應(yīng)用GPU求解的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)架構(gòu)與性能驗(yàn)證

董曉輝 唐貞云 李振寶 杜修力

摘要：使用圖形處理器（ GPU）代替?zhèn)鹘y(tǒng)中央處理器（CPU）作為數(shù)值求解硬件，建立基于LABVIEWMATLAB-GPU的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)架構(gòu)。以土結(jié)相互作用系統(tǒng)為載體，通過數(shù)值仿真與試驗(yàn)對(duì)該架構(gòu)的性能進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)與仿真結(jié)果表明，本文方法將實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解自由度提高到27000，提升了數(shù)值模型求解規(guī)模，拓展了實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)應(yīng)用范圍。

關(guān)鍵詞：實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn);圖形處理器;數(shù)值積分算法;振動(dòng)臺(tái);有限元模擬

中圖分類號(hào)：TU311.3;TU352.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：10044523（ 2022）01-006408

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.007

引言

實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)[1]是一種結(jié)合物理試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算的試驗(yàn)方法，該方法將需要重點(diǎn)研究及難以建模的部分進(jìn)行物理試驗(yàn)，其他部分采用數(shù)值建模的方式進(jìn)行仿真，兩部分之間數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)交互傳輸，使得對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行大尺寸試驗(yàn)成為可能[2]。在實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中，為了保證求解實(shí)時(shí)性，數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解通常采用諸如中小差分法等求解效率高的顯式積分算法，顯式積分算法的缺點(diǎn)是條件穩(wěn)定性，為了保證求解穩(wěn)定，積分步長（△t）越小越好[3]。過小的積分步長限制了數(shù)值子結(jié)構(gòu)計(jì)算規(guī)模，無法滿足實(shí)際試驗(yàn)研究需求[4]。為了解決上述問題，可行的手段主要包括：改進(jìn)數(shù)值求解算法[5]和提高數(shù)值求解效率[6]。

在算法研究方面，Chang等[7]、Nakashima等[8]分別研究了無條件穩(wěn)定的擬動(dòng)力顯式算法，此方法在實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中為隱式方法。Wu等[9]將上述方法擴(kuò)展成為了適于實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的無條件顯式方法?；诩扔蟹e分方法，Nakashima等[10]提出將數(shù)值求解分為模型動(dòng)力分析（RAT）與信號(hào)處理生成（SGT）兩部分，實(shí)現(xiàn)了△t=330 ms條件下10自由度或△t=500 ms條件下12自由度結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。Cheng等[11]結(jié)合MATLAB軟件開發(fā)“Hy-bridFEM”程序，將有限元與實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)技術(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了△t=10 ms條件下122自由度結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)。Chae等[12]使用Hybrid-FEM技術(shù)開展了△t=10 ms條件下514自由度結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)。Saouma等”開發(fā)了在實(shí)時(shí)硬件上運(yùn)行的Mercury軟件，完成了△t=10 ms條件下405自由度的高度非線性模型實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)。Zhu等[4]實(shí)現(xiàn)了△t=20 ms條件下1240自由度結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)。綜上所述，算法的研究及有限元技術(shù)的發(fā)展，提升了數(shù)值子結(jié)構(gòu)實(shí)時(shí)求解能力，但目前的求解規(guī)模仍在2000以內(nèi)。

傳統(tǒng)的數(shù)值子結(jié)構(gòu)計(jì)算是基于電腦的中央處理器（CPU）運(yùn)算，由于硬件架構(gòu)不同，在大規(guī)模數(shù)值計(jì)算時(shí)使用圖形處理器（GPU）更有優(yōu)勢(shì)。在土木T程領(lǐng)域，GPU技術(shù)也得到應(yīng)用。Durand等[14]基于GPU并行使用離散元的方法計(jì)算模擬巖石與混凝土接觸問題，相比CPU，計(jì)算速度提高了30倍。解琳琳等15基于GPU對(duì)城市地震災(zāi)害模擬，對(duì)建筑結(jié)構(gòu)非線性分析，相比CPU，計(jì)算速度提升了39倍。綜上可見，GPU在土木工程領(lǐng)域具有很好的發(fā)展前景。這為通過改善硬件能力來提高實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)中數(shù)值求解效率創(chuàng)造了條件?；诖?，本文提出了基于GPU計(jì)算的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)架構(gòu)，分別從數(shù)值仿真與實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)兩方面討論了該試驗(yàn)架構(gòu)的可能性與實(shí)際性能。

