動力可靠度約束下基于概率測度變換一全局收斂移動漸近線法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

楊家樹 陳建兵

摘要：基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化是實現(xiàn)隨機動力系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的重要途徑。針對設(shè)計變量為系統(tǒng)中部分隨機變量分布均值的情形，提H{了一種基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。在該方法中，通過概率密度演化理論實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)動力可靠度的高效分析。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合概率測度變換，可以在不增加任何確定性結(jié)構(gòu)分析的前提下，實現(xiàn)動力可靠度對設(shè)計變量的靈敏度分析。進而，通過將上述概率密度演化一測度變換方法嵌入全局收斂移動漸近線法，實現(xiàn)了基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的高效求解。數(shù)值算例的結(jié)果表明，所提方法可以顯著降低結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，具有較高的效率與穩(wěn)健性。

關(guān)鍵詞：隨機動力系統(tǒng);可靠性優(yōu)化設(shè)計;概率密度演化;概率測度變換;動力可靠度

中圖分類號：TU318+.1;TU352.1

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（2022）01-0072-10

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.008

引 言

隨機因素廣泛存在于真實的T程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中[1]。只有定量地考慮隨機因素的影響，才能得到合理或優(yōu)化的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案[2-3]。經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法已經(jīng)日臻成熟。為了進一步促進結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計在實際T程設(shè)計中的應(yīng)用，推動工程結(jié)構(gòu)設(shè)計向更加合理化、白動化與智慧化發(fā)展，基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注的研究熱點[4]。

近十余年來，學(xué)者們對此開展了卓有成效的研究，發(fā)展了一系列方法，包括序列近似規(guī)劃方法[5-7]、序列優(yōu)化與可靠性評估方法[8]和單循環(huán)方法[9]等。這些方法往往基于一次可靠度方法，因此難以處理極限狀態(tài)函數(shù)非線性較強的可靠度優(yōu)化問題，特別是非線性動力系統(tǒng)基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

對土木工程結(jié)構(gòu)而言，地震等災(zāi)害性動力作用在設(shè)計中往往起到主導(dǎo)作用。因此，考慮動力作用下基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計十分必要。然而，到目前為止，基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的研究遠遠滯后于基于靜力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究。一個重要原因是，與靜力可靠度分析相比，動力可靠度分析的難度更高[10]。

近年來，在基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域，已提出了一些基于隨機模擬方法，例如基于Markov鏈Monte Carlo模擬的方法[11-12]、線搜索方法[13]以及可行方向內(nèi)點法[14]等。但受限于隨機模擬方法巨大的工作量及其隨機收斂性質(zhì)，這些方法的效率和穩(wěn)健性仍有待進一步提高。

概率密度演化理論（PDEM）的發(fā)展為結(jié)構(gòu)動力可靠度的高效分析提供了一條途徑[15-16]。最近，與概率測度變換（COM）的結(jié)合[17]則進一步為高效的靈敏度分析創(chuàng)造了條件。概率密度演化一測度變換（ PDEM-COM）方法的引入可以顯著地提高結(jié)構(gòu)動力可靠度及其靈敏度分析的效率[18]。本文進一步將概率密度演化一測度變換方法拓展到設(shè)計變量與部分隨機變量耦合情況下具有動力可靠度約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合全局收斂的移動漸近線法（GCMMA），可實現(xiàn)上述結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的求解。算例分析表明，本文提出的方法具有較高的效率與良好的穩(wěn)健性。

1 基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可定義為如下考慮動力可靠度約束的優(yōu)化問題[14]：

事實上，采用式（4）所示的對數(shù)形式的可靠度約束一方面可以避免失效概率較小帶來的數(shù)值誤差，另一方面也可以降低函數(shù)的非線性，便于構(gòu)造高精度的近似形式[13]。因此，本文中的結(jié)構(gòu)動力可靠度約束均按照式（4）定義。需要指出，為了便于工程應(yīng)用，采用可靠性指標構(gòu)造可靠度約束是另一種較為常見的方式[19]。

2 全局收斂移動漸近線法

盡管遺傳算法和粒子群算法等啟發(fā)式優(yōu)化算法具有全局尋優(yōu)能力，但是這類優(yōu)化算法在尋優(yōu)過程中一般需要大量的函數(shù)調(diào)用。對基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題而言，采用遺傳算法或粒子群算法求解往往需要成百上千次的結(jié)構(gòu)可靠度分析。因而采用遺傳算法或粒子群算法求解實際工程結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計問題的計算工作量非常龐大。因此，一階優(yōu)化方法仍然是結(jié)構(gòu)優(yōu)化和基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化中常用的方法。

