借幾何直觀之感乘提升素養(yǎng)之美

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀有著極為重要的作用，借助幾何直觀，可以使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，隱藏問題直觀化.利用圖形的幾何直觀的特征，可以充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有效落實(shí)“四基四能”.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);幾何直觀;直觀想象

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）09-0052-03

收稿日期：2021-12-25

作者簡介：楊憲偉（1986.9-），男，陜西省榆林人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

筆者在兩節(jié)高三習(xí)題課的教學(xué)中，經(jīng)歷了學(xué)生利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)知識并遷移應(yīng)用，幾何直觀的作用使得學(xué)生站在更高的角度思考問題，在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生始終是課堂的主體，參與知識發(fā)生、發(fā)展的全過程，學(xué)生的核心素養(yǎng)和分析解決問題的能力都得到了提升，令人印象深刻.

師：這個(gè)小組的同學(xué)采用的就是最常見的求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的方法，一般就是設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立解決問題.

生2：我們組采用的是點(diǎn)差法，過程如下：

師：在涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)可以采用此方法

生3：我們組采用的化橢為圓的方法，過程如下：

師：大家覺得這個(gè)小組這種方法怎么樣？此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個(gè)方法好在什么地方？

生4：化橢為圓，利用圓的幾何性質(zhì)解決問題.

師：大家都說得非常好，但是注意使用的時(shí)候要重點(diǎn)關(guān)注不同坐標(biāo)系下同一量之間的關(guān)系，還有就是并不是所有的橢圓的題目都可以用這個(gè)方法解決.老師現(xiàn)將此題改編一下，大家繼續(xù)思考.

變式1此題的條件不變，問題改為：求△AOB的面積S的最大值以及取最大值時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程.

師：請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？如果能使用的過程應(yīng)該注意什么？

生5：我覺得可以，應(yīng)該注意不同坐標(biāo)系下面積之間的關(guān)系.

師：好的，那大家試著按照你們的思路完成本題.

生6：我們完成了，結(jié)果如下：

師：太棒了，老師突然想到了四川省的一道高考壓軸題，老師按那個(gè)題的背景和難度再改編一下此題，同學(xué)們再試一試.

學(xué)生探究片刻后，教師提問.

師：請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎？

生：好像不能.

師：這個(gè)題目你們?nèi)〉昧四男┩黄疲坑龅搅四男├щy？

師：很好，那我們先探究一下不同坐標(biāo)系下線段長度之間的關(guān)系，其實(shí)也就是弦長的關(guān)系.同學(xué)們思考如何用坐標(biāo)表示弦長？

師：同學(xué)們嘗試按生8的思路解決問題.

最后生8最先得到結(jié)果，具體如下：

生1：我們組采用的是坐標(biāo)法，過程如下：

師：非常棒，但是對于最值問題我們還要驗(yàn)證等號是否能夠成立，本題中θ+φ=π2時(shí)取等號，容易驗(yàn)證等號可以成立，但必須嚴(yán)謹(jǐn)說明.事實(shí)上，本題還可以使用判別式法、柯西不等式等方法求解，大家可以課后嘗試，但是不管采用哪種方法，對大家的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求都很高，同學(xué)們思考我們能否使用幾何法解決問題？

師生共同探究用幾何法解決問題.

師：我們得到的這個(gè)等式稱為“極化恒等式”，它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積用兩個(gè)幾何長度來表示，請同學(xué)們仔細(xì)體會其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

師生共同總結(jié)幾何法的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).

3 教學(xué)啟示

借助幾何直觀可以有效提升學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從概念層面看，借助幾何直觀可以豐富事物表征，完善問題結(jié)構(gòu)，理解抽象概念.從思想層面看，借助幾何直觀可以以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合.從心理學(xué)角度看，借助幾何直觀可以用圖形思考，為學(xué)習(xí)者建立學(xué)習(xí)的信心.

高中數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、立體幾何、解析幾何、平面向量與解三角形等模塊的知識都需要教師借助幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過這些課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2018.

責(zé)任編輯：李璟