1 試驗(yàn)系統(tǒng)架構(gòu)

在基于GPU求解的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)中，用GPU代替?zhèn)鹘y(tǒng)CPU作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解硬件。為建立基于GPU求解的試驗(yàn)系統(tǒng)，有兩個(gè)問題需要解決：其一，如何實(shí)現(xiàn)GPU求解的數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)之間信號(hào)實(shí)時(shí)交互;其二，如何使用GPU求解大規(guī)模的數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型。

1.1 試驗(yàn)系統(tǒng)架構(gòu)組成

基于GPU求解的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)包括如圖1所示的三個(gè)部分，分別是數(shù)值子結(jié)構(gòu)、信號(hào)傳輸和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)。數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解環(huán)節(jié)基于GPU硬件實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型動(dòng)力響應(yīng)的實(shí)時(shí)計(jì)算?？焖贉?zhǔn)確的數(shù)值模型動(dòng)力求解是實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的必要條件，因此要滿足GPU數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型求解實(shí)時(shí)性和求解過程穩(wěn)定的要求。解決GPU求解實(shí)時(shí)性的方法可分為軟件實(shí)時(shí)和硬件實(shí)時(shí)兩種方法。軟件實(shí)時(shí)方法是通過LABVIEW等軟件的定時(shí)循環(huán)結(jié)構(gòu)控制每一步動(dòng)力求解所需時(shí)間固定，或使用SIMULINK仿真軟件環(huán)境控制數(shù)值求解的時(shí)間。硬件實(shí)時(shí)方法是在例如dSPACE，Speedgoat等硬件實(shí)時(shí)系統(tǒng)中編寫數(shù)值模型動(dòng)力分析程序，實(shí)時(shí)性高，數(shù)值求解高效穩(wěn)定。

信號(hào)傳輸部分的作用在于確保（JPU求解的數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)之間數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)通訊。兩部分之間可通過數(shù)字信號(hào)或電信號(hào)模擬量通訊。數(shù)字信號(hào)通訊的方法可選用共享內(nèi)存卡、TCP/IP或UDP等方法實(shí)現(xiàn)兩部分之間數(shù)字信號(hào)傳輸，此方法抗干擾能力較強(qiáng)，對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境要求較低;使用電信號(hào)模擬量通訊須將數(shù)值求解計(jì)算機(jī)的發(fā)出數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)模擬量傳輸?shù)皆囼?yàn)子結(jié)構(gòu)部分。此方法易于操作，但易受到試驗(yàn)環(huán)境干擾的影響。

試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)部分對(duì)試驗(yàn)試件物理加載，其功能與傳統(tǒng)基于CPU的混合試驗(yàn)方式相同。實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)時(shí)，信號(hào)傳輸部分將數(shù)值求解所得界面響應(yīng)傳輸給加載系統(tǒng)控制器，而后控制加載系統(tǒng)將界面響應(yīng)施加給物理子結(jié)構(gòu)。通過傳感器測(cè)得試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)的反作用響應(yīng)，并通過信號(hào)傳輸部分傳輸?shù)綌?shù)值子結(jié)構(gòu)。

1.2

GPU求解方法

目前具有GPU求解功能的軟件有ABAQUS，OpenSEES，ANSYS等有限元軟件以及MATLAB等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件。實(shí)現(xiàn)基于GPU求解數(shù)值模型，還可使用Python，C++等編程語言編寫動(dòng)力分析程序。使用例如ABAQUS有限元軟件時(shí)，需要對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w建模，在作業(yè)設(shè)置中設(shè)置GPU并行計(jì)算。試驗(yàn)時(shí)將整體試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊徊糠肿鳛樵囼?yàn)子結(jié)構(gòu)，利用軟件提供的接口程序與OpenFresco等軟件交互，實(shí)現(xiàn)與物理試驗(yàn)設(shè)備的交互[16-17]。使用MATLAB軟件時(shí)可利用Parallel Compuring Tool-box （PCT）工具箱，PCT 工具箱支持多核CPU及GPU并行計(jì)算功能，在大型矩陣運(yùn)算時(shí)使用GPU并行能顯著提升計(jì)算效率。在MATLAB軟件中編寫動(dòng)力分析程序，利用例如LABVIEW，dSPACE等即可與物理試驗(yàn)系統(tǒng)數(shù)據(jù)交互。使用C++等語言編寫程序時(shí)，可利用NVIDIA公司推出的CUDA并行計(jì)算架構(gòu)，編寫動(dòng)力分析程序，并添加數(shù)據(jù)通訊接口功能。其中在大規(guī)模矩陣計(jì)算時(shí)利用CUDA庫函數(shù)實(shí)現(xiàn)GPU并行求解，可顯著提升求解效率。

