A#)HA+=AA+.

證必要性.若A為正規(guī)矩陣，則由定理5知， AHA(A#)HA+A=A，右乘A+得

AHA(A#)HA+=AA+.

充分性.若AHA(A#)HA+=AA+，右乘A得AHA(A#)HA+A=A，由定理5知A為正規(guī)矩陣.

推論3設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AHA(A#)H=A.

證必要性.若A為正規(guī)矩陣，則A為EP矩陣，且由定理5知，AHA(A#)HA+A=A，由于(A#)HA+A=(A#)HAA+=(A#)H，故AHA(A#)H=A.

充分性.若AHA(A#)H=A，左乘En-A+A得(En-A+A)A=O，故A=A+A2，從而A為EP矩陣.因此(A#)H=(A#)HAA+，于是

A=AHA(A#)H=AHA(A#)HA+A，

由定理5知A為正規(guī)矩陣.

定理6設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A(A#)H=(A+)HA.

證必要性.由于A為正規(guī)矩陣，由推論3知AHA(A#)H=A，左乘(A+)H得

A(A#)H=(A+)HA.

充分性.若A(A#)H=(A+)HA，右乘AA+得(A+)HA=(A+)HA2A+，左乘A#AAH得A=A2A+，故A為EP矩陣.從而

AHA(A#)H=AH(A+)HA=A+A2=A，

由推論3知A為正規(guī)矩陣.

引理4設(shè)A為群可逆矩陣，則

(i) A(A#)H為EP矩陣，且(A(A#)H)+=AA+AHA+；

(ii) ((A+)HA)+=A+AA#AH；

(iii) A是EP矩陣當(dāng)且僅當(dāng)(A+)HA是EP矩陣.

證(i) 因?yàn)?/p>

(A(A#)H)(AA+AHA+)=A(A#)HAHA+=AA+，

(AA+AHA+)(A(A#)H)=AA+AH(A#)H=AA+，

又

(AA+AHA+)(A(A#)H)(AA+AHA+)=AA+(AA+AHA+)=AA+AHA+，

(A(A#)H)(AA+AHA+)(A(A#)H)=AA+(A(A#)H)=(A(A#)H)，

故A(A#)H為EP矩陣，且(A(A#)H)+=AA+AHA+.

(ii) 因?yàn)?/p>

(A+AA#AH)((A+)HA)=A+AA#A=A+A，

((A+)HA)(A+AA#AH)=(A+)HAA#AH=(A+)HAH=AA+，

又

((A+)HA)(A+AA#AH)((A+)HA)=AA+((A+)HA)=((A+)HA)，

(A+AA#AH)((A+)HA)(A+AA#AH)=A+A(A+AA#AH)=A+AA#AH，

故((A+)HA)+=A+AA#AH.

(iii)這是(ii)的直接推論.

推論4設(shè)A為群可逆矩陣，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AA+AHA+=A+AA#AH.

證必要性.由定理6和引理4知

AA+AHA+=(A(A#)H)+=((A+)HA)+=A+AA#AH.

充分性.因?yàn)锳A+AHA+=A+AA#AH，所以由引理4知

(A(A#)H)+=A+AA#AH=((A+)HA)+，

則A(A#)H=(A+)HA，由定理6知A為正規(guī)矩陣.

3 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)EP矩陣和群可逆矩陣的性質(zhì)研究，對(duì)正規(guī)矩陣的性質(zhì)給出更加簡(jiǎn)潔明了的證明，并且文中將三種矩陣互相推導(dǎo)，提供了有研究?jī)r(jià)值的證明，為正規(guī)矩陣性質(zhì)刻畫提供了新方法、新角度，闡明了正規(guī)矩陣的性質(zhì).

本文最初的出發(fā)點(diǎn)是通過(guò)構(gòu)造EP矩陣，并且借助這些EP矩陣的形式變換，給出正規(guī)矩陣的性質(zhì)刻畫.該問(wèn)題和EP矩陣的新的形式變換密切相關(guān).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).