移動漸近線法（ MMA）[20]是結(jié)構(gòu)優(yōu)化中常用的一種序列近似規(guī)劃方法。該方法將原始優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束函數(shù)近似展開，得到一系列具有顯式代數(shù)形式的子優(yōu)化問題，而這些子優(yōu)化問題的解組成的序列將收斂到原始優(yōu)化問題的解。在此基礎(chǔ)上，Svanberg從函數(shù)的保守凸可分近似（CCSA）思想出發(fā)，提出了具有全局收斂性的移動漸近線法（以下簡稱GCMMA）[21]。

在GCMMA中，將非線性函數(shù)F（z）（可以是優(yōu)化問題（1）中的目標函數(shù)、標準約束函數(shù)或動力可靠度約束函數(shù)）近似表示為[21]：

通過在內(nèi)層循環(huán)中調(diào)控參數(shù)p（k v）GCMMA要求子優(yōu)化問題比式（1）所示的原始優(yōu)化問題更加保守。因此，GCMMA的全局收斂性可以在理論上得到保證[21]。此外，由于GCMMA中的子優(yōu)化問題均比原始優(yōu)化問題更加保守，任何子優(yōu)化問題的最優(yōu)解都是原始問題的可行解。這意味著即使優(yōu)化過程在收斂前終止，該方法仍然可以獲得較初始解更優(yōu)的可行解，這一性質(zhì)對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計是十分有利的[23]。此外，相較于Chen等[18]引使用的序列近似規(guī)劃方法，GCMMA可以更充分地利用優(yōu)化循環(huán)的中間信息以調(diào)控子優(yōu)化問題的保守程度。因此，可以預(yù)期，GCMMA將具有更高的效率。

本文即采用GCMMA求解基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，其中的子優(yōu)化問題均采用原一對偶內(nèi)點算法[22]進行求解。

由式（5）～（8）可知，在GCMMA中，動力可靠度約束函數(shù)的近似展開需要結(jié)構(gòu)首次超越破壞可靠度或失效概率關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度信息。下文將引入概率密度演化一測度變換方法（ PDEM-COM）以提高結(jié)構(gòu)首次超越破壞可靠度及其靈敏度分析的計算效率。

3 基于概率密度演化一測度變換的

結(jié)構(gòu)動力可靠度及其靈敏度分析

3.1 概率密度演化理論

不失一般性，考慮隨機動力系統(tǒng)：

通過求解式（12），可以獲得聯(lián)合概率密度函數(shù)pZo（z，θ，t;x），進而由數(shù)值積分，可得到物理量Z的概率密度函數(shù)pz（z，t x）。

除對少數(shù)簡單系統(tǒng)可得到解析解外[25]，上述廣義概率密度演化方程一般需要通過數(shù)值方式進行求解。該求解過程一般涉及概率空間剖分與代表點集選取、每一代表點處的確定性結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析、每一代表點處廣義概率密度演化方程的求解以及數(shù)值積分等步驟，其具體數(shù)值求解細節(jié)可參考相關(guān)文獻[16]，[26-27]，此外，概率密度演化理論對極限狀態(tài)函數(shù)的形式?jīng)]有額外限制，因此適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機反應(yīng)和動力可靠度分析[28]。

3.2 結(jié)構(gòu)動力可靠度及其靈敏度分析

基于概率密度演化理論的首次超越破壞可靠度分析可以通過吸收邊界條件[16.29]、等價極值分布[16.30]和物理綜合法[31]等途徑實現(xiàn)。本文所采用的是基于等價極值分布的結(jié)構(gòu)首次超越破壞可靠度分析方法。

式（3）所示的首次超越破壞可靠度可以等價地表示為：

相應(yīng)的結(jié)構(gòu)失效概率為PFl（x，T）=1Rl（x，T）。以上過程的具體數(shù)值求解步驟可見文獻[16，26，30]。

如前所述，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的首次超越破壞可靠度分析一般需要通過廣義概率密度演化方程的數(shù)值求解來實現(xiàn)。因此，首次超越破壞可靠度或失效概率對設(shè)計變量的靈敏度難以通過解析方式獲得。一種可行的途徑是采用有限差分方法（FDM）估計結(jié)構(gòu)失效概率對設(shè)計變量的靈敏度。例如，采用中心差分可得：