2 基于MATLAB的GPU求解性能

如前述可知，可采用GPU進(jìn)行動(dòng)力求解的軟件較多，本文選擇MATLAB作為數(shù)值求解T具驗(yàn)證基于（JPU的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)架構(gòu)的可行性。應(yīng)用MATLAB軟件的PCT 工具箱，調(diào)用GPU代替CPU進(jìn)行數(shù)值子結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析。使用GPU與CPU對(duì)相同模型進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，驗(yàn)證MATLAB軟件基于GPU求解的性能。

2.1 實(shí)施方案

不同于商用有限元軟件具有前處理功能，采用MATLAB進(jìn)行動(dòng)力求解前需要建立數(shù)值子結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程，數(shù)值子結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣往往借助商用有限元軟件的前處理功能得到。在MATLAB軟件中使用GPU求解時(shí)，需將剛度、質(zhì)量及阻尼矩陣等數(shù)據(jù)使用gpuArray函數(shù)初始化為GPU格式，同時(shí)將數(shù)據(jù)保存于GPU顯存中。使用GPU對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析時(shí)，求解過程的程序與使用CPU計(jì)算相同。數(shù)值模型動(dòng)力分析完成后，將數(shù)值子結(jié)構(gòu)與物理子結(jié)構(gòu)接觸點(diǎn)的交互值傳輸?shù)叫盘?hào)傳輸部分，需要使用gather函數(shù)將交互值轉(zhuǎn)化為普通格式的數(shù)據(jù)。使用MATLAB-GPU進(jìn)行實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)時(shí)數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分流程圖如圖2所示。圖2中左側(cè)部分為在CPU硬件上的工作，右側(cè)部分為GPU硬件上的工作，主要計(jì)算求解在GPU硬件上進(jìn)行。

為了快速建立數(shù)值子結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程，本文使用ABAQUS有限元軟件完成數(shù)值子結(jié)構(gòu)前處理。通過改變模型網(wǎng)格間距調(diào)整模型白由度數(shù)，及數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解規(guī)模。完成前處理后，在模型參數(shù)文件中添加模型參數(shù)矩陣輸出代碼，重新提交作業(yè)后即可得到模型的質(zhì)量、剛度矩陣。從ABAQUS有限元軟件中僅能提取質(zhì)量及剛度參數(shù)，模型的阻尼采用如下式所示的瑞利阻尼，通過剛度和質(zhì)量矩陣構(gòu)建阻尼矩陣：

C= a0M+ a1K

（l）式中 C為阻尼矩陣，M為質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣，a0和a1是兩個(gè)比例參數(shù)，根據(jù)前兩階模態(tài)頻率確定。

2.2 仿真參數(shù)

為驗(yàn)證本文采用的基于MATLAB-GPU求解數(shù)值模型方案的可行性，采用如圖3所示的三維土一結(jié)相互作用系統(tǒng)作為算例，其中上部結(jié)構(gòu)作為物理子結(jié)構(gòu)，土體作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)。本文重點(diǎn)研究GPU對(duì)數(shù)值求解的加速效果，選用求解效率高的中心差分法作為動(dòng)力分析算法。為滿足中心差分法收斂條件，對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)土體模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。數(shù)值模型尺寸為30 m×30 m×15 m，密度為1×10 4 kg/m3，彈性模量為2.11×10 8 Pa，泊松比為0.33，阻尼比為0.05，通過對(duì)模型四周與底面節(jié)點(diǎn)設(shè)置彈簧及阻尼器模擬遠(yuǎn)場(chǎng)土體邊界條件。邊界節(jié)點(diǎn)法向彈簧剛度為20000 N/m，法向阻尼器阻尼值為1.437×10 6 N/（ m/s），切向彈簧剛度為10000 N/m，切向阻尼器阻尼值為9.45×10 6 N/（ m/s）。在ABAQUS軟件中對(duì)土體有限元模型劃分網(wǎng)格，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)白由度，通過改變網(wǎng)格間距的大小控制數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型白由度數(shù)，即數(shù)值求解計(jì)算量大小。本節(jié)的目的在于討論GPU的數(shù)值求解性能，僅對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析。模型荷載為El-Centro波，加速度時(shí)程幅值為0.48g，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析方法為中心差分法。

