數學解題要“多想少算”

◇ 浙江 王加義

同一個數學問題，學生切入的角度不同，解答的方法也不盡相同，但有的方法煩瑣，有的方法簡捷，對于選擇題的求解，簡捷的方法往往可以“一望而答”.這些簡捷方法源于對題目條件的仔細審視，對問題本質的深入挖掘，即通過“多想”達到“少算”的目的，這也是高考對考生的重要考查內容.

1 利用函數性質，局部判斷

①f(x)是偶函數；

③f(x)在[－π，π]有4個零點；

④f(x)的最大值為2.

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

因為f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)為偶函數，f(x)在[－π，π]的圖象如圖1所示，故可利用x＞0時，f(x)的性質進行判斷.

圖1

如圖1，因為f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，所以f(x)在[－π，π]有3個零點.故①④正確，選C.

本題若直接求解，分類討論的標準不易確定，而利用函數的奇偶性和周期性，只需對函數的局部性質進行研究，從而簡化了思維過程.

2 利用圖形差異，過濾錯選

給出函數關系式，判斷函數圖象，是近年高考全國卷中的常考題型，此類問題求解中需先結合函數的奇偶性、單調性等進行判斷，再結合各選項所給圖象的差異特征進行篩選，得出正確圖象.

3 結合運算關系，以“形”破“數”

根據題目條件(a－b)⊥b 可構造直角三角形(如圖2所示)，又因為|a|＝2|b|，所以a與b 的夾角為.故選B.

圖2

本題也可采用常規(guī)解法，由(a－b)⊥b 可知(a－b)b＝0，即ab－b2＝0，則所以a 與b 的夾角為.這種方法雖然難度也不大，但結合圖形進行計算更直觀.

4 引入特殊數值，準確判斷

A.a＜c＜b B.a＜b＜c

C.b＜c＜a D.c＜a＜b

綜上，b＞c＞a，故選A.

求解數的大小比較問題，常規(guī)方法是構造相應函數，利用函數的單調性判斷，或通過作差、作商進行比較.本題求解中通過引入特殊值，方法更為簡捷.

5 把握極限位置，一望而答

圖3

圖4

由已知條件可知△ADQ 為等邊三角形，所以當點P 與A 或D 重合時，即，取得最大值.當點P 為AD 的中點時取得最小值.所以的取值范圍為[，8]，故選C.

本題若采用常規(guī)方法，設

所以

如圖5，過點D 作DE 垂直AB 于點E，由已知條件可得AE＝2，AD＝4，所以cos∠DAE＝，所以

所以

圖5

當然也可以采用坐標法求解，此處略.

總之，對學生“多想少算”能力的培養(yǎng)，既是高考要求，也是教學要求.教師要在平時的教學中，有針對地進行這方面的訓練，才能保證學生在考試中有目的性地先思考，再計算.