值得注意的是，上述過程要求設(shè)計變量是隨機變量的均值，但對隨機變量并無限制或要求。換句話說，基于概率密度演化一測度變換的靈敏度分析過程中允許存在不依賴于設(shè)計變量的隨機變量。此外，靈敏度分析過程采用了與可靠度分析相同的代表點，僅需進行賦得概率的更新，無需重新進行確定性結(jié)構(gòu)分析，這使得與靈敏度分析相關(guān)的計算量大大降低。因此，本文提出的方法特別適用于結(jié)構(gòu)分析計算成本較高的復(fù)雜結(jié)構(gòu)基于動力可靠度的優(yōu)化設(shè)計。

在上述可靠度與靈敏度分析過程中，概率測度變換僅僅在一個優(yōu)化循環(huán)內(nèi)使用。經(jīng)驗表明，在優(yōu)化迭代的后期，設(shè)計變量和目標函數(shù)的變化一般較小。為了進一步提高計算效率，可以引入循環(huán)間的概率測度變換以實現(xiàn)首次超越破壞可靠度和靈敏度分析。在本文中，若當前優(yōu)化循環(huán)中每個設(shè)計變量的變化均小于當前值的10%，則下一循環(huán)中的結(jié)構(gòu)失效概率PFl（x（k+1）T）及其靈敏度也都根據(jù)當前循環(huán)中的代表點及其確定性分析結(jié)果由概率測度變換計算得到。

4 數(shù)值算例

4.1 兩層彈性框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

為了驗證本文方法的有效性，首先考察圖1所示的兩層彈性框架結(jié)構(gòu)在地震動作用下基于可靠度的優(yōu)化設(shè)計問題。

假定框架結(jié)構(gòu)層間抗側(cè)剛度K1和K2為服從正態(tài)分布的隨機變量，以其均值x1和x2為設(shè)計變量。結(jié)構(gòu)層集中質(zhì)量分別為m1= 1.80×10 5 kg和m2=1.20×10 5 kg，層高為h=3.6 m，模態(tài)阻尼比為ξ=0.03。結(jié)構(gòu)承受的地震加速度為El Centro地震動南北方向加速度記錄與東西方向加速度記錄的歸一

當框架結(jié)構(gòu)中任意一層的層間最大位移超過層高的1/250時，認為結(jié)構(gòu)失效。因此結(jié)構(gòu)的失效概率可定義為：式中 T為地震動持時，Zr為結(jié)構(gòu)第r層層間位移反應(yīng)。以最小化結(jié)構(gòu)總剛度作為優(yōu)化目標，同時，根據(jù)T程經(jīng)驗，要求結(jié)構(gòu)底層剛度不小于上層剛度以避免不利受力狀態(tài)。由此，優(yōu)化問題可以定義為：

在本例中，給定失效概率閾值pFh=0.01。這里，采用0.01作為失效概率閾值僅僅是為了說明方法的有效性。對于實際問題，可按照相關(guān)規(guī)范的規(guī)定確定目標失效概率或目標可靠性指標。

以xAl=（1.00，1.00）為初始點，采用不同的可靠度和靈敏度分析方法結(jié)合GCMMA對優(yōu)化問題（24）進行求解，最終的優(yōu)化結(jié)果和計算成本對比如表2所示。PDEM-COM-FDM即本文所提出的方法，采用概率密度演化一測度變換方法與有限差分計算結(jié)構(gòu)的動力可靠度及其靈敏度。PDEM-FDM表示采用概率密度演化理論計算結(jié)構(gòu)動力可靠度并采用有限差分直接估計其靈敏度的方法。在本例中，以上兩種方法中采用的代表點數(shù)量為500。MCS-FDM-1 和MCS-FDM-2均表示采用Monte Carlo模擬方法計算結(jié)構(gòu)動力可靠度并以有限差分估計其靈敏度的方法。所不同的是，MCS-FDM-I中采用的隨機樣本數(shù)量為10000，而MCS-FDM-2中采用的隨機樣本數(shù)量為20000。