為了對(duì)比基于MATLAB的GPU和CPU求解性能，分別使用裝有消費(fèi)級(jí)GPU的筆記本電腦（PC）和裝有專業(yè)計(jì)算級(jí)GPU的服務(wù)器對(duì)比，PC與服務(wù)器硬件配置參數(shù)如表1所示。

2.3 仿真結(jié)果

為了對(duì)比CPU與GPU計(jì)算效率，需要在計(jì)算過程中記錄各白的耗時(shí)情況。試驗(yàn)中在動(dòng)力分析算法開始部分添加函數(shù)tic，結(jié)束部分添加函數(shù)toc，記錄求解所用的時(shí)間。仿真中數(shù)值模型白由度分別取3888白由度、6591白由度及27000白由度。使用PC及服務(wù)器計(jì)算，對(duì)比分別使用GPU及CPU求解時(shí)每一步長的平均用時(shí)，對(duì)比結(jié)果如表2所示。表中SR （Speedup Ratio）為加速比，加速比計(jì)算公式如下：

SR =TCPU/TGPU

（2）

式中 TCPU為使用CPU求解每一積分步長平均所用時(shí)間;TGPU為使用GPU求解每一積分步長平均所用時(shí)間。

分析表2中的時(shí)間對(duì)比，當(dāng)模型白由度為3888時(shí)，使用PC與服務(wù)器CPU求解所用時(shí)間近似，說明在較小計(jì)算量運(yùn)算時(shí)，無法發(fā)揮服務(wù)器的性能。當(dāng)使用GPU求解時(shí)，服務(wù)器的GPU求解速度遠(yuǎn)超PC的GPU求解速度，且此時(shí)相比服務(wù)器CPU求解達(dá)到8.5倍的加速效果。當(dāng)模型白由度為6591時(shí)，使用PC的GPU求解達(dá)到MATLAB軟件求解上限。此時(shí)CPU計(jì)算一個(gè)步長需要68 ms，而GPU只需要21 ms，GPU的求解能力更適于實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)需求。

使用服務(wù)器GPU求解時(shí)，MATLAB軟件求解上限白由度為27000。此時(shí)每個(gè)步長所需計(jì)算時(shí)長為17 ms，說明使用本文配置服務(wù)器的GPU基于MATLAB軟件最高可實(shí)現(xiàn)27000白由度數(shù)值模型的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。此時(shí)服務(wù)器GPU相比服務(wù)器CPU求解可達(dá)到55倍的加速效果，使用GPU進(jìn)行數(shù)值模型求解的優(yōu)勢(shì)顯著。且此時(shí)使用服務(wù)器CPU求解時(shí)需要936 ms，遠(yuǎn)不能滿足實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的實(shí)時(shí)性要求。

為了對(duì)比使用CPU與GPU的求解精度，分別使用CPU與GPU計(jì)算，數(shù)值模型白由度為3888白由度，中心差分法積分步長分別取為1，5，20 ms，對(duì)比三個(gè)時(shí)間步長條件下使用CPU與GPU求解的數(shù)值模型頂部中心點(diǎn)加速度時(shí)程響應(yīng)，響應(yīng)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。圖4（a）為△t=1 ms使用CPU與GPU求解時(shí)時(shí)程曲線對(duì)比，可見CPU與GPU求解結(jié)果一致。為進(jìn)一步研究GPU求解精度，圖4（b）和（d）為△t=1，5，20 ms，將GPU求解位移時(shí)程DCPU作為X軸，CPU求解位移時(shí)程DCPU作為Y軸繪圖。從圖中可見均為直線，說明GPU求解結(jié)果與CPU具有同樣的精度，可以使用GPU代替CPU對(duì)數(shù)值模型進(jìn)行動(dòng)力分析，提高求解效率。

