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    借幾何直觀之感 乘提升素養(yǎng)之美
    ——從兩個(gè)習(xí)題課教學(xué)片段說起

    2022-04-01 11:30:54楊憲偉
    數(shù)理化解題研究 2022年9期
    關(guān)鍵詞:習(xí)題課直觀解決問題

    楊憲偉

    (陜西省榆林市第十中學(xué) 719000)

    筆者在兩節(jié)高三習(xí)題課的教學(xué)中,經(jīng)歷了學(xué)生利用幾何直觀理解數(shù)學(xué)知識(shí)并遷移應(yīng)用,幾何直觀的作用使得學(xué)生站在更高的角度思考問題,在整個(gè)教學(xué)過程中,學(xué)生始終是課堂的主體,參與知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過程,學(xué)生的核心素養(yǎng)和分析解決問題的能力都得到了提升,令人印象深刻.

    1 《直線與橢圓的位置關(guān)系》習(xí)題課教學(xué)片斷

    (1)求C的方程;

    (2)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.

    教師提出問題,由學(xué)生小組討論,然后匯報(bào)展示.

    師:這個(gè)小組的同學(xué)采用的就是最常見的求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的方法,一般就是設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立解決問題.

    師:在涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)可以采用此方法

    師:大家覺得這個(gè)小組這種方法怎么樣?此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個(gè)方法好在什么地方?

    生4:化橢為圓,利用圓的幾何性質(zhì)解決問題.

    師:大家都說得非常好,但是注意使用的時(shí)候要重點(diǎn)關(guān)注不同坐標(biāo)系下同一量之間的關(guān)系,還有就是并不是所有的橢圓的題目都可以用這個(gè)方法解決.老師現(xiàn)將此題改編一下,大家繼續(xù)思考.

    變式1此題的條件不變,問題改為:求△AOB的面積S的最大值以及取最大值時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程.

    師:請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎?如果能使用的過程應(yīng)該注意什么?

    生5:我覺得可以,應(yīng)該注意不同坐標(biāo)系下面積之間的關(guān)系.

    師:好的,那大家試著按照你們的思路完成本題.

    師:太棒了,老師突然想到了四川省的一道高考壓軸題,老師按那個(gè)題的背景和難度再改編一下此題,同學(xué)們再試一試.

    變式2此題的條件不變,問題改為:直線l:y=-x+t(t>0)與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)T,直線m平行于OT,與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P,證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

    學(xué)生探究片刻后,教師提問.

    師:請同學(xué)們思考此題還能用化橢為圓的辦法嗎?

    生:好像不能.

    師:這個(gè)題目你們?nèi)〉昧四男┩黄疲坑龅搅四男├щy?

    師:很好,那我們先探究一下不同坐標(biāo)系下線段長度之間的關(guān)系,其實(shí)也就是弦長的關(guān)系.同學(xué)們思考如何用坐標(biāo)表示弦長?

    師:同學(xué)們嘗試按生8的思路解決問題.

    最后生8最先得到結(jié)果,具體如下:

    師生共同總結(jié),通過伸縮變換化橢為圓可以解決的問題,解題的思路,使用時(shí)的注意事項(xiàng).

    2 《平面向量的數(shù)量積》習(xí)題課教學(xué)片斷

    教師提出問題,由學(xué)生小組討論,然后匯報(bào)展示.

    生1:我們組采用的是坐標(biāo)法,過程如下:

    師:這個(gè)小組的同學(xué)采用的就是最常見的求解平面向量數(shù)量積的方法,一般就是建系解決問題.

    師:大家覺得這個(gè)小組這種方法怎么樣?此時(shí)教室響起了熱烈的掌聲.大家覺得這個(gè)方法好在什么地方?

    生3:利用幾何性質(zhì)解決問題,直觀簡潔.

    師:大家都說得非常好,老師現(xiàn)將此題改編一下,大家繼續(xù)思考.

    生4:我們覺得這個(gè)題目使用坐標(biāo)法更好,但是我們遇到了困難.

    師:說說你們的過程和遇到的困難.

    師:很好,大家一起思考我們該如何繼續(xù).

    師生共同探究用幾何法解決問題.

    師:我們得到的這個(gè)等式稱為“極化恒等式”,它可以將兩個(gè)向量的數(shù)量積用兩個(gè)幾何長度來表示,請同學(xué)們仔細(xì)體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

    師生共同總結(jié)幾何法的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).

    3 教學(xué)啟示

    借助幾何直觀可以有效提升學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從概念層面看,借助幾何直觀可以豐富事物表征,完善問題結(jié)構(gòu),理解抽象概念.從思想層面看,借助幾何直觀可以以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合.從心理學(xué)角度看,借助幾何直觀可以用圖形思考,為學(xué)習(xí)者建立學(xué)習(xí)的信心.

    高中數(shù)學(xué)中集合、函數(shù)、立體幾何、解析幾何、平面向量與解三角形等模塊的知識(shí)都需要教師借助幾何直觀幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),通過這些課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí);形成數(shù)學(xué)直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

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