由于MCS-FDM-1中單次Monte Carlo模擬采用的樣本數(shù)量不足，得到的靈敏度誤差較大，甚至可能發(fā)生靈敏度符號錯誤的情況，在本算例中算法未能達到收斂。從表中對比可見，本文提出的方法可以顯著降低優(yōu)化過程中確定性結(jié)構(gòu)分析的次數(shù)，進而提高基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的求解效率。

分別以xAl=（1.00，1.00），xB1=（1.20，1.00）和xc1=（1.00，0.80）作為初始點，采用本文所提出的方法對式（24）所示優(yōu)化問題進行求解，目標函數(shù)和結(jié)構(gòu)失效概率的迭代過程分別如圖2和3所示。從中可見，三種情況下本文所提出的方法都可以在少數(shù)幾次迭代后達到收斂，且采用不同初始點所獲得的最終目標函數(shù)值十分接近。因此，本文提出的方法不僅具有較高的效率，而且對初始設(shè)計的選擇具有較強的穩(wěn)健性。

從圖3可以發(fā)現(xiàn)，本文方法得到的所有中間設(shè)計點對應(yīng)的失效概率均小于給定的閾值0.01（可靠度0.99），這意味著所有的中間設(shè)計均為可行設(shè)計。前文已指出，這一性質(zhì)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。此外，采用不同初始點所獲得的最終設(shè)計對應(yīng)的結(jié)構(gòu)動力可靠度約束均處于有效狀態(tài)。這表明，若在優(yōu)化過程中不施加合理的可靠度要求，則可能導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計得到的結(jié)構(gòu)的可靠度水平較低。進一步地，若將式（24）的優(yōu)化問題中的可靠性約束直接替換為最大層間位移約束，同時所有隨機變量均取其均值，則優(yōu)化算法給出的最終設(shè)計為xD=（ 0.515，0.304），相應(yīng)的結(jié)構(gòu)失效概率高達61.3%?？梢姡粼诮Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中合理地設(shè)定可靠性約束，可以在一定程度上提高優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)抵抗參數(shù)擾動和不確定性的能力。

為了進一步說明本文所提方法的效率與精度，采用遺傳算法（GA）對上述優(yōu)化結(jié)果進行校核。這里，遺傳算法的種群規(guī)模為50，最大進化代數(shù)為100，結(jié)構(gòu)可靠性分析采用概率密度演化理論，代表點數(shù)量為500。表3為本文方法與遺傳算法得到的最終設(shè)計的對比?？梢园l(fā)現(xiàn)，當采用不同初始點時，本文方法得到的最終設(shè)計量和最終目標函數(shù)值與遺傳算法的結(jié)果均十分接近。然而，遺傳算法需要的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)以及總計算時間都要遠高于本文所提出的方法。

4.2 帶阻尼器的10層框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

采用本文所提出的方法求解圖4所示的10層框架結(jié)構(gòu)在地震動作用下基于動力可靠度的優(yōu)化設(shè)計問題。為計算分析方便，忽略梁柱構(gòu)件的軸向變形，將結(jié)構(gòu)簡化為具有10個白由度的層間剪切模型。結(jié)構(gòu)底層層高為4.0 m，其余層高均為3.6 m，模態(tài)阻尼比為ξ=0.05。結(jié)構(gòu)層集中質(zhì)量分別為m1=m2=3.4×10 5kg， m3=m4=m5=3.2×10 5 kg，m6=m7=m8=2.8×10 5 kg和m9=m10=2.6×10 5 kg。假定框架結(jié)構(gòu)層間抗側(cè)剛度Ki，i=1，2，…，10為服從正態(tài)分布的隨機變量，以其均值xi，i=1，2，…，10為設(shè)計變量。

該結(jié)構(gòu)承受與上例相同的地震動輸入，即所輸入地震動加速度時程由式（22）表示。為了降低地震動作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，分別在結(jié)構(gòu)第一層和第五層安裝摩擦型耗能構(gòu)件，其恢復(fù)力為：為了考慮耗能構(gòu)件力學(xué)性能的隨機性，假定結(jié)構(gòu)第一層和第五層所布置的耗能構(gòu)件初始剛度Kn和KI2為隨機變量。該優(yōu)化問題中所涉及的隨機變量的分布類型和參數(shù)如表4所示。