3 試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

將基于MATLAB軟件GPU求解數(shù)值模型應(yīng)用于實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中，設(shè)計(jì)基于GPU的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)，并驗(yàn)證試驗(yàn)系統(tǒng)可行性。本文設(shè)計(jì)試驗(yàn)系統(tǒng)數(shù)值子結(jié)構(gòu)部分由ABAQUS軟件前處理并提取模型參數(shù)，在LABVIEW軟件中調(diào)用MAT-LAB軟件的T具箱，實(shí)現(xiàn)基于GPU的數(shù)值模型動(dòng)力分析。LABVIEW軟件保證數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解的時(shí)間固定，同時(shí)完成數(shù)值與物理子結(jié)構(gòu)之間的數(shù)據(jù)傳輸。根據(jù)MATLAB軟件數(shù)值求解單步長平均用時(shí)及數(shù)值積分算法的積分步長，改變LABVIEW軟件的定時(shí)循環(huán)結(jié)構(gòu)周期，以保證數(shù)值求解的時(shí)間固定。

試驗(yàn)加載系統(tǒng)采用振動(dòng)臺(tái)，對(duì)應(yīng)的實(shí)時(shí)試驗(yàn)系統(tǒng)架構(gòu)如圖5所示，試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)值子結(jié)構(gòu)的反力與地震動(dòng)荷載作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)的外荷載。基于GPU的數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解完成后將數(shù)值子結(jié)構(gòu)與試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)接觸點(diǎn)的位移或加速度信號(hào)通過信號(hào)傳輸部分傳輸?shù)皆囼?yàn)子結(jié)構(gòu)。本文試驗(yàn)的目的在于驗(yàn)證基于GPU的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)實(shí)現(xiàn)過程的可行性，為了避免對(duì)研究中物理子結(jié)構(gòu)模型建模誤差的影響，此處的物理子結(jié)構(gòu)也通過數(shù)值建模實(shí)現(xiàn)，只有振動(dòng)臺(tái)為真實(shí)的，物理子結(jié)構(gòu)通過在dSPACE建模仿真。測(cè)量振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的位移及加速度，將信號(hào)傳輸?shù)皆囼?yàn)子結(jié)構(gòu)仿真部分。試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)部分采用dSPACE實(shí)時(shí)仿真環(huán)境進(jìn)行仿真，計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)并通過信號(hào)傳輸部分傳輸?shù)綌?shù)值子結(jié)構(gòu)部分，由此構(gòu)成基于GPU求解的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)。在本文試驗(yàn)系統(tǒng)中數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解部分與表1中服務(wù)器配置相同，其他各部分配置情況如表3所示。

3.1 試驗(yàn)參數(shù)選取

數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型與第2.2節(jié)仿真模型相同，試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)選擇為水平方向單白由度模型，位于數(shù)值子結(jié)構(gòu)頂部中心與數(shù)值子結(jié)構(gòu)之間錨固連接。試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)質(zhì)量m=7240 kg，剛度k=753250 N/m，阻尼c=440 N/（ m/s）。在振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面布置加速度傳感器及位移傳感器。將白噪聲信號(hào)輸入振動(dòng)臺(tái)，對(duì)振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)識(shí)別，使用4階傳遞函數(shù)辨識(shí)振動(dòng)臺(tái)特性，傳遞函數(shù)如下所示：

振動(dòng)臺(tái)特性與辨識(shí)得到的傳遞函數(shù)幅值相位對(duì)比如圖6所示。振動(dòng)臺(tái)系統(tǒng)信號(hào)在0--2 Hz之間時(shí)幅值和相位誤差都較小，振動(dòng)臺(tái)信號(hào)在此頻率區(qū)間控制較為精準(zhǔn)。超過2 Hz后，振動(dòng)臺(tái)幅值及相位差隨頻率增加而增大，因此需要在信號(hào)輸入振動(dòng)臺(tái)之前添加外環(huán)控制器，對(duì)振動(dòng)臺(tái)動(dòng)力特性進(jìn)行補(bǔ)償。基于式（3）所示振動(dòng)臺(tái)動(dòng)力模型，采用Tang等[18]提出的FSCS補(bǔ)償控制器進(jìn)行控制。

本試驗(yàn)系統(tǒng)基于Windows系統(tǒng)，Windows系統(tǒng)是非實(shí)時(shí)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)實(shí)時(shí)性不穩(wěn)定問題，及LABVIEW軟件調(diào)用MATLAB的方法有通訊延遲，由此造成的信號(hào)傳輸有近3 ms的延遲。即數(shù)值子結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析完成后需要增加3 ms才能發(fā)送信號(hào)到信號(hào)傳輸部分，且在此3 ms期間MATLAB腳本停止計(jì)算。因此試驗(yàn)中最小時(shí)間步長如下所示：

