數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征的側(cè)重與兼顧*
——以“完全平方公式”的教學(xué)為例

石樹偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)“符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征”［1］。符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，即教學(xué)內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索；體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征，即體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)本質(zhì)和應(yīng)有的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性。

下面，筆者以“完全平方公式”的教學(xué)為例，討論教學(xué)實(shí)踐中如何達(dá)成“符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征”的要求。

一、從兩個(gè)引入方案看學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征的選擇

（一）完全平方公式教學(xué)的兩個(gè)引入方案

【方案一】直觀發(fā)現(xiàn)貼近學(xué)生認(rèn)知

（a+b）2、（a-b）2的幾何意義是邊長(zhǎng)分別為（a+b）、（a-b）的兩個(gè)正方形的面積。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以構(gòu)造出兩個(gè)正方形（見圖1），引導(dǎo)學(xué)生分別用兩種方法計(jì)算甲圖大正方形和乙圖陰影小正方形的面積，從而引入兩個(gè)完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。

（圖1）

【方案二】特例探究體現(xiàn)學(xué)科特征

一般化的多項(xiàng)式乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd中，當(dāng)字母a、b、c、d有某些特殊關(guān)系時(shí)，會(huì)使公式變?yōu)樘厥庑问健Ｈ鏰=c、b=d時(shí)變?yōu)橥耆椒焦?，a=c、b=-d時(shí)變?yōu)槠椒讲罟剑虼顺朔ü绞窃谝话慊亩囗?xiàng)式乘法基礎(chǔ)上對(duì)“特例”的考查。依據(jù)以上對(duì)乘法公式的數(shù)學(xué)理解，完全平方公式的引入可以先復(fù)習(xí)多項(xiàng)式的乘法法則（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，然后引導(dǎo)學(xué)生探究它的特殊形式。完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論可能會(huì)多種多樣，其中包括完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2；然后再利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2計(jì)算（a-b）2，得到（a-b）2=a2-2ab+b2。

（二）從兩個(gè)引入方案看學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征的選擇

方案一通過(guò)用兩種方法計(jì)算正方形面積引入完全平方公式，非常直觀、形象，而且有教師的適度引導(dǎo)——“計(jì)算面積”“兩種方法”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因而大部分學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而快速進(jìn)入教學(xué)主題。此教學(xué)方法的不足之處是不能讓學(xué)生感悟完全平方公式與前后知識(shí)的聯(lián)系，學(xué)生學(xué)到的是瑣碎、零散、點(diǎn)狀的知識(shí)，無(wú)法感受數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。

方案二通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在一般化的多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上探究特例，引入完全平方公式。體現(xiàn)了從一般到特殊的思想，滲透“考查特例”是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”，切合知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程和內(nèi)在的邏輯線索，有利于學(xué)生把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，學(xué)生學(xué)到的是有聯(lián)系的、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科特征。此教學(xué)方法的不足是從抽象的代數(shù)公式到抽象的代數(shù)公式，且讓學(xué)生自主獨(dú)立探究，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新意識(shí)要求較高，不少學(xué)生可能難以達(dá)成。

通過(guò)對(duì)以上兩種引入方案的分析可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)論是偏重學(xué)生認(rèn)知還是偏重學(xué)科特征，兩者之間不存在孰優(yōu)孰劣的問(wèn)題。教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合學(xué)情選擇適合的呈現(xiàn)方式，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般、抽象思維能力較弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，教學(xué)方案的設(shè)計(jì)應(yīng)偏重于符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、抽象思維能力較強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，教學(xué)方案的設(shè)計(jì)應(yīng)偏重于體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特征。

二、從兩個(gè)方案的完善看學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征的兼顧

（一）兩個(gè)方案的完善

【完善后的方案一】直觀發(fā)現(xiàn)貼近學(xué)生認(rèn)知，反思追根體現(xiàn)學(xué)科特征。［2］

1.探索活動(dòng)：（1）分別用兩種方法計(jì)算甲圖大正方形和乙圖陰影小正方形的面積（見上頁(yè)圖1），你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）你能證明（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2是正確的嗎？（3）觀察完全平方公式，你能說(shuō)出這兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？