耗能構(gòu)件的典型恢復(fù)力曲線如圖5所示，可見耗能構(gòu)件已表現(xiàn)出很強的非線性與耗能性質(zhì)，從而實現(xiàn)減震效果。

一般情況下，可認為結(jié)構(gòu)成本與結(jié)構(gòu)總剛度成正比[35]。因此，優(yōu)化目標可取為最小化結(jié)構(gòu)總剛度。當任一層間位移超過0.015 m時即認為結(jié)構(gòu)失效。同時，要求較高樓層的剛度總不小于較低樓層的剛度，并給定層間剛度的上限與下限，則優(yōu)化問題可以表示為：式中 T為地震動持時，Zr為結(jié)構(gòu)第r層層間位移反應(yīng)。如前所述，對于實際問題，目標失效概率或目標可靠性指標可按照規(guī)范的相關(guān)規(guī)定確定。

在本例中，共有14個隨機變量，其中10個隨機變量的均值為設(shè)計變量。

分別以表5中的xA2，xB2和xC2作為初始點，采用本文所提出的方法求解式（28）所示的優(yōu)化問題。在本例中，概率密度演化一測度變換分析中采用的代表點數(shù)量為600。目標函數(shù)值隨優(yōu)化迭代次數(shù)的變化情況如圖6所示?？梢钥吹?，本文所提出的方法經(jīng)過7次左右的迭代可達到收斂。值得注意的是，目標函數(shù)的下降主要發(fā)生在優(yōu)化過程的前幾次迭代中。這意味著即使很少的優(yōu)化迭代步也將顯著改善結(jié)構(gòu)的性能。

表6為采用不同初始點獲得的最優(yōu)目標函數(shù)值以及優(yōu)化過程中進行的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。由于動力可靠度分析以及靈敏度分析過程中存在數(shù)值誤差，不同初始點對應(yīng)的最優(yōu)目標函數(shù)值略有不同。雖然如此，最優(yōu)目標函數(shù)值的相對差別僅為2.5%左右，完全在工程上可接受的范圍內(nèi)。這說明，本文所提出的方法對初始設(shè)計的選擇具有較高的魯棒性。

若采用MCS-FDM-2進行可靠度分析和靈敏度分析，式（28）所示優(yōu)化問題的求解過程中涉及的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)將超過1000000次（估計值），而本文所提出的方法所需結(jié)構(gòu)分析次數(shù)僅有MCS-FDM-2的不足1%?？梢?，本文提出的方法可以極大地降低結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，從而顯著提高基于可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的求解效率。

5 討論和結(jié)論

針對設(shè)計變量與部分隨機變量耦合情況下具有動力可靠度約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，結(jié)合概率密度演化一測度變換（ PDEM-COM）方法與全局收斂漸近線法（GCMMA），提出了一類新的求解框架。數(shù)值算例表明，本文所提出的方法具有較高的效率。具體結(jié)論如下：

（1）當設(shè)計變量為系統(tǒng)中部分隨機變量的均值時，概率密度演化一測度變換方法可以重復(fù)利用代表點處的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果，從而在不引入新的結(jié)構(gòu)分析的前提下，實現(xiàn)首次超越破壞可靠度對設(shè)計變量的靈敏度估計。因此，本方法可以顯著提高基于動力可靠度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的求解效率。

（2）算例的結(jié)果表明，本文提出的方法可以在少數(shù)幾次迭代后達到收斂?？梢灶A(yù)期，在本文所考慮的設(shè)計變量的數(shù)量范圍內(nèi)，算法可以在10次迭代內(nèi)達到收斂，相應(yīng)的可靠性分析次數(shù)不超過20次。此外，CJCMMA通過內(nèi)層循環(huán)對中間設(shè)計點的可行性進行調(diào)整，從而保證了本方法得到的中間設(shè)計均為較初始設(shè)計更好的可行設(shè)計。

（3）由于概率密度演化理論適用于線性與非線性結(jié)構(gòu)的隨機反應(yīng)分析，本文提出的方法可用于地震動作用下線性和非線性結(jié)構(gòu)基于可靠度的優(yōu)化設(shè)計。

鑒于本文方法僅適用于設(shè)計變量與所有隨機變量或部分隨機變量耦合的動力可靠性優(yōu)化設(shè)計，如何將上述概率密度演化一測度變換方法擴展到設(shè)計變量含有確定性物理量的可靠性優(yōu)化設(shè)計之中，是需要進一步開展的研究工作。此外，在未來的工作中，有望將本文基本思想推廣到具有動力可靠度約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計之中。

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