△t=t solve+3

（4）式中 △t為中心差分法積分步長，t solve為數(shù)值模型求解所用時(shí)間，由此算法積分步長最小取為4 ms。步長太大對(duì)數(shù)值積分算法精度的影響較大，綜合考慮將本試驗(yàn)中最大時(shí)間步長取為20 ms。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

影響數(shù)值求解精度與效率的因素主要包括硬件性能、積分步長、自由度數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)精度。本節(jié)對(duì)采用GPU和CPU求解時(shí)，不同積分步長、不同自由度和不同浮點(diǎn)數(shù)精度的試驗(yàn)性能進(jìn)行了對(duì)比。表4給出了步長為4和20 ms時(shí)使用GPU/CPU、雙精度/單精度時(shí)數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型的最大自由度數(shù)。

將子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)結(jié)果與MATLAB整體結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，表4中△t=4 ms、使用GPU求解、模型精度為雙精度條件下振動(dòng)臺(tái)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)結(jié)果與整體仿真計(jì)算試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)頂部位移時(shí)程對(duì)比如圖7所示。圖7中子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)與整體仿真結(jié)果吻合，說明該試驗(yàn)架構(gòu)能滿足實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的精度需要。表4中工況1～8對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)與整體仿真時(shí)程對(duì)比如圖8所示。圖8為△t=4，20 ms時(shí)，實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中測(cè)試所得物理子結(jié)構(gòu)位移時(shí)程與整體仿真結(jié)果對(duì)比。8組工況條件下基于GPU的子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)與整體仿真結(jié)果一致，說明使用GPU求解數(shù)值模型的子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)與CPU具有同樣精度，實(shí)現(xiàn)了與CPU試驗(yàn)性能相同但數(shù)值計(jì)算體量更大的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。

除計(jì)算白由度需求外，數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解精度也直接影響實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)性能。由于各數(shù)值積分算法只能求得近似解，其求解精度隨積分步長減小而增大。因此，如何通過減小積分步長提高數(shù)值積分求解精度和穩(wěn)定性，是數(shù)值子結(jié)構(gòu)求解要面臨的另一個(gè)問題。為了討論積分步長對(duì)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)性能的影響，采用3888白由度的數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型，使用表1中CPU時(shí)最小只能進(jìn)行步長為20 ms的實(shí)時(shí)計(jì)算，使用（JPU時(shí)最小實(shí)時(shí)計(jì)算步長為5 ms。對(duì)△t=5，20 ms時(shí)分別進(jìn)行了實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。所得試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)頂部位移時(shí)程與整體仿真結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，△t=5 ms子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)結(jié)果與整體仿真結(jié)果峰值誤差為4.92%，△t=20 ms試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果峰值誤差為10.28%。由此可見，采用GPU求解可以允許在實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中使用更小的時(shí)間步長，從而進(jìn)一步提高試驗(yàn)精度。

3.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

由圖8（a）即表4工況1--4條件下△t=4 ms，雙精度條件下，GPU求解數(shù)值模型最大白由度數(shù)為1500，使用CPU求解數(shù)值模型最大白由度數(shù)為1080，GPU求解的優(yōu)勢(shì)并不明顯。當(dāng)使用單精度數(shù)據(jù)求解時(shí)，GPU求解最大白由度數(shù)為3168，CPU求解最大白由度數(shù)為1500，可見使用單精度數(shù)據(jù)GPU求解的優(yōu)勢(shì)相比雙精度更明顯。目前因Windows系統(tǒng)不穩(wěn)定性及LABVIEW軟件調(diào)用MATLAB軟件的方法通訊需要3 ms的問題有待解決，因此在較小步長時(shí)GPU的優(yōu)勢(shì)受到限制，此方法調(diào)用GPU求解時(shí)存在改進(jìn)優(yōu)化空間。