3.課堂小結(jié)：（1）完全平方公式有什么特征？如何用語(yǔ)言描述完全平方公式？（2）我們是如何發(fā)現(xiàn)完全平方公式的？又是如何證明的？（3）從證明過(guò)程看，完全平方公式與多項(xiàng)式乘法法則之間有什么關(guān)系？（4）繼續(xù)研究多項(xiàng)式乘法法則的“特例”，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

4.課堂檢測(cè)：當(dāng)堂訓(xùn)練，當(dāng)堂反饋。

【完善后的方案二】特例探究體現(xiàn)學(xué)科特征，幾何表示貼近學(xué)生認(rèn)知。［2］

1.探索活動(dòng)：（1）前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)算法則和運(yùn)算的依據(jù)是什么嗎？（2）繼續(xù)研究多項(xiàng)式乘法（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，你認(rèn)為它有哪些特殊形式？你能得到哪些新的結(jié)論？（3）如何利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2計(jì)算（a-b）2？（4）完全平方公式有什么特征？請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言表述。

2.公式應(yīng)用：與方案一類似，略。

3.幾何解釋：如果a、b分別表示兩個(gè)線段的長(zhǎng)，則a2、b2分別表示兩個(gè)相應(yīng)正方形的面積，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

4.課堂小結(jié)：（1）請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題；（2）今天我們是如何研究完全平方公式的？（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問(wèn)題？

（二）從兩個(gè)方案的完善看學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征的兼顧

1.直觀感知貼近學(xué)生認(rèn)知，反思聯(lián)系兼顧學(xué)科特征。

完善后的方案一通過(guò)用兩種方法計(jì)算正方形面積，直觀、形象地引入完全平方公式，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；在課堂小結(jié)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生回顧直觀發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的證明過(guò)程（利用多項(xiàng)式乘法法則推導(dǎo)），進(jìn)而反思完全平方公式與多項(xiàng)式乘法的關(guān)系（特殊與一般的關(guān)系），從而體現(xiàn)學(xué)科特征。這樣教學(xué)偏重于學(xué)生認(rèn)知，同時(shí)又做到了學(xué)生認(rèn)知與學(xué)科特征兼顧。

分析此方案可以看出，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般、抽象思維能力較弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知為重?？梢酝ㄟ^(guò)學(xué)生容易接受的操作感知、聯(lián)系實(shí)際等直觀形象手段，呈現(xiàn)新知的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，待新知鞏固后，再適時(shí)地引入一些反思性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生感悟新知與其他知識(shí)的聯(lián)系，揭示新知本質(zhì)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，從而兼顧學(xué)科特征。

2.理性探究體現(xiàn)學(xué)科特征，鞏固運(yùn)用兼顧學(xué)生認(rèn)知。

完善后的方案二通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式乘法特例的探究引入完全平方公式，有利于學(xué)生充分感悟完全平方公式與多項(xiàng)式乘法之間特殊與一般的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特征；在鞏固應(yīng)用時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)造圖形直觀、形象地表示完全平方公式，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)完全平方公式的多元理解，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。這樣教學(xué)偏重于學(xué)科特征，同時(shí)又做到了學(xué)科特征與學(xué)生認(rèn)知兼顧。

分析此方案可以看出，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、抽象思維能力較強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)應(yīng)以學(xué)科特征為重。可以引導(dǎo)學(xué)生從新知的“生長(zhǎng)點(diǎn)”出發(fā)，在一般觀念（如一般到特殊、特殊到一般、簡(jiǎn)單到復(fù)雜、幾何性質(zhì)是關(guān)于組成要素或相關(guān)要素的恒定結(jié)論等）的指導(dǎo)下，主動(dòng)探究新知、感悟知識(shí)聯(lián)系，后通過(guò)對(duì)新知的鞏固運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受新知的現(xiàn)實(shí)背景或?qū)嶋H應(yīng)用，加深對(duì)新知的直觀認(rèn)識(shí)和理解，從而兼顧學(xué)生認(rèn)知。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“以生為本，以學(xué)定教”，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情和未來(lái)發(fā)展出發(fā)，選擇適合的教學(xué)方法。因此，學(xué)生認(rèn)知和學(xué)科特征從根本上來(lái)說(shuō)，應(yīng)以學(xué)生認(rèn)知為前提和基礎(chǔ)，力求做到兩者兼顧。