由圖8（b）即表4 工況5～8即△t= 20 ms條件下，使用雙精度數(shù)據(jù)（JPU求解最大白由度可達(dá)18876，此時(shí)CPU求解白由度僅為2904。使用單精度數(shù)據(jù)GPU求解最大白由度可達(dá)27000，使用CPU求解白由度僅為3888?？梢娫凇鱰=20 ms時(shí)，使用GPU求解優(yōu)勢(shì)明顯，無論是單精度數(shù)據(jù)還是雙精度數(shù)據(jù)都遠(yuǎn)超CPU求解時(shí)的數(shù)值模型白由度數(shù)。使用GPU求解可以實(shí)現(xiàn)相同時(shí)間步長條件下CPU無法求解的大規(guī)模數(shù)值模型的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。

實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中數(shù)值模型求解需滿足積分算法收斂性要求，使用本文配置的服務(wù)器在△t=20 ms條件下，基于MATLAB軟件GPU 工具箱最多可進(jìn)行27000白由度的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。相同數(shù)值模型使用CPU時(shí)間步長需936 ms，使用GPU已實(shí)現(xiàn)相比CPU求解55倍加速效果，此時(shí)CPU已經(jīng)遠(yuǎn)不能滿足實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的實(shí)時(shí)性需要。本試驗(yàn)求解是基于MATLAB軟件的GPU 具箱進(jìn)行求解，受限于MATLAB軟件，GPU求解的性能還有進(jìn)一步提升的余地，在GPU并行運(yùn)算、資源配置、及硬件數(shù)據(jù)通訊等方面還可進(jìn)行優(yōu)化，有可能進(jìn)一步提升求解規(guī)模與效率。

表4中數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型為3888自由度時(shí)，使用GPU求解相比CPU求解時(shí)間步長從20 ms減小至5 ms。且由圖9相同數(shù)值模型，進(jìn)行不同時(shí)間步長試驗(yàn)對(duì)比可以得出，使用更小的時(shí)間步長可以提高試驗(yàn)精度。因此在實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)中，相同數(shù)值子結(jié)構(gòu)使用GPU求解代替?zhèn)鹘y(tǒng)CPU求解可以減小時(shí)間步長，提高試驗(yàn)精度。

4 結(jié) 論

本文基于GPU數(shù)值求解建立了實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)系統(tǒng)架構(gòu)，通過數(shù)值仿真與振動(dòng)臺(tái)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，驗(yàn)證了該試驗(yàn)系統(tǒng)的可行性和實(shí)際試驗(yàn)性能，得到如下結(jié)論：

（1）在相同的時(shí)間步長條件下，基于MATLAB軟件使用GPU相比CPU可求解更高白由度數(shù)值子結(jié)構(gòu)。在△t=20 ms條件下，使用GPU可實(shí)現(xiàn)27000白由度數(shù)值模型的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。

（2）在相同自由度的數(shù)值模型條件下，基于MATLAB軟件使用GPU相比CPU求解實(shí)現(xiàn)更小時(shí)間步長的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)。在3888白由度條件下，使用CPU求解可實(shí)現(xiàn)最小△t= 20ms的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，而使用GPU求解可實(shí)現(xiàn)的試驗(yàn)最小△t=5 ms。

（3）由于Windows是非實(shí)時(shí)系統(tǒng)，以及使用LABVIEW調(diào)用MATLAB軟件存在信號(hào)傳輸延遲問題，因此在試驗(yàn)中最小取△t=4 ms，這限制了GPU性能的發(fā)揮。有必要研究基于硬件實(shí)時(shí)系統(tǒng)的GPU求解方法，徹底發(fā)揮GPU求解的性能，進(jìn)一步拓展實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的使用空間。

參考文獻(xiàn)：

[1]

Nakashima M，Kato H.Takaoka E.Development of re-al-time pseudo dynamic testing [J]. Earthquake Engineering&Structural Dynamics， 1992， 21（1）：7992.

[2]吳斌，王倩穎.實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)的研究進(jìn)展[J].實(shí)驗(yàn)力學(xué)，2007（6）：547-555.

Wu Bin， Wang Qianying， Development of real-timesubstructure testing[Jl. Journal of Experimental Mechanics， 2007（6）：547-555.

[3]孟凡濤，趙建鋒，于廣明.實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)中的數(shù)值積分方法對(duì)比分析[J].地震工程與工程振動(dòng)，2011，31（5）：60-67.

Meng Fantao. Zhao Jianfeng， Yu （Juangming. Studyon numerical integration methods in real-time hybridtesting experiment[J].Earthquake Engineering and En-gineer Vibration， 2011， 31（5）：6067.

[4]

Zhu F，Wang J，Jin F，et al.Simulation of large-scalenumerical substructure in real-time dynamic hybrid testing[J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration， 2014， 13（4） ： 599609.

[5]Wang Q Y， Wu B， （）u J P. Stability analysis of real-time substructure testing considering actuator delay andcompensation [Jl. Engineering Mechanics， 2007， 24（2）： 9-14.

[6]洪越 ，唐貞云，何濤 ，等 .大尺寸非線性實(shí)時(shí)動(dòng)力子結(jié)構(gòu)試驗(yàn) 實(shí)現(xiàn) [J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào) ， 2017. 30 （6） ：913920.

Hong Yue， Tang Zhenyun. He Tao， et al. The implementation of nonlinear real-time dynamics substructuring for large scale specimen [ J] . Journal of Vibration En-gineering， 2017 ， 30（ 6） ： 913920.

[7]Chang S Y ， Sung Y C. An enhanced explicit pseudo dynamic algorithm with unconditional stability [Cl. lOOthAnniversary Earthquake Conference. 2006.

[8]Nakashima M. Ishida M. Ando K. Integration tech-niques for substructure pseudo dynamic test： pseudo dynamic test using substructuring techniques [Jl. Journalof Structural& Construction Engineering， 1990， 417：107-117.

[9]Wu B. Xu G， Wang Q， et al. Operator-splitting meth-od for real-time substructure testing [ J] . Earthquake En-gineering& Structural Dynamics， 2010， 35 （3） ：293314.

[10]Nakashima M. Masaoka N. Real-time on-line test forMDOF systems [Jl. Earthquake Engineering& Struc-tural Dynamics ， 1999 ， 28（4） ： 393420.

[11]Cheng C ， Ricles J M. Stability analysis of SDOF real-time hybrid testing systems with explicit integration al-gorithms and actuator delay [Jl. Earthquake Engineer-ing & Structural Dynamics， 2008， 37（4） ： 597-613.

[12]Chae Y. Kazemibidokhti K. Ricles J M. Adaptive timeseries compensator for delay compensation of servo-hydraulic actuator systems for real-time hybrid simulation[Jl. Earthquake Engineering& Structural Dynamics，2013， 42（ 11）： 1697-1715.

[13]Saouma V， Kang D， Haussmann G.A computationalfiniteelement program for hybrid simulation[Jl. Earthquake Engineering&Structural Dynamics. 2012. 41（3）：375389.

[14]Durand M. Marin P. Faure F. et al. DEM_based simulation of concrete structures on （JPU[J].European Jour_nal of Environmental&Civil Engineering， 2012， 16（9）：1102-1114.

[15]解琳琳，韓博，許鎮(zhèn)，等.基于OpenSees的大型結(jié)構(gòu)分析GPU高性能計(jì)算方法[J].土木建筑T程信息技術(shù)，2014.6（5）：2225.

Xie Linlin， Han Bo， Xu Zhen. et al.（JPU poweredhigh-performance computing method for the analysis oflarge-scale structures based on OpenSees[J]. Journal ofInformation Technology in Civil Engineering and Architecture. 2014.6（5）：2225.

[16]武唯一，田石柱，李雙江.基于ABAous與OpenFresco的結(jié)構(gòu)抗震混合試驗(yàn)平臺(tái)的研究[J].江蘇建筑，2016（4）：21-25.

Wu Weiyi， Tian Shizhu. Li Shuangjiang. Study of Structure seismic hybrid simulation based on ABAous andOpenFresco[Jl. Jiangsu Construction. 2016（4）：21-25.

[17]許國山，郝偉，陳永盛，等.基于OpenFrescoLab-VIEWdSPACE的混合試驗(yàn)系統(tǒng)研究[J].工程力學(xué)，2013，30（3）：417-423.

Xu Guoshan. Hao Wei， Chen Yongsheng， et al.Experimental validation on hybrid testing system based onOpenFrescoLabVIEWdSPACE[J]. Engineering Me-chanics， 2013， 30（3）：417-423.

[18]Tang Z， Dietz M， Hong Y， et al. Performance extension of shaking table_based real-time dynamic hybridtesting through full state control via simulation[Jl.Structural Control and Health Monitoring， 2020， 27（10）：e2611.